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第五章 数字信号的基带传输 5 1引言5 2数字基带信号的码型和波形5 3数字基带信号的功率谱密度5 4数字基带信号的传输与码间串扰 5 5码间串扰基带传输系统的抗噪声性能分析5 6最佳基带传输系统5 7眼图5 8改善数字基带系统性能的措施 5 1引言 数字信号的传输需要解决的主要问题是 在规定的传输速率下 有效地控制符号间干扰 具有抗加性高斯白噪声的最佳性能以及形成发 收两端的位定时同步 因而如何保证准确地传输数字信号是数字通信系统要解决的关键问题 数字信号的传输可分为基带传输和频带传输两种方式 信源发出的数字信号未经调制或频谱变换 直接在有效频带与信号频谱相对应的信道上传输的通信方式称为数字信号的基带传输 为了适应信道传输特性而将数字基带信号进行调制 即将数字基带信号的频谱搬移到某一载频处 变为频带信号进行传输的方式称为频带传输 在实际数字通信系统中 数字基带传输在应用上虽不如频带传输那么广泛 但仍有相当广的应用范围 数字基带传输的基本理论不仅适宜于基带传输 而且还适用于频带传输 因为所有窄的带通信号 线性带通系统以及线性带通系统对带通信号的响应均可用其等效基带传输系统的理论来分析它的性能 因而掌握数字基带传输系统的基本理论十分 重要 它在数字通信系统中具有普遍意义 数字基带传输系统的基本结构如图5 1所示 它由脉冲形成器 发送滤波器 信道 接收滤波器 抽样判决器与码元再生器组成 为了保证系统可靠有序地工作 还应有同步系统 系统工作过程及各部分作用如下 图5 1数字基带传输系统 数字基带传输系统的输入端通常是码元速率为RB 码元宽度为Ts的二进制 也可为多进制 脉冲序列 用符号 dk 表示 一般终端设备 如电传机 计算机 送来的 0 1 代码序列为单极性码 如图5 2 a 波形所示 后面我们将见到这种单极性代码由于有直流分量等原因并不适合在基带系统信道中传输 脉冲形成器的作用是把单极性码变换为双极性码或其它形式适合于信道传输的 并可提供同步定时信息的码型 如图5 2 b 所示的双极性归零码元序列d t 脉冲形成器也称为码型变换器 脉冲形成器输出的各种码型是以矩形脉冲为基础的 这种以矩形脉冲为基础的码型往往低频分量和高频分量都比较大 占用频带也比较宽 直接送入信道传输 容易产生失真 发送滤波器的作用是把它变换为比较平滑的波形gT t 如图5 2 c 所示的波形为升余弦波形 基带传输系统的信道通常采用电缆 架空明线等 由于信道中存在噪声n t 和信道本身传输特性的不理想 使得接收端得到的波形与发送波形具有较大的差异 如图5 2 d 所示 接收滤波器的作用是滤除带外噪声并对已接收的波形均衡 以便抽样判决器正确判决 接收滤波器的输出波形y t 如图5 2 e 所示 抽样判决器首先对接收滤波器输出的信号y t 在规定的时刻进行抽样 获得抽样值序列y kTS 然后对抽样值进行判决 以确定各码元是 1 码还是 0 码 抽样值序列y kTS 见图5 2 g 所示 码元再生电路的作用是对判决器的输出 0 1 进行原始码元再生 以获得图5 2 h 所示与输入波形相应的脉冲序列 同步提取电路的任务是从接收信号中提取定时脉冲cp 供接收系统同步使用 对比图5 2 a h 中的与 dk 可以看出 传输过程中第4个码元发生了误码 产生该误码的原因之一是信道加性噪声 之二是传输总特性 包括收 发滤波器和信道的特性 不理想引起的波形畸变 使码元之间相互串扰 从而产生码间干扰 图5 2数字基带传输系统各点波形 5 2数字基带信号的码型和波形 对传输用的基带信号的主要要求有两点 1 对各种码型的要求 期望将原始信息符号编制成适合于传输用的码型 2 对所选码型的电波形要求 期望电波形适宜于在信道中传输 前一问题是传输码型的选择 后一问题是基带波形的选择 这两个问题既有独立性 又相互联系 基带信号的码型类型很多 常见的有单极性码 双极性码 AMI码 HDB3码和CMI码等 适合于信道中传输的波形一般应为变化较平滑的脉冲波形 为了简便起见 本节将以矩形脉冲为例来介绍基带信号的码型 不同形式的码型信号具有不同的频谱结构 实际中必须合理地设计选择数字基带信号码型 使数字信号能在给定的信道中传输 我们将适于在信道中传输的基带信号码型称为线路传输码型 为适应信道的传输特性及接收端再生恢复数字信号的需要 基带传输信号码型设计应考虑如下一些原则 1 对于频带低端受限的信道传输 线路码型中不含有直流分量 且低频分量较少 2 便于从相应的基带信号中提取定时同步信息 3 信号中高频分量尽量少 以节省传输频带并减少码间串扰 4 所选码型应具有纠错 检错能力 5 码型变换设备要简单 易于实现 1单极性不归零 NRZ 码设消息代码由二进制符号 0 1 组成 则单极性不归零码如图5 3 a 所示 这里 基带信号的零电位及正电位分别与二进制符号的 0 及 1 一一对应可见 它是一种最简单的常用码型 2 双极性不归零 NRZ 码图5 3 b 所示的代码是双极性不归 零 NRZ 码 其特点是数字消息用两个极性相反而幅度相等的脉冲表示 