十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题07数列理（含解析）.docx

专题07数列历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019等差数列2019年新课标1理科09单选题2018等差数列2018年新课标1理科04单选题2017等差数列2017年新课标1理科04单选题2017数列综合题2017年新课标1理科12单选题2016等差数列2016年新课标1理科03单选题2013数列的定义与通项公式2013年新课标1理科07单选题2013数列应用题2013年新课标1理科12单选题2012等比数列2012年新课标1理科05填空题2019等比数列2019年新课标1理科14填空题2018数列的定义与递推公式2018年新课标1理科14填空题2016等比数列2016年新课标1理科15填空题2013数列的定义与通项公式2013年新课标1理科14填空题2012数列的定义与通项公式2012年新课标1理科16解答题2015数列综合题2015年新课标1理科17解答题2014数列综合题2014年新课标1理科17解答题2011数列综合题2011年新课标1理科17解答题2010数列综合题2010年新课标1理科17历年高考真题汇编1【2019年新课标1理科09】记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则（）Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n【解答】解：设等差数列an的公差为d，由S40，a55，得，an2n5，故选：A2【2018年新课标1理科04】记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2+S4，a12，则a5（）A12B10C10D12【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，3S3S2+S4，a12，a1+a1+d+4a1d，把a12，代入得d3a52+4（3）10故选：B3【2017年新课标1理科04】记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（）A1B2C4D8【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，S648，解得a12，d4，an的公差为4故选：C4【2017年新课标1理科12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是（）A440B330C220D110【解答】解：设该数列为an，设bn2n+11，（nN+），则ai，由题意可设数列an的前N项和为SN，数列bn的前n项和为Tn，则Tn211+221+2n+112n+1n2，可知当N为时（nN+），数列an的前N项和为数列bn的前n项和，即为2n+1n2，容易得到N100时，n14，A项，由435，440435+5，可知S440T29+b5230292+251230，故A项符合题意B项，仿上可知325，可知S330T25+b5226252+251226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意C项，仿上可知210，可知S220T20+b10221202+2101221+21023，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意D项，仿上可知105，可知S110T14+b5215142+251215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意故选A方法二：由题意可知：，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2n1，每项含有的项数为：1，2，3，n，总共的项数为N1+2+3+n，所有项数的和为Sn：211+221+231+2n1（21+22+23+2n）nn2n+12n，由题意可知：2n+1为2的整数幂只需将2n消去即可，则1+2+（2n）0，解得：n1，总共有23，不满足N100，1+2+4+（2n）0，解得：n5，总共有318，不满足N100，1+2+4+8+（2n）0，解得：n13，总共有495，不满足N100，1+2+4+8+16+（2n）0，解得：n29，总共有5440，满足N100，该款软件的激活码440故选：A5【2016年新课标1理科03】已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100（）A100B99C98D97【解答】解：等差数列an前9项的和为27，S99a59a527，a53，又a108，d1，a100a5+95d98，故选：C6【2013年新课标1理科07】设等差数列an的前n项和为Sn，若Sm12，Sm0，Sm+13，则m（）A3B4C5D6【解答】解：amSmSm12，am+1Sm+1Sm3，所以公差dam+1am1，Sm0，m10，m1，因此m不能为0，得a12，所以am2+（m1）12，解得m5，另解：等差数列an的前n项和为Sn，即有数列成等差数列，则，成等差数列，可得2，即有0，解得m5又一解：由等差数列的求和公式可得（m1）（a1+am1）2，m（a1+am）0，（m+1）（a1+am+1）3，可得a1am，2am+am+1+am+10，解得m5故选：C7【2013年新课标1理科12】设AnBnn的三边长分别为an，bn，cn，AnBnn的面积为Sn，n1，2，3若b1c1，b1+c12a1，an+1an，则（）ASn为递减数列BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