n维向量与向量空间习题解.doc

第三章 n维向量与向量空间1已知，求解： 2把向量表示成向量组线性组合：（1）；解：设，先将这组关系写成线性方程组：利用矩阵的初等变换解方程组 解得：所以（2）解：设，那么先将这组关系写成线性方程组，再利用矩阵的初等变换解方程组 解得：，所以3 . 已知线性无关，证明也线性无关。解：假设线性相关，则存在一组不全为零的数，使得即 由于线性无关，；与“不全为零”的矛盾, 所以假设不真.4设是互不相同的数，令，求证：是线性无关的。解：设，则注意这个方程组的前r个方程只有零解，因为其系数行列式为范德蒙行列式：这说明：向量组的秩是，所以，是线性无关的。5已知，问：（1）为何值时，线性无关？（2）为何值时，线性相关？解：设此方程组的系数矩阵的行列式为（1）当时，行列式，按照线性齐次方程组的Cramer法则，方程组有唯一的零解：，说明线性无关。（2）当时，行列式，按照线性齐次方程组的Cramer法则，方程组有非零解。说明线性相关。6求下列向量组的极大无关组：（1）；解：注意：矩阵的秩等于其列向量组的秩。找出极大无关组也就是要寻求这个向量组的秩。利用初等变换法故极大线性无关组为：或（2）；解：故极大无关组为：或或或（3）；解：故极大无关组为：或或（4）。解：故极大无关组为：或或或7设是一组维向量，已知单位向量可以被它线性表出，证明：线性无关。解法：不妨设 所以，两边取行列式得： 由于，即维向量组的秩是。所以线性无关。解法：因为可以被单位向量线性表出，又由题设单位向量可以被线性表出，故与等价。等价的向量组具有相同的秩。即所以线性无关。 解法3. 因为单位向量可以被线性表示, 所以又由于是维向量, 所以 因此, 故向量组线性无关.8已知的秩为，证明：中任意个线性无关的都构成它的一个极大无关组。解：设是中的个线性无关的向量. 则向量组中任意个向量必线性相关, 对中的任意一个向量, 考虑向量组由于线性无关,所以可以由线性表出。因此构成的一个极大无关组。9已知等价的向量组有相等的秩，那么同维且有相等的秩的两个向量组是否等价？并说明理由。解：同维且有相等的秩的两个向量组不一定等价。例如：在中与不能互相线性表示，因此不等价。10设 问关于向量的加法和数乘向量运算是不是线性空间？解：任取，则。由于 ，所以这说明关于向量的加法和数乘向量运算是线性空间。另一方面，如果，那么，而这说明关于向量的加法和数乘向量运算不是线性空间。11设，由次数等于的所有实数域上的多项式组成，证明：对多项式加法和数乘，不能构成线性空间。证明：取，但是所以V不能构成线性空间。12试证由所生成的线性空间就是。解：首先由于，所以， 即线性无关的，故中任意向量可以由向量组线性表示。所以13设记，求证：（1）为向量空间（称为由生成的向量）；（2）的极大无关组是的一组基。证明：（1）任取，由于故W成为线性空间。（2）W中的任何向量可被线性表示，因此也可以被的极大无关组线性表示。根据基的定义，的极大无关组是的一组基。复习题二 1设证明：证明：只需直接计算2证明：包含零向量的向量组是线性相关的。证明：设所考虑的向量组为，则存在不全为零的一组数，使这说明含零向量的向量组是线性相关的。3证明：包含两个相同向量的向量组是线性相关的。证明：设所考虑的向量组为，则存在不全为零的一组数，使这说明包含两个相同向量的向量组是线性相关的。4证明：线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关的。证明：设向量组为线性无关向量组，而为其一个部分组。如果部分组线性相关，则存在不全为零的一组m个数，使这样就能找到一组个数，它们不全为零，使这与线性无关是矛盾的。说明线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关的。5证明：如果三个向量线性相关，且不能由线性表出，则仅差一个数值因子。证明：既然线性相关，就存在不全为零的一组数，使我们断定，因为否则即可由线性表出，与题设矛盾。所以另外中至少一个非零，比如说，那么 6设维向量组是线性无关的，根据数值之间的大小关系，讨论向量组的线性相关性。讨论如下：由于任何个n维向量必线性相关，所以；如果，必线性相关;由于线性无关向量组的任何部分组也必