其与单极性码比较有以下优点 1 从平均统计角度来看 消息 1 和 0 的数目各占一半 所以无直流分量 2 接收双极性码时判决门限电平为零 稳定不变 因而不受信道特性变化的影响 抗噪声性能好 3 可以在电缆等无接地的传输线上传输 3 单极性归零 RZ 码单极性归零码是在传送 1 码时发送一个宽度小于码元持续时间的归零脉冲 而在传送 0 码时不发送脉冲 如图5 3 c 所示 设码元间隔为Ts 归零码宽度为 则称为占空比 4 双极性归零 RZ 码双极性归零码的构成与单极性归零码一样 如图5 3 d 所示 这种码型除了具有双极性不归零码的一般特点以 外 还可以通过简单的变换电路变换为单极性归零码 从而可以提取同步信号 因此双极性归零码得到广泛的应用 5 差分码这种码型的特点是把二进制脉冲序列中的 1 或 0 反映在相邻信号码元相对极性变化上 是一种相对码 6 多值波形 多电平波形 前述各种信号都是一个二进制符号对应一个脉冲 实际上还存在多个二进制符号对应一个脉冲的情形 这种波形统称为多值波形或多电平波形 例如若令两个二进制符号00对应 3E 01对应 E 10对应 E 11对应 3E 则所得波形为4值波形 如图5 3 f 所示 由于这种波形的一个脉冲可以代表多个二进制符号 故在高速数据传输中 常采用这种信号形式 图5 3几种基本的数字基带信号码型 二 传输码型并不是所有的基带信号码型都适合在信道中传输 往往是根据实际需要进行选择 下面我们介绍几种常用的适合在信道中传输的传输码型 1 AMI码AMI码的全称是传号交替反转码 这是一种将消息中的代码 0 空号 和 1 传号 按如下规则进行编码的码 代码 0 仍为0 代码 1 交替变换为 1 1 1 1 例如 AMI码的优点是 不含直流成分 低频分量小 编译码电路简单 便于利用传号极性交替规律观察误码情况 鉴于这些优点 AMI码是ITU建议采用的传输码型之一 AMI码的不足是 当原信码出现连 0 串时 信号的电平长时间不跳变 造成提取定时信号的困难 解决连 0 码问题的有效方法之一是采用HDB3码 2 HDB3码HDB3码的全称是3阶高密度双极性码 它是AMI码的一种改进型 其目的是为了保持AMI码的优点而克服其缺点 使连 0 个数不超过3个 其编码规则如下 1 当信码的连 0 个数不超过3时 仍按AMI码的规则编码 即传号极性交替 2 当连 0 个数超过3时 出现4个或4个以上连 0串时 则将每4个连 0 小段的第4个 0 变换为非 0 脉冲 用符号V表示 称之为破坏脉冲 而原来的二进制码元序列中所有的 1 码称为信码 用符号B表示 当信码序列中加入破坏脉冲以后 信码B与破坏脉冲V的正负极性必须满足如下两个条件 B码和V码各自都应始终保持极性交替变化的规律 以确保编好的 码中没有直流成分 V码必须与前一个非零符号码 信码B 同极性 以便和正常的AMI码区分开来 如果这个条件得不到满足 那么应该将四连 0 码的第一个 0 码变换成与V码同极性的补信码 用符号B 表示 并做调整 使B码和B 码合起来保持条件 中信码 含B及B 极性交替变换的规律 3 PST码PST码的全称是成对选择三进码 其编码规则是 先将二进制码元划分为2个码元为一组的码组序列 然后再把每一组编码成两个三进制码 0 因为三进制数字共有9种状态 故可以灵活地选择其中的四种状态 表5 2 1列出了其中最为广泛适用的一种格式 为防止PST码的直流漂移 当在一个码组中仅发送单个脉冲时 两个模式应 交替使用 4 双相码双相码又称Manchester码 即曼彻斯特码 它的特点是每个码元用两个连续极性相反的脉冲来表示 5 密勒 Miller 码密勒码又称延迟调制码 它是双相码的一种变形 编码规则如下 1 码用 10 或 01 表示 0 码分两种情形处理 对于单个 0 时 用 11 或 00 表示 要求在码元持续时间内不出现跃变 且与相邻码元的边界处也不跃变 对于连 0 时 用 00 与 11 交替 要求在两个 0 码的边界处出现跃变 6 CMI码CMI码是传号反转码的简称 其编码规则为 1 码交替用 00 和 11 表示 0 码用 01 表示 CMI码的优点是没有直流分量 且有频繁出现波形跳变 便于定时信息提取 具有误码监测能力 5 2 2基带波形的形成 在选择了合适的码型之后 尚需考虑用什么形状的波形来表示所选择的码型 上面介绍的各种常用码型都是以矩形脉冲为基础的 我们知道矩形脉冲由于上升和下降是突变的 其低频分量和高频成分比较丰富 占用频带也比较宽 如果信道带宽有限 采用以矩形脉冲为基础的码型进行传输就不合适 而需要采用更适合于信道传输的波形 譬如采用变化比较平滑的以升余弦脉冲为基础的脉冲波形 这样就有一个如何由矩形脉冲形成所需要的传输波形的问题 本章后面几节将介绍的奈奎斯特准则的思想是将发送滤波器 信道 接收滤波器三者集中为一总的基带传输系统 进而对其基带传输系统的特性和接收响应的波形提出严格的要求 目的是消除在抽样判决时出现的码间干扰 5 3数字基带信号的功率谱密度 研究数字基带信号的频谱分析是非常有用的 通过频谱分析可以使我们弄清楚信号传输中一些很重要的问题 这些问题是 信号中有没有直流成分 