2016年13.4-课题学习--最短路径问题.ppt

第十三章轴对称 13 4课题学习最短路径问题 1 课堂讲解 运用 垂线段最短 解决最短路径问题运用 两点之间线段最短 解决最短路径问题 2 课时流程 逐点导讲练 课堂小结 作业提升 如图 要在燃气管道l上修建一个泵站 分别向A B两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 你能解答这个问题吗 知1 导 1 知识点 运用 垂线段最短 解决最短路径问题 例1 体育课上 老师测量小明跳远成绩的依据是 A 过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条B 两点之间 线段最短C 垂线段最短D 两点确定一条直线 C 知1 练 如图 l为河岸 视为直线 要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去 则应从河边l的何处开口才能使水沟最短 找出开口处的位置并说明理由 1 来自 典中点 知2 导 2 知识点 运用 两点之间线段最短 解决最短路径问题 如图13 4 1 牧马人从A地出发 到一条笔直的河边饮马 然后到B地 牧马人到河边的什么地方饮马 可使所走的路径最短 问题 一 知2 导 如果把河边l近似地看成一条直线 图13 4 2 C为直线l上的一个动点 那么 上面的问题可以转化为 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 由这个问题 我们可以联想到下面的问题 知2 导 如图13 4 3 点A B分别是直线l异侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这个点到点A 点B的距离的和最短 利用已经学过的知识 可以很容易地解决上面的问题 即 连接AB 与直线l相交于一点 根据 两点之间 线段最短 可知这个交点即为所求 图13 4 3 知2 导 现在 要解决的问题是 点A B分别是直线l同侧的两个点 如何在l上找到一个点 使得这个点到点A 点B的距离的和最短 如果我们能把点B移到l的另一侧B 处 同时对直线l上的任一点C 都保持CB与CB 的长度相等 就可以把问题转化为 图13 4 3 的情况 从而使新问题得到解决 你能利用轴对称的有关知识 找到符合条件的点B 吗 知2 导 如图13 4 4 作出点B关于l的对称点B 利用轴对称的性质 可以得到CB CB 这样 问题就转化为 当点C在l的什么位置时 AC与CB 的和最小 知2 导 如图13 4 5 在连接A B 两点的线中 线段AB 最短 因此 线段AB 与直线l的交点C的位置即为所求 为了证明点C的位置即为所求 我们不妨在直线上另外任取一点C 图13 4 5 连接AC BC B C 证明AC CB AC C B 你能完成这个证明吗 1 如图13 4 1 点A B分别是直线l异侧的两个点 连接AB 与直线l相交于点P 根据 两点之间 线段最短 可知点P为直线l上到点A 点B的距离之和最短的点 图13 4 1 知2 导 2 如图13 4 2 点A B是直线l同侧的两个点 作点A关于直线l的对称点A 连接A B交l于点P 则PA PB PA PB A B 由 两点之间 线段最短 可知 点P为直线l上到点A 点B的距离之和最短的点 图13 4 2 知2 导 3 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变换把问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径 知2 导 某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路 分支点为M 同时向新落成的A B两个居民小区送电 1 如果居民小区A B在主干线l的两旁 如图13 4 3 那么分支点M在什么地方时总线路最短 知2 讲 例2 图13 4 3 来自 点拨 知2 讲 2 如果居民小区A B在主干线l的同旁 如图13 4 4 那么分支点M在什么地方时总线路最短 图13 4 4 来自 点拨 1 连接AB 与l的交点即为所求分支点M 2 作点B关于l的对称点B1 连接AB1交l于点M 点M即为分支点 导引 1 如图13 4 3 连接AB 与l的交点即为所求分支点M 2 如图13 4 4 作点B关于l的对称点B1 连接AB1交l于点M 点M即为所求分支点 知2 讲 解 来自 点拨 图13 4 3 图13 4 4 解决 一线 两点 型最短路径问题的方法 当两点在直线异侧时 连接两点 与直线的交点即为所求作的点 当两点在直线同侧时 作其中某一点关于直线的对称点 