中考数学专题复习专题提升十一以平行四边形为背景的计算与证明课件

专题提升 十一 以平行四边形为背景的计算与证明 已知 如图Z11 1 在 ABCD中 AC是对角线 若BE AC DF AC 垂足分别为点E F 求证 BE DF 浙教版八下P83作业题第5题 一以平行四边形为背景的计算与证明 图Z11 1 证明 四边形ABCD是平行四边形 AB CD BAC DCF BE AC DF AC AEB CFD 又 AB CD Rt AEB Rt CFD BE DF 思想方法 1 平行四边形是一种特殊的四边形 它具有对边平行且相等 对角线互相平分等性质 根据平行四边形的性质可以解决有关的计算或证明 2 平行四边形的判定有四种方法 两组对边分别平行 两组对边分别相等 一组对边平行且相等 对角线互相平分 1 如图Z11 2 E F是四边形ABCD的对角线BD上的两点 AE CF AE CF BE DF 求证 ADE CBF 图Z11 2 证明 AE CF AED CFB DF BE DF EF BE EF 即DE BF 在 ADE和 CBF中 2 2013 郴州 如图Z11 3 已知BE DF ADF CBE AF CE 求证 四边形DEBF是平行四边形 图Z11 3 证明 因为BE DF 所以 AFD CEB 又因为 ADF CBE AF CE 所以 ADF CBE 所以DF BE 又因为BE DF 所以四边形DEBF是平行四边形 如图Z11 4 四边形ABCD中 AD BC AE AD交BD于点E CF BC交BD于点F 且AE CF 求证 四边形ABCD是平行四边形 图Z11 4 证明 AD BC ADB CBD AE AD CF BC EAD FCB 90 又 AE CF EAD FCB AAS AD CB 又 AD BC 四边形ABCD是平行四边形 如图Z11 5 在菱形ABCD中 E F分别是BC CD的中点 且AE BC AF CD 求菱形各个内角的度数 浙教版八下P120作业题第4题 图Z11 5 二以矩形 菱形或正方形为背景的计算与证明 解 连接AC 因为四边形ABCD是菱形 AE BC AF CD且点E F分别为BC CD的中点 所以AC AB AD BC CD 所以三角形ABC 三角形ACD均为等边三角形 所以 ABC ACB BAC ACD ADC CAD 60 所以菱形ABCD的四个内角角度分别为 ABC ADC 60 BAD BCD 120 教材母题答图 思想方法 要掌握矩形 菱形 正方形的性质和判定方法 采用类比的学习法 比较它们的区别和联系 对于矩形的性质 重点从 四对 入手 即从对边 对角 对角线及对称轴入手 判定菱形可以从一般四边形入手 也可以从平行四边形入手 正方形既具有矩形性质又具有菱形性质 1 如图Z11 6 四边形ABCD是菱形 对角线AC BD相交于点O DH AB于H 连结OH 求证 DHO DCO 图Z11 6 证明 四边形ABCD是菱形 OD OB COD 90 DH AB于H DHB 90 OH OB OD OHB OBH AB CD OBH ODC OHB ODC 在Rt COD中 ODC OCD 90 在Rt DHB中 DHO OHB 90 DHO DCO 2 2013 临沂 如图Z11 7 在 ABC中 AD是BC边上的中线 E是AD的中点 过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F 连结CF 1 求证 AF DC 2 若AB AC 试判断四边形ADCF的形状 并证明你的结论 图Z11 7 证明 1 E是AD的中点 AE ED AF BC AFE DBE FAE BDE AFE DBE AF DB AD是BC边上的中线 DB DC AF DC 2 四边形ADCF是菱形 理由 由 1 知 AF DC AF CD AD是BC边上的中线 四边形ADCF是平行四边形 3 2014 济宁 如图Z11 8 正方形AEFG的顶点E G在正方形ABCD的边AB AD上 连接BF DF 1 求证 BF DF 2 连接CF 请直接写出BE CF的值 不必写出计算过程 图Z11 8 解 1 证明 四边形ABCD和AEFG都是正方形 AB AD AE AG EF FG BEF DGF 90 BE AB AE DG AD AG BE DG BEF DGF BF DF 4 2014 南京 如图Z11 9 在 ABC中 D E分别是AB AC的中点 过点E作EF AB 交BC于点F 1 求证 四边形DBFE是平行四边形 2 当 ABC满足什么条件时 四边形DBFE是菱形 为什么 图Z11 9 解 1 证明 D E分别是AB AC的中点 即DE是 ABC的中位线 DE BC 又 EF AB 四边形DBFE是平行四边形 2 本题答案不唯一 下列解法供参考 当AB BC时 四边形DBFE是菱形 又 AB BC BD DE 又 四边形DBFE是平行四边形 四边形DBFE是菱形 5 2014 巴中 如图Z11 10 在四边形ABCD中 点H是边BC的中点 作射线AH 在线段AH及其延长线上分别取点E F 连接BE CF 1 请你添加一个条件 使得 BEH CFH 你添加的条件是 并证明 2 在问题 1 中 当BH与EH满足什么关系时 四边形BFCE是矩形 请说明理由 图Z11 10 BE CF 答案不唯一 解 1 添加条件 BE CF 答案不唯一 如图 BE CF 1 2 点H是边BC的中点 BH CH又 3 4 BEH CFH 2 当BH EH时 四边形BFCE是矩形 理由如下 BEH CFH BH CH EH FH 四边形BFCE是平行四边形 又 BH EH EF BC 四边形BFCE是矩形 第5题答图 6 如图Z11 11所示 在菱形ABCD中 AB 4 BAD 120 AEF为正三角形 点E F分别在菱形的边BC CD上滑动 且E F不与B C D重合 1 证明 不论E F在BC CD上如何滑动 总有BE CF 2 当点E F在BC CD上滑动时 分别探讨四边形AECF和 CEF的面积是否发生变化 如果不变 求出这个定值 如果变化 求出最大 或最小 值 图Z11 11 解 1 连结AC 在菱形ABCD中 BAD 120 BAC 60 B 60 ABC是正三角形 AB AC AEF为正三角形 EAF 60 AE AF BAC EAC EAF EAC 即 BAE CAF ABE ACF BE CF 变形6答图 如图Z11 12 在四边形ABCD中 AB AD CB CD E是CD上一点 BE交AC于F 连结DF 图Z11 12 1 证明 BAC DAC AFD CFE 2 若AB CD 试证明四边形ABCD是菱形 3 在 2 的条件下 试确定E点的位置 使 EFD BCD 并说明理由 解 1 证明 AB AD CB CD AC AC ABC ADC BAC DAC AB AD BAF DAF AF AF ABF ADF AFB AFD 又 CFE AFB AFD CFE 2 AB CD BAC ACD 又 BAC DAC DAC AC