列DS2n1为递减数列，S2n为递增数列【解答】解：b12a1c1且b1c1，2a1c1c1，a1c1，b1a12a1c1a1a1c10，b1a1c1，又b1c1a1，2a1c1c1a1，2c1a1，由题意，an，bn+1+cn+12an（bn+cn2an），b1+c12a1，b1+c12a10，bn+cn2an0，bn+cn2an2a1，bn+cn2a1，由此可知顶点An在以Bn、cn为焦点的椭圆上，又由题意，bn+1cn+1，a1bn，bn+1a1，bna1，cn2a1bn，单调递增（可证当n1时0）故选：B8【2012年新课标1理科05】已知an为等比数列，a4+a72，a5a68，则a1+a10（）A7B5C5D7【解答】解：a4+a72，由等比数列的性质可得，a5a6a4a78a44，a72或a42，a74当a44，a72时，a18，a101，a1+a107当a42，a74时，q32，则a108，a11a1+a107综上可得，a1+a107故选：D9【2019年新课标1理科14】记Sn为等比数列an的前n项和若a1，a42a6，则S5【解答】解：在等比数列中，由a42a6，得q6a12q5a10，即q0，q3，则S5，故答案为：10【2018年新课标1理科14】记Sn为数列an的前n项和若Sn2an+1，则S6【解答】解：Sn为数列an的前n项和，Sn2an+1，当n1时，a12a1+1，解得a11，当n2时，Sn12an1+1，由可得an2an2an1，an2an1，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，S663，故答案为：6311【2016年新课标1理科15】设等比数列an满足a1+a310，a2+a45，则a1a2an的最大值为64【解答】解：等比数列an满足a1+a310，a2+a45，可得q（a1+a3）5，解得qa1+q2a110，解得a18则a1a2ana1nq1+2+3+（n1）8n，当n3或4时，表达式取得最大值：2664故答案为：6412【2013年新课标1理科14】若数列an的前n项和为Snan，则数列an的通项公式是an【解答】解：当n1时，a1S1，解得a11当n2时，anSnSn1（）（），整理可得，即2，故数列an从第二项开始是以2为首项，2为公比的等比数列，故当n2时，an（2）n1，经验证当n1时，上式也适合，故答案为：（2）n113【2012年新课标1理科16】数列an满足an+1+（1）nan2n1，则an的前60项和为【解答】解：an+1+（1）n an2n1，故有 a2a11，a3+a23，a4a35，a5+a47，a6a59，a7+a611，a50a4997从而可得 a3+a12，a4+a28，a7+a52，a8+a624，a9+a112，a12+a1040，a13+a112，a16+a1456，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列an的前60项和为 152+（158）183014【2015年新课标1理科17】Sn为数列an的前n项和，已知an0，an2+2an4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设bn，求数列bn的前n项和【解答】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（）（）15【2014年新课标1理科17】已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan+1Sn1，其中为常数（）证明：an+2an（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由【解答】（）证明：anan+1Sn1，an+1an+2Sn+11，an+1（an+2an）an+1an+10，an+2an（）解：假设存在，使得an为等差数列，设公差为d则an+2an（an+2an+1）+（an+1an）2d，Sn1，根据an为等差数列的充要条件是，解得4此时可得，an2n1因此存在4，使得an为等差数列也可以先考虑前3项成等差数列，得出，再进一步验证即可16【2011年新课标1理科17】等比数列an的各项均为正数，且2a1+3a21，a329a2a6，（）求数列an的通项公式；（）设bnlog3a1+log3a2+log3an，求数列的前n项和【解答】解：（）设数列an的公比为q，由a329a2a6得a329a42，所以q2由条件可知各项均为正数，故q由2a1+3a21得2a1+3a1q1，所以a1故数列an的通项式为an（）bn（1+2+n），故2（）则2（1）+（）+（），所以数列的前n项和为17【2010年新课标1理科17】设数列满足a12，an+1an322n1（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列bn的前n项和Sn【解答】解：（）由已知，当n1时，an+1（an+1an）+（anan1）+（a2a1）+a13（22n1+22n3+2）+23222（n+1）1而a12，所以数列an的通项公式为an22n1（）由bnnann22n1知Sn12+223+325+n22n1从而22Sn123+225+n22n+1得（122）Sn2+23+25+22n1n22n+1即考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n项和，等比数列及其前n项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1等差数列，等比数列，满足，则能取到的最小整数是（ ）ABCD【答案】B【解析】等差数列的公差设为，等比数列的公比设为，由，可得，则，可得能取到的最小整数是故选：B2中国古代数学名著九章算术中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ABCD【答案】D【解析】因为斗=升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为，由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且则，解得，所以马主人要偿还的量为：，故选D.3我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）A41B45C369D321【答案】C【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，故.