高中数学 2.3.1直线与平面垂直的判定练习 新人教A版必修2.doc

23.1直线与平面垂直的判定1直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面垂直，记作l；直线l叫做平面的垂线；平面叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点p叫做垂足(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 (3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示：a，b，aba，la，lbl.如右图所示，pacd，abcd是正方形，求证：cd平面pad. 证明：因为pacd，又abcd是正方形，所以adcd，又pa与ad相交，所以cd平面pad.2直线与平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，如图，pao就是斜线ap与平面所成的角 (2)特别的，当直线ap与平面垂直时，它们所成的角是90；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0(3)直线和平面所成角的范围0，90直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？答案：能两条直线垂直就一定相交吗？答案：错思考应用1“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面”这个结论对吗？解析：不正确实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直2异面直线所成的角的定义及范围是什么？解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成的角，在空间中任取一点o，过o作aa，bb，则a与b的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0，901如果一条直线垂直于一个平面内的：三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(a)a b c d解析：能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，中的两直线有可能平行2若斜线段ab是它在平面上的射影的长的2倍，则ab与平面所成的角是(a)a60 b45c30 d120解析：ab与平面所成的角，即ab与其在平面射影所成的角，由已知得为60.3如果直线l和平面内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是(d)al bl与相交cl d都有可能4已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是(d)a存在无数个平面与a，b都平行b存在一个平面与a，b等距离c存在无数条直线与a，b都垂直d存在一个平面与a，b都垂直5三条直线两两垂直，下列四个命题：三条直线必共点；其中必有两条直线是异面直线；三条直线不可能在同一平面内；其中必有两条直线在同一平面内其中真命题的序号是解析：两条直线垂直不一定相交，只有正确1下列说法中错误的是(d)如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线a bc d解析：由线面垂直的判定定理可得错误2一条直线和平面所成角为，那么的取值范围是(b)a(0，90) b0，90c0，180 d0，180)3如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab，bc1，pa2，e为pd的中点，则直线be与平面abcd所成角的正切值为_解析：取ad的中点f，连接ef、bf， 则efpa，由侧棱pa底面abcd，ef底面abcd，则ebf为be与平面abcd所成角答案：4设o为平行四边形abcd对角线的交点，p为平面ac外一点且有papc，pbpd，则po与平面abcd的关系是_答案：垂直5给出下列命题：若直线a平面，且直线a直线b，则b平面；如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直其中正确命题的序号是_解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举反例说明b与平面可以平行或者b.直线垂直于平面内的无数条平行直线时，直线与平面不一定垂直由反证法可知正确答案：6已知pa垂直于平行四边形abcd所在平面，若pcbd，则平行四边形一定是_解析：由于pa平面abcd，bd平面abcd，所以pabd.又pcbd，所以bd平面pac.又ac平面pac，所以bdac.又四边形abcd是平行四边形，所以四边形abcd是菱形答案：菱形7已知三条相交于一点的线段pa，pb，pc两两垂直，p在平面abc外，ph平面abc于h，则垂足h是abc的(d)a内心 b外心 c重心 d垂心解析：连接ah并延长交bc于d，如图所示 由于ph平面abc，则bcph，又papb，papc，则pa平面pbc，所以bcpa.所以bc平面pad，又ah平面pad，所以ahbc.同理可证bhac，chab，所以垂足h是abc的垂心8如图，在四棱锥pabcd中，ab平面pad，abcd，pdad，e是pb的中点，f是dc上的点，且dfab，ph为pad中ad边上的高(1)证明：ph平面abcd；(2)证明：ef平面pab.证明：(1)ph为pad中的高，phad.又ab平面pad，ph平面pad，phab，abada.ph平面abcd.(2)取pa的中点q，连接eq，dq，e是pb的中点，eqab且eqab.又dfab且dfab，eq綊df，四边形eqdf是平行四边形efdq.由(1)知ab平面pad，abdq.又pdad，dqpa.paaba，dq平面pab.efdq，ef平面pab.9如图，正方形abcd所在平面与三角形cde所在平面相交于cd，ae平面cde，且ae3，ab6. (1)求证：ab平面ade；(2)求凸多面体abcde的体积(1)证明：ae平面cde，cd平面cde，aecd.在正方形abcd中，cdad，adaea，cd平面ade.abcd，ab平面ade.(2)解析：在rtade中，ae3，ad6，de3.如图，过点e作efad于点f，ab平面ade，ef平面ade，efab.adaba，ef平面abcd.adefaede，ef.又正方形abcd的面积s正方形abcd36，v多面体abcdeveabcds正方形abcdef3618.故所求凸多面体abcde的体积为18.1直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