有没有可供提取同步信号用的离散分量以及根据它的连续谱可以确定基带信号的带宽 在通信中 除特殊情况 如测试信号 外 数字基带信号通常都是随机脉冲序列 因为 如果在数字通信系统中所传输的数字序列是确知的 则消息就不携带任何信息 通信也就失去了意义 对于随机脉冲序列 由于它是非确知信号 不能用付氏变换法确定其频谱 只能用统计的方法研究其功率谱 对于其功率谱的分析在数学运算上比较复杂 因此 这里我们只给出分析的思路和推导的结果并对结果进行分析 一 数字基带信号的数学描述1 波形设一个二进制的随机脉冲序列如图5 4所示 这里g1 t 代表二进制符号的 0 g2 t 代表二进制符号的 1 码元的间隔为Ts 应当指出的是 图中g1 t 和g2 t 可以是任意的脉冲 图中所示只是一个实现 图5 4基带随机脉冲序列及其分解波形 2 数学表达式现假设随机脉冲序列在任一码元时间间隔Ts内g1 t 和g2 t 出现的概率分别为P和1 P 且认为它们的出现是统计独立的 则数字基带信号s t 可由下式表示 其中 5 1 5 2 由于任何波形均可分解为若干个波形的叠加 考虑到要了解基带信号中是否存在离散频谱分量以便提供同步信息 而周期信号的频谱是离散的 所以可以认为s t 是由一个周期波形v t 和一个随机交变波形u t 叠加而成 即 5 3 二 数字基带信号的功率谱密度由上面分析可知 可通过先求出v t 和u t 的功率谱密度 然后两者相加即可得到的功率谱密度 1 稳态项v t 的功率谱密度PV f 稳态项v t 是周期为Ts的周期函数 可将其展开成指数形式的傅里叶级数 求出其系数Fn 然后利用式 2 38 得到v t 的功率谱PV f 经分析可得 式中 5 4 5 5 5 6 2 交变项u t 的功率谱密度Pu f 由于u t 是功率型的随机信号 因此求其功率谱密度Pu f 时要采用截短函数的方法和求统计平均的方法 经过分析可得 5 7 3 求随机基带序列s t 的功率谱密度由于s t v t u t 则将式 5 4 与式 5 7 相加 可得到随机序列s t 的功率谱密度为 5 8 上式是双边功率谱密度表示式 若用单边功率谱密度表示 则有 下面以矩形脉冲构成的基带信号为例对式 5 8 的应用及意义做进一步说明 其结果对后续问题的研究具有实用价值 5 9 例5 1 求单极性不归零信号的功率谱密度 假定P 1 2 解 设单极性不归零信号g1 t 0 g2 t 为图5 5所示的高度为1 宽度为的矩形脉冲 则 代入式 5 8 得单极性不归零信号的双边功率谱密度为 单极性不归零信号的功率谱如图5 6所示 5 10 图5 5单极性不归零信号 图5 6单极性不归零信号的功率谱 由以上分析可见 单极性不归零信号的功率谱只有连续谱和直流分量 不含有可用于提取同步信息的fs分量 由连续分量可方便求出单极性不归零信号功率谱的近似带宽 Sa函数第一零点 为 例5 2 求单极性归零信号的功率谱密度 假定P 1 2 解 设单极性归零信号g1 t 0 g2 t 为图5 7所示的高度为1 宽度为 的矩形脉冲 则 代入式 5 8 得单极性不归零信号的双边功率谱密度为 单极性归零信号的功率谱如图5 8所示 5 11 图5 8单极性归零信号的功率谱 图5 7单极性归零信号 例5 3 求双极性码信号的功率谱密度 假定P 1 2 解 双极性信号一般满足g1 t g2 t G1 f G2 f 当1 0码等概时 不论归零与否 稳态分量v t 都是0 因此都没有直流分量和离散谱 双极性不归零信号的双边功率谱为 双极性归零信号的双边功率谱为 5 12 5 13 综上所述 通过对数字基带信号的二进制随机脉冲序列功率谱的分析 我们一方面可以根据它的连续谱来确定序列的带宽 从上述举例可以看出 当数字基带信号用矩形脉冲表示时 其带宽为连续谱的第一零点带宽 另一方面利用它的离散谱是否存在这一特点 可以明确能否从脉冲序列中直接提取定时分量和采取怎样的方法可以从基带脉冲序 列中获得所需的离散分量 这一点 在本书第十章研究位同步 载波同步等问题时将是十分重要的 需要指出的是 以上的分析方法 由于g1 t 和g2 t 的波形没有加以限制 故即使它们不是基带信号波形 而是数字调制波形 也将是适用的 5 4数字基带信号的传输与码间串扰 5 1节定性介绍了基带传输系统的工作原理 初步了解码间串扰和噪声是引起误码的因素 本节我们进一步分析数字基带信号通过基带传输系统时的传输性能 5 4 1码间串扰数字基带信号通过基带传输系统时 由于系统 主要是信道 传输特性不理想 或者由于信道中加性噪声的影响 使收端脉冲展宽 延伸到邻近码元中去 从而造成对邻近码元的干扰 我们将这种现象称为码间串扰 如图5 9所示 图5 9基带传输中的码间串扰 5 4 2码间串扰的数学分析 数字基带信号的传输模型如图5 10所示 图5 10基带传输系统模型 图中 输入信号 dn 一般认为是单极性二进制矩形脉冲序列 dn 经过码型变换以后一般变换为双极性的码型 归零或不归零 也可能变换为AMI码和HDB3码 但AMI码和HDB3码与双极性码的区别在于多了一个零电平 零电平对码间串扰没有影响 如果不考虑零电平 只从研究传输性能来说 