高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9_1直线的方程课件理苏教版

9 1直线的方程 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直线的倾斜角 1 定义 在平面直角坐标系中 对于一条与x轴相交的直线 把x轴所在的直线绕着交点按方向旋转到和直线重合时所转过的称为这条直线的倾斜角 并规定 与x轴的直线的倾斜角为0 2 范围 直线的倾斜角 的取值范围是 2 斜率公式 1 若直线l的倾斜角 90 则斜率k 2 P1 x1 y1 P2 x2 y2 在直线l上且x1 x2 则l的斜率k 知识梳理 逆时针 最小正角 平行或重合 0 180 tan 几何画板展示 3 直线方程的五种形式 y y1 k x x1 y kx b A B不全为0 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 2 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 3 直线的倾斜角越大 其斜率就越大 4 直线的斜率为tan 则其倾斜角为 5 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 6 经过任意两个不同的点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 表示 几何画板展示 考点自测 1 2016 常州模拟 若直线l与直线y 1 x 7分别交于点P Q 且线段PQ的中点坐标为 1 1 则直线l的斜率为 答案 解析 设P m 1 Q 7 n 所以P 5 1 Q 7 3 2 直线x a2 1 y 1 0的倾斜角的取值范围是 答案 解析 由直线方程可得该直线的斜率为 又 1 0 所以倾斜角的取值范围是 几何画板展示 3 如图所示 直线l过点P 1 2 且与以A 2 3 B 3 0 为端点的线段相交 则直线l的斜率的取值范围为 答案 解析 设PA与PB的倾斜角分别为 直线PA的斜率k1 5 直线PB的斜率k2 当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时 它的倾斜角由 增到90 斜率的变化范围为 5 当直线l由PC变化到PB的位置时 它的倾斜角为90 增至 斜率的变化范围为 故直线l的斜率的取值范围是 5 4 教材改编 直线l ax y 2 a 0在x轴和y轴上的截距相等 则实数a 答案 解析 1或 2 令x 0 得直线l在y轴上的截距为2 a 令y 0 得直线l在x轴上的截距为1 依题意2 a 1 解得a 1或a 2 5 过点A 2 3 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 答案 解析 3x 2y 0或x y 5 0 当直线过原点时 直线方程为y 即3x 2y 0 当直线不过原点时 设直线方程为 1 即x y a 将点A 2 3 代入 得a 5 即直线方程为x y 5 0 故所求直线的方程为3x 2y 0或x y 5 0 题型分类深度剖析 题型一直线的倾斜角与斜率例1 1 2016 镇江模拟 直线xsin y 2 0的倾斜角的取值范围是 答案 解析 设直线的倾斜角为 则有tan sin 因为sin 1 1 所以 1 tan 1 又 0 所以0 或 2 直线l过点P 1 0 且与以A 2 1 B 0 为端点的线段有公共点 则直线l斜率的取值范围为 答案 解析 1 如图 kAP 1 k 1 几何画板展示 引申探究1 若将本例 2 中P 1 0 改为P 1 0 其他条件不变 求直线l斜率的取值范围 解答 P 1 0 A 2 1 B 0 如图可知 直线l斜率的取值范围为 2 若将本例 2 中的B点坐标改为 2 1 其他条件不变 求直线l倾斜角的范围 解答 如图 直线PA的倾斜角为45 直线PB的倾斜角为135 由图象知l的倾斜角的范围为 0 45 135 180 直线倾斜角的范围是 0 而这个区间不是正切函数的单调区间 因此根据斜率求倾斜角的范围时 要分与两种情况讨论 由正切函数图象可以看出 当 时 斜率k 0 当 时 斜率不存在 当 时 斜率k 0 思维升华 跟踪训练1 2016 南京模拟 已知过定点P 2 0 的直线l与曲线y 相交于A B两点 O为坐标原点 当 AOB的面积取到最大值时 直线l的倾斜角的大小为 答案 解析 150 几何画板展示 由y 得x2 y2 2 y 0 它表示以原点O为圆心 以为半径的圆的一部分 其图象如图所示 显然直线l的斜率存在 设过点P 2 0 的直线l为y k x 2 则圆心到此直线的距离d 所以S AOB 当且仅当 2k 2 2 2k2 即k2 时等号成立 由图可得k k 舍去 故直线l的倾斜角为150 题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程 1 直线过点 4 0 倾斜角的正弦值为 解答 由题设知 该直线的斜率存在 故可采用点斜式 设倾斜角为 则sin 0 从而cos 则k tan 故所求直线方程为y x 4 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 经过点P 4 1 且在两坐标轴上的截距相等 解答 设直线l在x y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 及 4 1 l的方程为y x 即x 4y 0 若a 0 则设l的方程为 1 l过点 4 1 1 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为x 4y 0或x y 5 0 3 直线过点 