数字图象处理8.ppt

1 DigitalImageProcessing 数字图像处理 E MAIL myao99 2 第八章小波图像编码 3 8 1概述 4 主要内容 小波变换 离散小波变换 多分辨率分析和Mallat算法 Matlab中常用小波基介绍 小波变换在图像编码中的应用 5 8 2小波变换 6 一维连续小波 给定 称为连续小波或分析小波 AnalyzingWavelet 叫基本小波或母小波 MotherWavelet 其中a是伸缩因子 b为平移因子 定义 7 一维连续小波变换CWT 设 a 1 2规范化因子 可使 定义 是连续小波 记 则函数 的连续小波变换 8 基小波或允许小波 设 则为一个基小波或允许小波 定义 是连续小波且满足容许性条件 9 允许小波的性质 1 小波逆变换存在性 且有 令是允许小波 对所有有 10 允许小波的性质 2 能量比例性 上式为能量公式 在允许性条件下 小波变换幅度的平方的积分与信号能量成正比 令是允许小波 对所有有 11 允许小波的性质 3 正则性 p 1可直接由允许性条件验证 至于其他情况 能使上式成立的n越大越好 令是允许小波 要求其前n阶原点矩为零 且n越大越好 即 12 小波变换的性质 1 线性性 如果 则 13 小波变换的性质 2 平移不变性 如果 则 14 小波变换的性质 3 伸缩共变性 如果 则 15 小波变换的性质 4 自相似性对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的 5 冗余性 1 由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的 也就是说 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系 而Fourier变换与反Fourier变换是一一对应的 2 小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择 例如 非正交小波 正交小波 双正交小波 甚至允许是彼此线性相关的 16 8 3离散小波变换 17 离散小波 尺度离散化 取一个合理的值a0 使尺度因子只取a0的整数幂 即 定义 位移离散化 当尺度取a0时 取位移b b0 各位移为k b0 当时 取 其中固定的 离散小波函数 18 离散小波变换 离散小波变换 定义 改变a和b的大小 以使小波变换具有 变焦距 的功能 19 离散小波变换 定义 令 a0 2 b0 1时 尺度为2j 而位移为2jk 即 尺度为2j 而位移为2jk 则 二进离散小波 相应的小波变换记 20 框架理论 定义 设存在 对有 则称为一个框架 如果A B 则框架为紧框架有 21 框架理论 框架算子定义 称T为框架算子 如果是框架 有线性算子 I恒等算子 22 框架理论 对偶框架定义 则也是框架 且其框架界为B 1和A 1称是的对偶框架 设是框架 令 23 框架理论 对偶框架算子 可以得到 设对偶框架的框架算子 则 24 8 4多分辨率分析和Mallat算法 25 多分辨率分析 则空间集合称为依尺度函数的多分辨率分析 定义 若下列条件成立 1 嵌套性 2 稠密性 3 分立性 4 尺度性 5 Riesz基存在性 中一系列嵌套函数子空间序列 构成V0的Riesz基 且 26 小波分解和重建 Vk 一个多分辨分析 Wk 是 Vk 关于 Vk 1 的补空间 则 对 分解 27 小波分解和重建 双尺度方程 令 则 分解 28 小波分解和重建 由 推广得 分解 29 小波分解和重建 由于 分别是对应空间的Riesz基 所以 a 分解 30 小波分解和重建 将a式代入 得 分解 31 小波分解和重建 由于 线性无关 得分解算法 分解算法示意图 分解 32 小波分解和重建 重建 33 小波分解和重建 由于 线性无关 得重构算法 小波重建示意图 重建 34 8 5Matlab中常用小波基介绍 35 常用小波函数介绍 1 Harr小波 尺度函数 36 常用小波函数介绍 2 Daubechies dbN 小波系 除db1 Haar小波 其余的db系列小波函数没有解析的表达式 37 常用小波函数介绍 3 Symltes symN 小波系 sym小波在保持db小波简单性的基础上提高了小波的对称性 38 常用小波函数介绍 4 Coiflet coifN 小波族 具有更长支集长度和更大消失矩 是对称性比较好的小波系 coif3的小波尺度 小波函数和分解重构滤波器 39 常用小波函数介绍 4 Biorthogonal biorNr Nd 双正交小波系 正交基与正交小波变换从数学角度上说是最理想的 但Daubechis已经证明 除Haar基外 所有正交基都不具有对称性 这在图像编码这类型失真的应用中 会引入相位失真 是很不理想的 因此希望有对称性质的小波基 Cohen和Daubechies构造了一类具有紧支撑性和一定正则性的对称双正交小波基 它的主要特性体现在具有线性相位性 主要应用在信号与图像重构 40 常用小波函数介绍 4 Biorthogonal biorNr Nd 双正交小波系 Bior2 4小波 对偶小波及滤波器 41 与小波函数有关的Matlab函数 WAVEINFO函数 提供小波工具箱中所有小波信息 WAVEFUN函数 返回一维小波的小波函数和尺度函数 如果尺度函数存在的情况下 的近似值 WFILTERS函数 返回指定小波的分解和重构滤波器 42 与小波函数有关的Matlab函数 例8 2Matlab程序 waveinfo db 显示db系小波信息 phi psi xval