研究了双极性码 不难得出AMI和HDB3码的结果 因此 一般都认为码型变换的输出为双极性码 an 其中 在波形形成时 通常先对 an 进行理想抽样 变成二进制冲激脉冲序列d t 然后送入发送滤波器以形成所需的波形 即 5 14 设发送滤波器传输函数为GT 信道的传输函数为C 接收滤波器的传输函数为GR 则图5 10所示的基带传输系统的总传输特性为 H GT C GR 其对应的单位冲激响应为 5 15 则在d t 的作用下 接收滤波器输出信号y t 可表示为 式中 nR t 是加性噪声n t 经过接收滤波器后输出的窄带噪声 5 16 5 17 抽样判决器对y t 进行抽样判决 设对第k个码元进行抽样判决 抽样判决时刻应在收到第个码元的最大值时刻 设此时刻为kTs t0 t0是信道和接收滤波器所造成的延迟 把t kTs t0代入式 5 17 得 5 18 上式中 右边第一项是第k个码元本身产生的所需抽样值 第二项表示除第k个码元以外的其他码元产生的不需要的串扰值 称为码间串扰 通常与第k个码元越近的码元对它产生的串扰越大 反之 串扰小 第三项是第k个码元抽样判决时刻噪声的瞬时值 它是一个随机变量 也要影响第k个码元的正确判决 从上面分析可见 数字基带信号在传输过程中是会产生码间串扰的 码间串扰对基带传输的影响是 易引起判决电路的误操作 造成误码 所以我们要研究数字基带系统如何消除码间串扰 5 4 3无码间串扰的基带传输特性 由式 5 18 可知 若想消除码间串扰 应有 由于an是随机的 要想通过各项相互抵消使码间串扰为0是不行的 这就需要对h t 的波形提出要求 如果相邻码元的 5 19 前一个码元的波形到达后一个码元抽样判决时刻时已经衰减到0 如图5 11 a 所示 则这样的波形就能满足要求 但这样的波形不易实现 因为实际中的h t 波形有很长的 拖尾 也正是由于每个码元 拖尾 造成对相邻码元的串扰 但只要让它在t0 Ts t0 2Ts等后面码元抽样判决时刻上正好为0 就能消除码间串扰 如图5 11 b 所示 这就是消除码间串扰的基本思想 图5 11消除码间串扰的原理 由h t 与H 的关系可知 如何形成合适的波形 实际上是如何设计特性的问题 下面 我们在不考虑噪声的条件下 研究如何设计基带传输特性H 以形成在抽样时刻上无码间串扰的冲激响应波形h t 根据上面的分析 在假设信道和接收滤波器所造成的延迟t0 0时 无码间串扰的基带系统冲激响应满足下式 也就是说 h t 的值除t 0时不为零外 在其他所有抽样点均为零 下面我们来推导符合以上条件的H 5 20 因为 现在将上式的积分区域用角频率间隔2 Ts分割 可得 作变量代换 令 2 i Ts 则有d d 于是 5 21 5 22 当上式之和一致收敛时 求和与积分的次序可以互换 于是有 这里 我们已把 重新记为 5 23 5 24 式 5 24 中的物理意义是 把H 的分割各段平移到 Ts Ts 的区间对应叠加求和 简称为 切段叠加 令 5 24 则Heq 就是H 的 切段叠加 称Heq 为等效传输函数 将其代入式 5 24 可得 将式 5 20 代入上式 便可得到无码间串扰时 基带传输特性应满足的频域条件 5 26 式 5 27 称为奈奎斯特第一准则 它为我们确定某基带系统是否存在码间串扰提供了理论依据 5 27 Heq 的物理含义如图5 12所示 从频域看 只要将该系统的传输特性H 按2 Ts间隔分段 再搬回 Ts Ts 区间叠加 叠加后若其幅度为常数 就说明此基带传输系统可以实现无码间串扰 图5 12Heq 的物理含义 显然 满足上式的系统并不是惟一的 如何设计或选择满足上式的是我们接下来要讨论的问题 5 4 4无码间串扰的理想低通滤波器符合奈奎斯特第一准则的 最简单的传输特性是理想低通滤波器的传输特性 如图5 13所示 其传输函数为 其对应的冲激响应为 5 28 5 29 图5 13理想低通系统 由图5 13可见 h t 在t kTs k 0 时有周期性零点 当发送序列的间隔为Ts时正好巧妙地利用了这些零点 见图5 13 b 中虚线 实现了无码间串扰传输在图5 13所示的理想基带传输系统中 称截止频率 5 30 为奈奎斯特带宽 称Ts 1 2BN 为系统传输无码间串扰的最小码元间隔 即奈奎斯特间隔 相应地 称RB 1 Ts 2BN为奈奎斯特速率 它是系统的最大码元传输速率 反过来说 输入序列若以1 Ts波特的速率进行传输时 所需的最小传输带宽为1 2TsHz 下面再讨论频带利用率的问题 该理想基带系统的频带利用率 为 显然 理想低通传输函数的频带利用率为2Baud Hz 这是最大的频带利用率 因为如果系统用高于的码元速率传送信码时 将存在码间串扰 若降低传码率 则系统的频带利用率将相应降低 5 30 从上面的讨论可知 理想低通传输特性的基带系统有最大的频带利用率 但令人遗憾的是 理想低通系统在实际应用中存在两个问题 一是理想矩形特性的物理实现极为困难 二是理想的冲激响应h t 的 尾巴 很长 衰减很慢 当定时存在偏差时 可能出现严重的码间串扰 下面 进一步讨论满足式 5 27 实用的 物理上可以实现的等效传输系统 5 4 