5 10 且直线到原点的距离为5 解答 当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设其为k 则所求直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 由点到直线的距离公式 得 5 解得k 故所求直线方程为3x 4y 25 0 综上知 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 在求直线方程时 应先选择适当的直线方程的形式 并注意各种形式的适用条件 用斜截式及点斜式时 直线的斜率必须存在 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线 故在解题时 若采用截距式 应注意分类讨论 判断截距是否为零 若采用点斜式 应先考虑斜率不存在的情况 思维升华 跟踪训练2求适合下列条件的直线方程 1 经过点P 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 解答 设直线l在x y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 和 3 2 l的方程为y x 即2x 3y 0 若a 0 则设l的方程为 1 l过点 3 2 1 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为2x 3y 0或x y 5 0 2 过点A 1 3 斜率是直线y 3x的斜率的 倍 解答 设所求直线的斜率为k 依题意k 3 又直线经过点A 1 3 因此所求直线方程为y 3 x 1 即3x 4y 15 0 3 过点A 1 1 与已知直线l1 2x y 6 0相交于B点且AB 5 解答 过点A 1 1 与y轴平行的直线为x 1 解方程组 求得B点坐标为 1 4 此时AB 5 即x 1为所求 设过A 1 1 且与y轴不平行的直线为y 1 k x 1 k 2 解方程组 得两直线交点为 则B点坐标为 1 2 1 2 52 解得k y 1 x 1 即3x 4y 1 0 综上可知 所求直线方程为x 1或3x 4y 1 0 题型三直线方程的综合应用命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3已知直线l过点P 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于A B两点 如图所示 求 ABO的面积的最小值及此时直线l的方程 解答 方法一设直线方程为 1 a 0 b 0 把点P 3 2 代入得 1 得ab 24 从而S AOB ab 12 当且仅当时等号成立 这时k 从而所求直线方程为2x 3y 12 0 方法二依题意知 直线l的斜率k存在且k 0 则直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 且有 B 0 2 3k 12 12 12 当且仅当 9k 即k 时 等号成立 即 ABO的面积的最小值为12 故所求直线的方程为2x 3y 12 0 命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1 ax 2y 2a 4 l2 2x a2y 2a2 4 当0 a 2时 直线l1 l2与两坐标轴围成一个四边形 当四边形的面积最小时 求实数a的值 解答 由题意知直线l1 l2恒过定点P 2 2 直线l1在y轴上的截距为2 a 直线l2在x轴上的截距为a2 2 所以四边形的面积S 2 2 a 2 a2 2 a2 a 4 当a 时 面积最小 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 1 求解与直线方程有关的最值问题 先设出直线方程 建立目标函数 再利用基本不等式求解最值 2 求直线方程 弄清确定直线的两个条件 由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 3 求参数值或范围 注意点在直线上 则点的坐标适合直线的方程 再结合函数的单调性或基本不等式求解 思维升华 跟踪训练3 2016 盐城模拟 直线l过点P 1 4 分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A B两点 O为坐标原点 当OA OB最小时 求直线l的方程 解答 依题意 直线l的斜率存在且斜率为负 设直线l的斜率为k 则直线l的方程为y 4 k x 1 k 0 令y 0 可得A 1 0 令x 0 可得B 0 4 k OA OB 1 4 k 5 k 5 k 5 4 9 当且仅当 k 且k 0 这时直线l的方程为2x y 6 0 即k 2时 OA OB取最小值 典例设直线l的方程为 a 1 x y 2 a 0 a R 1 若l在两坐标轴上的截距相等 求直线l的方程 2 若l在两坐标轴上的截距互为相反数 求a 求与截距有关的直线方程 现场纠错系列9 错解展示 现场纠错 纠错心得 在求与截距有关的直线方程时 注意对直线的截距是否为零进行分类讨论 防止忽视截距为零的情形 导致产生漏解 返回 解 1 当直线过原点时 该直线在x轴和y轴上的截距为零 a 2 方程即为3x y 0 当直线不经过原点时 截距存在且均不为0 a 2 即a 1 1 综上 直线l的方程为3x y 0或x y 2 0 a 0 方程即为x y 2 0 2 由 a 2 得a 2 0或a 1 1 a 2或a 2 返回 课时作业 1 2016 连云港模拟 若直线y 2x 3k 14与直线x 4y 3k 2的交点位于第四象限 则实数k的取值范围是 答案 解析 6 2 解方程组 因为直线y 2x 