G03高中数学一年级单元备课策略示例：高中数学必修1第二章2案例解析2单元核心知识、核心概念与学科思想方法.doc

高中数学必修1第二章函数单元核心知识、核心概念与学科思想方法江苏省南通中学 徐德均一、核心知识与核心概念1函数与映射（1）函数是数学中最重要的一个基础概念，定义域、值域、对应法则是它的三个要素函数实质上是表达定义域到值域的元素之间的一种对应关系，这种对应关系可以是一个元素对应一个元素，也可以是多个元素对应一个元素函数定义中所涉及的两个集合必须是非空的实数集（2）映射也是数学中最基本、最重要的一个概念，它所涉及的两个集合A、B可以是数集、点集、图形组成的集合，也可以是人、物体等组成的集合一个映射当A、B两个集合都是非空实数集时，它就是一个函数，所以函数是一种特殊的映射（3）函数的表示方法有列表法、图象法、解析法，其中列表法和图象法在实际应用问题中用得较多，而解析法在理论研究中用得较多，另外有的函数不能用解析法表示（4）求函数解析式的常用方法有：当已知表达式较简单时，可直接用凑配法求解；当已知函数的结构时，用待定系数法；当已知时，用换元法2函数的基本性质（1）函数的定义域：一般地，如果不加说明，函数的定义域就是使函数的解析式有意义的实数的集合常有以下几种情况：是整式时，定义域为实数集是分式时，定义域为使分母不为零的实数的集合是二次根式（偶次根式）时，定义域为使被开方式非负数的实数的集合如果函数是由一些基本函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是使各个部分都有意义的x值组成的集合，对含参数的函数求定义域（或已知定义域，求字母参数的取值范围）时，必须对参数的取值进行讨论当函数由实际问题给出时，其定义域由实际问题确定（2）函数的值域：求函数的值域只要给定了函数的定义域及其对应法则，值域就完全确定了求值域应特别注意方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用二次函数的值域的方法求函数的值域；另外，常用的还有图象法、逆求法、换元法、分离常数法、利用函数的单调性等方法（3）函数的单调性：函数的单调性是函数的局部性质，研究函数的单调性必须在函数的定义域内进行，函数的单调区间一定是其定义域的子集函数的单调性的应用主要体现在两个方面，即由自变量的取值的大小关系可以推出函数值的大小关系，反过来由函数值的大小关系也可以推出自变量的取值的大小关系讨论复合函数y=的单调性时，要注意：若y=在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y=为增函数；若y=在所讨论的区间上一个增函数，另一个是减函数，则y=是减函数（4）函数的奇偶性：函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质研究函数的奇偶性时必须先求函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的条件下，函数才可能有奇偶性，否则这个函数就是非奇非偶函数函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性如果为奇函数，那么它的图象关于原点对称；反之也成立如果为偶函数，那么它的图象关于y轴对称；反之也成立在研究函数的图象的性质时，如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可以得出这个函数在另一部分上的性质和图象（5）函数的零点：函数的零点就是使函数值等于零的自变量x的取值，也是函数的图象与x轴的公共点的横坐标求一次函数、二次函数等简单函数的零点，实际上就是解相应一元一次方程和一元二次方程，对于求较复杂函数的零点，则一般用二分法求函数零点的近似值3一次函数和二次函数一次函数和二次函数是最基本、最重要的两种函数，它们的应用贯穿于整个高中阶段，因此同学们要熟练掌握它们的性质的图象（1）一次函数y=kx+b（k0），它的零点是，当k0时，它是增函数，当k0时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值，在区间（， 上是减函数，在区间，）上是增函数当a0（或0），就是求函数y=的正负区间等2化归与转化思想化归与转化思想是把数学中待解决的问题，通过观察、分析、联想、类比，归结为已经解决或比较容易解决的问题化归与转化思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程比如，数学中将未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，数与形的转化等都是化归与转化思想的体现但要注意转化时应确保转化前后的等价性，化归与转化思想在函数值域问题中经常用到3数形结合思想数形结合也是数学中常用的数学思想，它是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想例如通过函数的图象研究函数的性质本身就是数形结合思想再如在求两个函数图象有几个交点时常用到，还有在求值域时也常用到4分类讨论思想分类讨论思想是中学数学中的又一重要数学思想，当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合种类结果得到整个问题的解答例如研究一次函数y=kx+b（k0）的单调性时，需要对斜率k进行讨论，研究二次函数的性质时，也需要对a进行讨论5逼近思想这种思想在用二分法求方程的近似解中用到在用二分法求解近似解时，逐次等分，一次次地把准确值逼进一个个更微小的区间，最后求出它的近似解6待定系数法在解数学问题时，若已知所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定