5无码间串扰的滚降系统 考虑到理想冲激响应h t 的尾巴衰减慢的原因是系统的频率截止特性过于陡峭 这启发我们可以按图5 14所示的构造思想去设计H 特性 只要图中Y 的具有对BN呈奇对称的幅度特性 则H 就能满足要求 这种设计也可看成是理想低通特性按奇对称条件进行 圆滑 的结果 上述的 圆滑 通常被称为 滚降 定义滚降系数为 其中BN是无滚降时的截止频率 B2为滚降部分的截止频率 显然 0 1 5 32 图5 14滚降特性的构成 不同的 有不同的滚降特性 图5 15画出了按余弦滚降的几种滚降特性和冲激响应 具有滚降系数 的余弦滚降特性H 可表示成 而相应的冲激响应为 5 33 5 34 图5 15余弦滚降系统 由图5 15可见 0对应的图形正好是理想低通滤波器 越大抽样函数的拖尾振荡起伏越小 衰减越快 1时 是实际中常采用的升余弦频谱特性 它的波形最瘦 拖尾按速率t 3衰减 抑制码间串扰的效果最好 但与理想低通滤波器相比 它付出的代价是带宽增大了一倍 此时系统的频带利用率为1Baud Hz 比理想低通滤波器的频带利用率降低了一倍当 1时 H 可表示成 5 35 而h t 可表示为 引入滚降系数 后 系统的最高传码率不变 但是此时系统的带宽扩展为 5 36 系统的频带利用率为 5 37 5 38 余弦滚降特性的实现比理想低通容易得多 因此广泛应用于频带利用率不高 但允许定时系统和传输特性有较大偏差的场合 例5 4 设某数字基带传输系统的传输特性H 如图5 16所示 其中 为某个常数 0 1 1 试检验该系统能否实现无码间串扰传输 2 试求该系统的最大码元传输速率为多少 这时的系统频带利用率为多大 图5 16 解 1 由于该系统可构成等效矩形系统 所以该系统能够实现无码间串扰传输 2 该系统的最大码元传输速率Rmax 即满足Heq 的最大码元传输速率RB 容易得到 所以系统的频带利用率 5 5无码间串扰基带传输系统的抗噪声性能分析 通常用误码率来度量系统抗加性噪声的能力 误码是由码间干扰和噪声两方面引起的 如果同时计入码间串扰和噪声来计算误码率 将使计算非常复杂 为了简化起见 通常都是在无码间串扰的条件下计算由噪声引起的误码率 5 39 一般认为信道噪声只对接收端产生影响 则可建立抗噪声性能分析模型如图5 17所示 图中 设二进制接收波形为s t 信道噪声是均值为零 双边功率谱密度为n0 2的高斯白噪声 它经过接收滤波器后变为高斯带限噪声nR t 则接收滤波器的输出是信号加噪声的合成波形 记为x t 即 图5 17抗噪声性能分析模型 前面已经提到 发送端发出的数字基带信号是s t 经过信道和接收滤波器以后 在无码间串扰条件下 对 1 码抽样判决时刻信号有正的最大值 我们用A表示 对 0 码抽样判决时刻信号有负的最大值 对双极性码 用表示 或是为0值 对单极性码 由于我们只关心抽样时刻的值 因此我们把收到 1 码的信号在整个码元区间内用A表示 0 码的信号用 A 或者0 表示 也是可以的 同理 单极性基带信号可近似表示为 这样在性能分析时 双极性基带信号可近似表示为 5 41 5 40 一 传单极性基带信号时 接收端的误码率Pe设高斯带限噪声nR t 的均值为零 方差为 则其一维概率分布密度函数为 5 42 其中 对传输的单极性基带信号 设它在抽样时刻的电平取值为 A或0 分别对应于信码 1 或 0 则x t 在抽样时刻的取值为 5 43 设判决电路的判决门限为Vd 判决规则 x kTs Vd 判为 1 码 x kTs Vd 判为 0 码 实际中噪声干扰会使接收端出现两种可能的错误 发 1 码时 在抽样时刻噪声呈现一个大的负值与信号抵消使收端判为 0码 发 0 码时 在抽样时刻噪声幅度超 过判决门限使收端判为 1 码 下面我们来求这两种情况下码元判错的概率 1 发 0 错判为 1 的条件概率Pe0 发 0 码时 x t nR t 由于nR t 是高斯过程 则x t 的一维概率密度函数为 5 44 此时 当x t 的抽样电平大于判决门限时Vd 就会发生误码 所以 发 0 错判为 1 的条件概率为 对应于图5 18中Vd右边阴影部分的面积 5 45 图5 18x t 的概率密度分布曲线 2 发 1 错判为 0 的条件概率Pe1当发送 1 时 x t A nR t 此时x t 的概率密度分布仍为高斯分布 但均值为A 5 46 此时 当x t 的抽样电平小于判决门限时Vd 就会发生误码 所以 发 1 错判为 0 的条件概率为 对应于图5 18中Vd左边阴影部分的面积 5 47 3 传输系统总的误码率Pe 由式 5 45 式 5 47 和式 5 48 可以看出 基带传输系统的总误码率与判决门限电平有关 可以计算 当P 0 P 1 1 2时 最佳判决门限为Vd A 2 5 48 当发 1 和发 0 等概率时 且在最佳判决门限电平的条件下 基带传输系统的总误码率为 下面我们讨论误码率Pe和信噪比之间的关系 5 49 由于信号平均功率S与信号的波形和大小有关 前面我们已经提到 即使接收到的信号波形不是矩形脉冲 但由于我们只关心抽样判决时刻的值 因此一般我们都以矩形脉冲为基础的二进制码元来计算信号平均功率S 