3k 14与直线x 4y 3k 2的交点位于第四象限 所以k 6 0且k 2 0 所以 6 k 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 无锡模拟 过点 2 1 且倾斜角比直线y x 1的倾斜角小的直线方程是 x 2 答案 解析 直线y x 1的斜率为 1 则倾斜角为 依题意 所求直线的倾斜角为 斜率不存在 过点 2 1 的所求直线方程为x 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 苏州检测 已知点A在直线x 2y 1 0上 点B在直线x 2y 3 0上 线段AB的中点为P x0 y0 且满足y0 x0 2 则的取值范围为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设A x1 y1 k 则y0 kx0 AB的中点为P x0 y0 B 2x0 x1 2y0 y1 A B分别在直线x 2y 1 0和x 2y 3 0上 x1 2y1 1 0 2x0 x1 2 2y0 y1 3 0 2x0 4y0 2 0 即x0 2y0 1 0 y0 kx0 x0 2kx0 1 0 即x0 又y0 x0 2 kx0 x0 2 即 k 1 x0 2 即 k 1 2 即 0 解得 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 徐州模拟 已知两点M 2 3 N 3 2 直线l过点P 1 1 且与线段MN相交 则直线l的斜率k的取值范围是 答案 解析 4 如图所示 要使直线l与线段MN相交 当l的倾斜角小于90 时 k kPN 当l的倾斜角大于90 时 k kPM 由已知得k 或k 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 2016 无锡模拟 已知两点A 1 5 B 3 2 若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半 则l的斜率是 答案 解析 设直线AB的倾斜角为2 则直线l的倾斜角为 所以0 又kAB tan2 所以tan 或tan 3 舍去 所以k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 无锡模拟 已知点A 1 0 B cos sin 且AB 则直线AB的方程为 答案 解析 x y 1 0或x y 1 0 所以cos sin 所以kAB 即直线AB的方程为y x 1 即x y 1 0或x y 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知A 3 0 B 0 4 直线AB上一动点P x y 则xy的最大值是 答案 解析 3 直线AB的方程为 1 动点P x y 在直线AB上 则x 3 y xy 3y y2 y2 4y y 2 2 4 3 即当P点坐标为时 xy取最大值3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 2016 苏州模拟 已知直线l1 a x y 2 2x y 3 0 a R 与直线l2的距离为1 若l2不与坐标轴平行 且在y轴上的截距为 2 则l2的方程为 答案 解析 4x 3y 6 0 由题意可知 直线l1过直线x y 2 0与2x y 3 0的交点P 1 1 由两条直线间的距离为1可得 点P到直线l2的距离为1 设l2的方程为y kx 2 则 1 解得k 故l2的方程为y x 2 即4x 3y 6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 设点A 1 0 B 1 0 直线2x y b 0与线段AB相交 则b的取值范围是 答案 解析 2 2 b为直线y 2x b在y轴上的截距 如图 当直线y 2x b过点A 1 0 和点B 1 0 时 b分别取得最小值和最大值 b的取值范围是 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 泰州模拟 平面上三条直线x 2y 1 0 x 1 0 x ky 0 如果这三条直线将平面划分为六部分 则实数k的取值集合为 答案 解析 0 1 2 直线x 2y 1 0与x 1 0相交于点P 1 1 当P 1 1 在直线x ky 0上 即k 1时满足条件 当直线x 2y 1 0与x ky 0平行 即k 2时满足条件 当直线x 1 0与x ky 0平行 即k 0时满足条件 故实数k的取值集合为 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知两点A 1 2 B m 3 1 求直线AB的方程 解答 当m 1时 直线AB的方程为x 1 当m 1时 直线AB的方程为y 2 x 1 即x m 1 y 2m 3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知实数m 1 1 求直线AB的倾斜角 的取值范围 解答 当m 1时 当m 1时 m 1 0 0 k 综合 知 直线AB的倾斜角 的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 已知点P 2 1 1 求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程 解答 过点P的直线l与原点的距离为2 而点P的坐标为 2 1 显然 过点P 2 1 且垂直于x轴的直线满足条件 此时直线l的斜率不存在 其方程为x 2 若斜率存在 设l的方程为y 1 k x 2 即kx y 2k 1 0 由已知得 2 解得k 综上可得直线l的方程为