故选：C4设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）A290BCD【答案】C【解析】由得，当时，整理得，所以是公差为4的等差数列，又，所以，从而，所以，数列的前10项的和.故选.5意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，即，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2019项的和为（ ）A672B673C1346D2019【答案】C【解析】由数列各项除以2的余数，可得为，所以是周期为3的周期数列，一个周期中三项和为，因为，所以数列的前2019项的和为，故选C.6已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则的值是（ ）A1BCD【答案】D【解析】是等比数列 是等差数列 本题正确选项：7已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：数列满足，当时，得：，故：，数列满足：，则：，由于恒成立，故：，整理得：，因为在上单调递减，故当时，所以故选：D8已知函数的定义域为，当时，且对任意的实数，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ）ABCD【答案】A【解析】由，令，则时， 当时，令，则，即又 当时，令，则，即在上单调递减又令，；令，；令，数列是以为周期的周期数列，在上单调递减 ，本题正确选项：9在数列中，则的值为_【答案】1【解析】因为所以，,各式相加，可得，所以，故答案为1.10已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为_【答案】2【解析】正项等比数列满足，整理，得，又，解得，存在两项，使得，整理，得，则的最小值为2当且仅当取等号，但此时，又，所以只有当，时，取得最小值是2故答案为：211已知数列满足对，都有成立，函数，记，则数列的前项和为_【答案】【解析】解：对，都有成立，可令即有，为常数，可得数列为等差数列，函数，由，可得的图象关于点对称，可得数列的前项和为故答案为：12已知数列的前项和为，满足，则=_【答案】【解析】由题意，数列满足，则，两式相减可得，即整理得，即，即，当时，即，解得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，所以.13等差数列中，且，成等比数列，数列前20项的和_【答案】200或330【解析】设数列的公差为，则，由成等比数列，得，即，整理得，解得或，当时，；当时，于是，故答案为200或330.14已知正项等比数列的前项和为若，则取得最小值时，的值为_【答案】【解析】由，得：q1，所以，化简得：，即，即，得，化简得，当，即时，取得最小值，所以故答案为：15设数列的前项和为，且满足，则_【答案】【解析】解：，可得时， ，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得故答案为：16已知数列满足，则数列的前项和为_.【答案】【解析】由，得，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，于是，所以，因为，所以的前项和.17定义：从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列，则称为的子数列；若成等差（或等比），则称为的等差（或等比）子数列.（1）记数列的前项和为，已知.求数列的通项公式；数列是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由.（2）已知数列的通项公式为，证明：存在等比子数列.【答案】（1）；见解析；（2）见证明【解析】解：（1）因为，所以当时，当时，所以.综上可知：.假设从数列中抽3项成等差，则，即，化简得：.因为，所以，且，都是整数，所以为偶数，为奇数，所以不成立.因此，数列不存在三项等差子数列.若从数列中抽项，其前三项必成等差数列，不成立.综上可知，数列不存在等差子数列.（2）假设数列中存在3项，成等比.设，则，故可设（与是互质的正整数）.则需满足，即需满足，则需满足.取，则.此时，.故此时成立.因此数列中存在3项，成等比，所以数列存在等比子数列.18在等差数列中，已知公差，是与的等比中项（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）令，数列的前项和为.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为是与的等比中项，所以，数列的通项公式为.（2）得：，故。（3），令，则得： ，。数列的前项和19已知等差数列满足，等比数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，若数列满足，求的前项和为.【答案】(1) ， (2)