对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点 知2 讲 知2 练 如图 A处是一名游泳者的位置 他要先游到岸边l上的点P处喝水 再游到B处 但要使游泳的路程最短 试在图中画出点P的位置 1 来自 点拨 知2 练 来自 典中点 2015 黔南州 如图 直线l外不重合的两点A B 在直线l上求作一点C 使得AC BC的长度最短 作法为 作点B关于直线l的对称点B 连接AB 与直线l相交于点C 则点C为所求作的点 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是 A 转化思想B 三角形的两边之和大于第三边C 两点之间 线段最短D 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 2 知2 练 来自 典中点 如图 直线l表示一条河 P Q两地相距10km P Q两地到l的距离分别为2km 8km 欲在l上的某点M处修建一个水泵站 向P Q两地供水 现有如下四种铺设方案 图中实线表示铺设的管道 则铺设的管道最短的是 3 知2 练 来自 典中点 如图 在平面直角坐标系中 点A 2 4 B 4 2 在x轴上取一点P 使点P到点A和点B的距离之和最小 则点P的坐标是 A 2 0 B 4 0 C 2 0 D 0 0 4 知2 讲 造桥选址问题 如图13 4 6 A和B两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 问题 二 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b 图13 4 7 N为直线b上的一个动点 MN垂直于直线b 交直线a于点M 这样 上面的问题可以转化为下面的问题 当点N在直线b的什么位置时 AM MN NB最小 知2 讲 知2 讲 由于河岸宽度是固定的 因此当AM NB最小时 AM MN NB最小 这样 问题就进一步转化为 当点N在直线b的什么位置时 AM NB最小 能否通过图形的变化 轴对称 平移等 把 图13 4 7 的情况转化为 图13 4 3 的情况 如图13 4 8 将AM沿与河岸垂直的方向平移 点M移动到点N 点A移动到点A 则AA MN AM NB A N NB 这样 问题就转化为 当点N在直线b的什么位置时 A N NB最小 知2 讲 如图13 4 9 在连接A B两点的线中 线段A B最短 因此线段A B与直线b的交点N的位置即为所求 即在点N处造桥MN 所得路径AMNB是最短的 知2 讲 为了证明点N的位置即为所求 我们不妨在直线b上另外任意取一点N 过点N 作N M a 垂足为M 连接AM A N N B 证明AM MN NB AM M N N B 你能完成这个证明吗 在解决最短路径问题时 我们通常利用轴对称 平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题 从而作出最短路径的选择 如图13 4 5 牧马营地在点P处 每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草 再到河边b饮水 最后回到营地 请你设计一条放牧路线 使其所走的总路程最短 知2 讲 例3 来自 点拨 图13 4 5 要使其所走的总路程最短 可联想到 两点之间 线段最短 因此需将三条线段转化到一条线段上 为此作点P关于直线a的对称点P1 作点P关于直线b的对称点P2 连接P1P2 分别交直线a b于点A B 连接PA PB 即得放牧所走的最短路线 知2 讲 来自 点拨 导引 如图13 4 5 作点P关于直线a的对称点P1 关于直线b的对称点P2 连接P1P2 分别交直线a b于点A B 连接PA PB 由轴对称的性质知 PA P1A PB P2B 所以先到点A处吃草 再到点B处饮水 最后回到营地 按这样的路线放牧所走的总路程最短 知2 讲 解 来自 点拨 解决 两线 一点 型最短路径问题 要作两次轴对称 从而构造出最短路径 知2 讲 知2 练 来自 点拨 1 为庆祝教师节 阳光中学八年级 2 班举行了一次文艺晚会 桌子摆成两条线 如图中的OA OB AOB 90 桌子OA上摆满了苹果 桌子OB上摆满了橘子 坐在C处的小华想先拿苹果再拿橘子 然后回到座位C处 请你帮助小华设计一条行走路线 使小华所走路程最短 要求 作出路线图 并用字母表示出所走路线 知2 练 来自 典中点 2 茅坪民族中学八 2 班举行文艺晚会 桌子摆成如图所示两直排 图中的AO BO AO桌面上摆满了橘子 OB桌面上摆满了糖果 站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果 然后到D处座位上 请你帮助他设计一条行走路线 使其所