wavefun db2 10 得到db2的尺度函数和小波函数subplot 242 plot xval phi k 显示尺度函数axis 03 0 51 5 axissquare title db2尺度函数 subplot 243 plot xval psi k 显示小波函数axis 03 1 51 5 axissquare title db2小波函数 lo d hi d lo r hi r wfilters db2 得到db2的相关滤波器subplot 245 stem lo d ok title db2分解低通滤波器 subplot 246 stem hi d ok title db2分解高通滤波器 subplot 247 stem lo r ok title db2重构低通滤波器 subplot 248 stem hi r ok title db2重构高通滤波器 43 与小波函数有关的Matlab函数 例8 2结果 44 8 6小波变换在图像编码中的应用 45 数字图像的小波分解 设是一个二维可分离的多分辨率分析 其中是上的一个多分辨率分析 其尺度函数为 小波函数为 那么有相应于二维的可分离的尺度函数和三个可分离的方向敏感小波函数 为 46 数字图像的小波分解 沿着不同的方向小波函数会有变化 度量沿着列变化 例如 水平边缘 度量沿着行变化 例如 垂直边缘 则对应于对角线方向 每个小波上的H表示水平方向 V表示垂直方向 D表示对角线方向 47 数字图像的小波分解 由前的尺度和小波函数 定义一个伸缩和平移的基函数 48 数字图像的小波分解 同一维一样 可得到分解算法 49 数字图像的小波分解 令分解序列为Lo D和Hi D 数字图像小波分解数据流示意图 50 数字图像的小波分解 数字图像小波分解流程图 51 数字图像的重构 同样 则重构算法 令重构序列为Lo R和Hi R 数字图像小波分解数据流示意图 52 数字图像的分解 例 其Matlab程序如下 I imread cameraman tif tif 读入并显示原始图像figure 1 subplot 121 imshow I ca1 ch1 cv1 cd1 dwt2 I db2 用 db2 小波对图像进行一层小波解I2 ca1 ch1 4 cv1 4 cd1 4 组成变换后的矩阵 图像不能反映实际情况 要作一些处理 min min I2 max max I2 subplot 122 imshow I2 min max 显示变换后近似和细节图像X idwt2 ca1 ch1 cv1 cd1 db2 用idwt2作反变换rmes compare I X 反变换结果与原始图像比较 53 数字图像的分解 例 二维小波一层分解图 54 数字图像的分解 例 二维小波一层分解图 55 数字图像的分解 例 多级二维小波变换结果 56 小波基的选择 不同于Fourier分析 小波基不是唯一 显然选择最优的小波基用于图像编码是一个非常困难的事 一般情况下需考虑以下几个因素 小波基的正则性和消失矩 小波基的线性相位 要处理图像与小波基的相似性 小波函数的能量集中性 综合考虑压缩效率和计算复杂度 57 小波基的选择 图像压缩中几种常用小波基 双正交样条小波bior2 4 58 小波基的选择 双正交样条小波 接近正交性的 59 小波基的选择 双正交样条小波 接近正交性的bior4 4 60 小波基的选择 双正交样条小波 jpeg9 7 61 小波变换域小波系数分析 1 小波变换的能量紧致性分析 子图 M N个像素 的能量定义为 62 小波变换域小波系数分析 2 小波变换系数分析 Lena图小波系数统计分析表 63 小波变换域小波系数分析 2 小波变换系数分析 各层小波系数分布图 64 小波变换域小波系数分析 小波系数规律 1 随着分层数的增加 小波系数的范围越来越大 说明越往后层次的小波系数越重要 2 除LL4外 其他子带方差和能量明显减少 充分说明低频系数在图像编码中的重要性 3 对同一方向子带 按从高层到低层 从低频到高频 子带 有 HL4 HL3 HL2 HL1 LH4 LH3 LH2 LH1 HH4 HH3 HH2 HH1 大部分情况下其方差从大到小 有一定的变换规则 4 第一层中有90 的系数绝对值集中在0零附近 以上规律对图像压缩编码算法有很重要的指导意义 65 小波变换域小波系数分析 例 66 直接阈值编码法 对小波系数C i j 在图像压缩中常用的阈值法为 阈值化处理的关键问题是选择合适的阈值的选取 如果阈值太小 压缩效果不明显 阈值太大 压缩图像重构就是丢失很多细节 产生模糊 67 直接阈值编码法 小波变换系数的二种阈值方法 对所有子带用一个全局阈值 对各子带分别用不同的阈值 68 直接阈值编码法 例 69 基于小波树结构的矢量量化法 人眼视觉系统是对高频分量不敏感 而对低频分量反应很敏感 根据这一特点 在压缩时应尽量降低低频分量的失真 即在量化编码的码率分配时 低频区码率相对高 高频区码率相对低 二级小波分解和矢量量化位率分配图 70 基于小波树结构的矢量量化法 前面章节已经指出若对图像进行L层分解 其变换系数有以下几个特点 1 图像的能量主要集中在低频的LL子带上 2 子带LH HL HH表现出明显的方向性 它们分别代表水平 垂直和对角方向的边沿或纹理信号 3 各子带的相应位置的系数有明显的相关性 71 基于小波树结构的矢量量化法 例 矢量量化结果 72 嵌入式小波零树编码 1 零树表示 小波系数分三种情形 零树根 孤立零 重要系数 73 嵌入式小波零树编码 系数编码时的扫描顺序图 74 嵌入式小波零树编码 系数编码的流程