对单极性基带信号 在发 1 和发 0 等概率时 其信号的平均功率为 噪声功率为 则其信噪比为 将式 5 50 代入式 5 49 可得 5 51 5 50 二 传双极性基带信号时 接收端的误码率Pe对于双极性二进制基带信号 设它在抽样时刻的电平取值为 A或 A 分别对应于信码 1 或 0 当发 1 码和发 0 码等概率 并同时满足最佳判决门限电平Vd 0的条件时 基带传输系统的总误码率为 对双极性基带信号 在发 1 和发 0 等概率时 其信号的平均功率为 噪声功率为 则其信噪比为 5 52 将式 5 53 代入式 5 52 可得 其中 为信噪比 5 53 5 54 比较式 5 51 和 5 54 可见 第一 基带传输系统的误码率只与信噪比r有关 第二 在单极性与双极性基带信号抽样时刻的电平取值A相等 噪声功率相同的条件下 单极性基带系统的抗噪声性能不如双极性基带系统 第三 在等概率条件下 单极性的最佳判决门限电平为A 2 当信道特性发生变化时 信号幅度A将随着 变化 故判决门限电平也随之改变 而不能保持最佳状态 从而导致误码率增大 而双极性的最佳判决门限电平为0 与信号幅度无关 因而不随信道特性变化而改变 故能保持最佳状态 因此 数字基带系统多采用双极性信号进行传输 5 6最佳基带传输系统 在数字通信系统中 无论是数字基带传输还是数字频带传输 都存在着 最佳接收 的问题 最佳接收理论是以接收问题作为研究对象 研究从噪声中如何准确地提取有用信号 显然 所谓 最佳 是个相对概念 是指在相同噪声条件下以某一准则为尺度下的 最佳 不同的准则导出不同的 最佳接收机 当然它们之间是有内在联系的 在数字通信系统中 最常用的准则是最大输出信噪比准则 在这一准则下获得的最佳线性滤波器叫做匹配滤波器 MF 这种滤波器在数字通信理论 信号最佳接收理论以及雷达信号的检测理论等方面均具有重大意义 本节介绍匹配滤波器的基本原理以及利用匹配滤波器的最佳基带传输系统 5 6 1匹配滤波器 5 5节讨论了在信道噪声的干扰下接收端产生错误判决的概率 得出了误码率只与信噪比有关的结论 信噪比越大 误码率越小 因此要想减小误码率必须设法提高信噪比 在接收机输入信噪比相同的情况下 若所设计的接收机输出的信噪比最大 则我们能够最佳地判断所出现的信号 从而可以得到最小的误码率 这就是最大 输出信噪比准则 为此 我们可在接收机内采用一种线性滤波器 当信号加噪声通过它时 使有用信号加强而同时使噪声衰减 在抽样时刻使输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比达到最大 这种线性滤波器称为匹配滤波器 下面讨论匹配滤波器的特性 设接收滤波器的传输函数为H 滤波器输入信号与噪声的合成波为 式中 s t 为滤波器输入基带数字信号 其频谱函数为S n t 为高斯白噪声 其双边功率谱密度为n0 2 由于该滤波器是线性滤波器 满足线性叠加原理 因此滤波器输出也由输出信号和输出噪声两部分组成 即 5 55 5 56 这里 s0 t 和n0 t 分别为s t 和n t 通过线性滤波器后的输出 滤波器输出噪声的平均功率为 5 57 5 58 因此 在抽样时刻t0 线性滤波器输出信号的瞬时功率与噪声平均功率之比为 5 59 显然 寻求最大r0的线性滤波器 在数学上就归结为求式 5 59 中r0达到最大值的 这个问题可以用变分法或用许瓦尔兹 Schwartz 不等式加以解决 这里用许瓦尔兹不等式的方法来求解 该不等式可以表述为 5 60 时式 5 60 中等式才能成立 其中K为常数 将许瓦尔兹不等式 5 60 用于式 5 59 并令 当且仅当 5 61 则可得 式中 为输入信号s t 的总能量 5 62 5 63 式 5 62 说明 线性滤波器所能给出的最大输出信噪比为 它出现于式 5 61 成立的时候 即这时有 5 64 5 65 式 5 65 表明 H 就是我们所要求的最佳线性滤波器的传输函数 它等于输入信号频谱的复共轭 因此 此滤波器称为匹配滤波器 匹配滤波器的传输特性还可以用其冲激响应函数h t 来描述 5 66 由上式可见 匹配滤波器的冲激响应h t 是信号s t 的镜像s t 在时间轴上再向右平移t0 作为接收滤波器的匹配滤波器应该是物理可实现的 即其冲激响应应该满足条件h t 0当t 0即要求满足条件s t0 t 0 当t 0或满足条件s t 0 当t t0 5 67 5 68 式 5 68 表明 物理可实现的匹配滤波器 其输入信号s t 在抽样时刻t0之后必须消失 等于零 这就是说 若输入信号在T瞬间消失 则只有当t0 T时滤波器才物理可实现 一般总是希望t0尽量小些 通常选择t0 T 故匹配滤波器的冲激响应可以写为 上式中 T为s t 消失的瞬间 这时 匹配滤波器输出信号波形可表示为 5 69 5 70 上式表明 匹配滤波器输出信号波形是输入信号的自相关函数的K倍 因此 常把匹配滤波器看成是一个相关器 至于常数K 实际上它是可以任意选取的 因为r0与K无关 因此 在分析问题时 可令K 1 已经知道 自相关函数的最大值是R 0 由式 5 70 设K 1 可得匹配滤波器的输出信号在时达到最大值 即 由式 5 71 可见 匹配滤波器输出信号分量的最大值仅与输入信号的能量有关 而与输入信号波形无关 信噪比r0也是在t0 T时刻最大 该时刻也就是整个信号进入匹配滤波器的时刻 5 71 图5 19 例5 6 设输入信号如图5 19 a 所示 试求其匹配滤波器的传输函数 并画出h t 和s0 t 输出信号的波形 解 输入信号的时域表达式为 输入信号的频谱函数为 由式 5 65 令K 1 可得匹配滤波器的传输函数为 由式 5 66 可得匹配滤波器的单位冲激响应为 取t0 T 则最终得 h t 的波形如图5 19 b 所示 由h t 与s t 的卷积可求出输出信号波形s0 t 如图5 19 c 所示 由图5 19 c 可以看出 当t T时 匹配滤波器输出幅度达到最大值 因此 在此时刻进行抽样判决 可以得到最大的输出信噪比 5 6 2利用匹配滤波器的最佳基带传输系统 由前面的分析可知 影响基带系统误码性能的因素有两个 其一是码间干扰 其二是噪声 码间干扰的影响 可以通过系统传输函数的设计 使得抽样时刻样值的码间干扰为零 对于加性噪声的影响 可以通过接收滤波器的设计 尽可能减小噪声的影响 但是不能 消除噪声的影响 实际中 这两种 干扰 是同时存在的 因此最佳基带传输系统可认为是既能消除码间串扰而抗噪声性能又最理想 错误概率最小 的系统 现在我们讨论如何设计这样一个最佳基带传输系统 在图5 10的基带传输系统中 发送滤波器的传输函数为GT 信道的传输函数为C 接收滤波器的传输函数为GR 其基带传输系统的总传输特性表示为 H GT C GR 在5 4 3节中我们忽略了噪声的影响 只考虑码间串扰 现在我们将考虑在噪声环境下 如何设计这些滤波器的特性使系统的性能最佳 由于信道的传输特性往往不易控制 这里将假设信道具有理想特性 即假设C 1 于是 基带系统的传输特性变为 由前面讨论知 当系统总的传输函数H 满足式 5 27 时就可以消除抽样时刻的码间干扰 所以 在H 确定之后 只能考虑如何设计GT 和GR 以使系统在加性高斯白噪声条件下的误码率最小 5 72 前已指出 在加性高斯白噪声下 为使错误概率最小 就要使接收滤波器特性与输入信号的频谱共轭匹配 现在输入信号的频谱为发送滤波器的传输特性GT 则由式 5 65 可得接收滤波器的传输特性GR 为 5 73 上式中已经假定K 1 为了讨论问题的方便 可取t0 0 将式 5 72 和式 5 73 结合可得以下方程组 解方程组 5 74 可得 5 74 5 75 由于上式没有限定接收滤波器的相位条件 所以可以选择 由此可知 为了获得最佳基带传输系统 发送滤波器和接收滤波器的传输函数应相同 式 5 6 22 称为发送和接收滤波器的最佳分配设计 相应地在理想信道下最佳基带传输系统的结构图如图5 20所示 5 76 图5 20理想信道下最佳基带传输系统的结构 下面以比较简单的方法分析最佳基带系统的抗噪声性能 即导出最佳传输时误码率Pe的计算公式 当信道噪声是均值为零 双边功率谱密度为n0 2的高斯白噪声时 由于接收滤波器是线性系统 故输出噪声仍为高斯分布 其均值为零 方差为 5 77 式中 由式 5 71 知 匹配滤波器在抽样时刻t0 T时 有最大的输出信号值A0 即 对双极性基带信号 在发 1 和发 0 等概率时 其信号的平均功率为 则 将式 5 78 代入式 5 74 得 5 78 5 7眼图 实际应用的基带系统 由于滤波器性能不可能设计得完全符合要求 噪声又总是存在 另外信道特性常常也不稳定等原因 故其传输性能不可能完全符合理想情况 有时会相距甚远 因而计算由于这些因素所引起的误码率非常困难 甚至得不到一种合适的定量分析方法 为了衡量数字基带传输系统性能 的优劣 在实验室中 通常用示波器观察接收信号波形的方法来分析码间串扰和噪声对系统性能的影响 这就是眼图分析法 观察眼图的方法是 用一个示波器跨接在接收滤波器的输出端 然后调整示波器扫描周期 使示波器水平扫描周期与接收码元的周期同步 这时示波器屏幕上看到的图形很像人的眼睛 故称为 眼图 为解释眼图和系统性能之间的关系 图5 21给出了无噪声条件下 无码间串扰和有码间串扰的眼图 图5 21基带信号波形及眼图 图5 21 a 是接收滤波器输出的无码间串扰的二进制双极性基带波形 用示波器观察它 并将示波器扫描周期调整到码元周期 由于示波器的余辉作用 扫描所得的每一个码元波形将重叠在一起 示波器屏幕上显示的是一只睁开的迹线细而清晰的大 眼睛 如图5 21 b 所示 图5 21 c 是有码间串扰的双极性基带波形 由于存在码间串扰 此波形已经失真 示波器的扫描迹线就不完全重合 于是形成的眼图线迹杂乱 眼睛 张开得较小 且眼图不端正 如图5 21 d 所示 对比图 b 和 d 可知 眼图的 眼睛 张开得越大 且眼图越端正 表示码间串扰越小 反之 表示码间串扰越大 当存在噪声时 噪声叠加在信号上 因而眼图的线迹更不清晰 于是 眼睛 张开就更小 不过 应该注意 从图形上并不能观察到随机噪声的全部形态 例如出现机会少的大幅度噪声 由于它在示波器上一晃而过 因而用人眼是观察不到的 所以 在示波器上只能大致估计噪声的强弱 可见 从 眼图 上可以观察出码间串扰和噪声的影响 从而估计系统优劣程度 另外也可以用此图形对接收滤波器的特性加以调整 以减小码间串扰和改善系统的传输性能 为了进一步说明眼图和系统性能之间的关系 我们把眼图简化为一个模型 如图5 22所示 由该图可以获得以下信息 1 最佳抽样时刻应是 眼睛 张开最大的时刻 2 眼图斜边的斜率决定了系统对抽样定时误差的灵敏程度 斜率越大 对定时误差越灵敏 3 眼图的阴影区的垂直高度表示信号的畸变范围 4 眼图中央的横轴位置对应于判决门限电平 5 过零点失真为压在横轴上的阴影长度 有些接收机的定时标准是由经过判决门限点的平均位置决定的 所以过零点失真越大 对定时标准的提取越不利 6 抽样时刻上 下两阴影区的间隔距离之半为噪声容限 噪声瞬时值超过它就可能发生错误判决 以上分析的眼图是信号为二进制脉冲时所得到的 如果基带信号为多进制脉冲时 所得到的应是多层次的眼图 这里不再详述 图5 22眼图模型 5 8改善数字基带系统性能的措施 到目前为止 我们对数字基带传输系统的基本问题进行了分析研究 但在实际应用中 为改善数字基带传输系统的性能 仍有不少问题需要解决 本节着重讨论以下两方面的问题 一个是针对码间串扰而采用的时域均衡 另一个是针对提高频带利用率而采用的部分响应系统 5 8 1时域均衡 本章5 6节中已讨论了在信道具有理想传输特性的条件下 数字基带传输系统中发送和接收滤波器的设计 但是实际信道不可能达到理想的传输特性 并且发送和接收滤波器也不可能完全实现理想的最佳特性 因此 系统码间串扰总是存在的 理论和实践证明 在接收端抽样判决器之前插入一种可调滤波器 将能减少码间串扰 的影响 甚至使实际系统的性能十分接近最佳系统性能 这种对系统进行校正的过程称为均衡 实现均衡的滤波器称为均衡器 均衡分为频域均衡和时域均衡 频域均衡是指利用可调滤波器的频率特性去补偿基带系统的频率特性 使包括均衡器在内的整个系统的总传输函数 满足无失真传输条件 而时域均衡则是利用均衡器产生的响应波形去补偿已畸变的波形 使包括均衡器在内的整个系统的冲激响应满足无码间串扰条件 时域均衡是一种能使数字基带系统中码间串扰减到最小程度的行之有效的技术 比较直观且易于理解 在高速数据传输中得以广泛应用 本节仅介绍时域均衡原理 在图5 10的基带传输系统中 其总传输特性表示为 当H 不满足式 5 27 无码间串扰条件时 就会形成有码间串扰的响应波形 H GT C GR 为此 我们在接收滤波器GR 之后插入一个称之为横向滤波器的可调滤波器T 形成新的总传输函数 显然 只要设计T 使总传输特性满足式 5 27 即 5 79 则包含T 在内的就可在抽样时刻消除码间串扰 这就是时域均衡的基本思想 对于式 5 8 2 因为 5 80 5 81 设是以2 Ts为周期的周期函数 当其在 Ts Ts 内有 成立时 就能使 5 82 5 83 成立 对于一个以2 Ts为周期的周期函数 可以用傅里叶级数表示 即 式中 5 84 5 85 或 由上式看出 T 的傅里叶系数cn完全由H 决定 再对式 5 84 进行傅立叶反变换 则可求出T 的冲激响应为 5 86 根据 5 87 式 可构造实现T 的插入滤波器如图5 23所示 它实际上是由无限多个横向排列的延迟单元构成的 5 87 抽头延迟线加上一些可变增益放大器组成 因此称为横向滤波器 每个延迟单元的延迟时间等于码元宽度Ts 每个抽头的输出经可变增益 增益可正可负 放大器加权后输出 这样 当有码间串扰的波形x t 输入时 经横向滤波器变换 相加器将输出无码间串扰波形y t 图5 23横向滤波器的结构图 上述分析表明 借助横向滤波器实现均衡是可能的 并且只要用无限长的横向滤波器 就能做到消除码间串扰的影响 然而 使横向滤波器的抽头无限多是不现实的 大多数情况下也是不必要的 因为实际信道往往仅是一个码元脉冲波形对邻近的少数几个码元产生串扰 故实际上只要有一 二十个抽头的滤波器就可以了 抽头数太多会给制造和使用都带来困难 实际应用时 是用示波器观察均衡滤波器输出信号y t 的眼图 通过反复调整各个增益放大器的 使眼图的 眼睛 张开到最大为止 时域均衡的实现方法有多种 但从实现的原理上看 时域均衡器按调整方式可分为手动均衡和自动均衡 自动均衡又分为预置式自动均衡和自适应式自动均衡 预置式均衡是在实际传输之前先传输预先规定的测试脉冲 如重复频率很低的周期性的单脉冲波形 然后按 迫零调整原理 具体内容请参阅有关 参考书 自动或手动调整抽头增益 自适应式均衡技术主要靠先进的均衡算法实现 常用算法有 迫零调整算法 最小均方误差算法 LMS 和 递归最小二乘算法 等 自适应均衡能在信道特性随时间变化的条件下获得最佳的均衡效果 因此目前得到广泛的应用 5 8 2部分响应系统 在前面5 4节的讨论中 为了消除码间串扰 要求把基带传输系统的总特性设计成理想低通特性 或者等效的理想低通特性 然而 对于理想低通特性系统而言 其冲激响应为波形 这个波形的特点是频谱窄 而且能达到理论上的极限传输速率2Baud Hz 但其缺点是第一个零点以后的尾巴振荡幅度大 收敛慢 从而对定时要求十分严格 若定时稍有