高考数学大一轮复习 高考专题突破一 高考中的导数应用问题课件

高考专题突破一高考中的导数应用问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 答案 解析 1 若函数f x kx lnx在区间 1 上单调递增 则k的取值范围是A 2 B 1 C 2 D 1 即k的取值范围为 1 2 2016 浙江十校联考 已知函数f x x3 ax2 4 若f x 的图象与x轴正半轴有两个不同的交点 则实数a的取值范围为A 1 B C 2 D 3 答案 解析 由题意知f x 3x2 2ax x 3x 2a 当a 0时 不符合题意 故选D 3 2016 全国甲卷 若直线y kx b是曲线y lnx 2的切线 也是曲线y ln x 1 的切线 则b 1 ln2 答案 解析 答案 解析 1 因为对任意x1 x2 0 当00 当x 1时 g x 0 所以g x 在 0 1 上单调递增 在 1 上单调递减 所以当x 1时 g x 取到最大值 即g x max g 1 e 故f x min 2e 又k 0 所以k 1 题型分类深度剖析 例1 2015 课标全国 已知函数f x lnx a 1 x 1 讨论f x 的单调性 题型一利用导数研究函数性质 解答 解答 由 1 知 当a 0时 f x 在 0 无最大值 2 当f x 有最大值 且最大值大于2a 2时 求a的取值范围 令g a lna a 1 则g a 在 0 上单调递增 g 1 0 于是 当0 a 1时 g a 0 当a 1时 g a 0 因此 a的取值范围是 0 1 利用导数主要研究函数的单调性 极值 最值 已知f x 的单调性 可转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间上恒成立问题 含参函数的最值问题是高考的热点题型 解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论 此时要注意结合导函数图象的性质进行分析 思维升华 跟踪训练1已知a R 函数f x x2 ax ex x R e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的单调递增区间 解答 当a 2时 f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 因为ex 0 2 若函数f x 在 1 1 上单调递增 求a的取值范围 解答 因为函数f x 在 1 1 上单调递增 所以f x 0对x 1 1 都成立 因为f x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex 所以 x2 a 2 x a ex 0对x 1 1 都成立 因为ex 0 所以 x2 a 2 x a 0对x 1 1 都成立 题型二利用导数研究方程的根或函数的零点问题 解答 f x 与f x 在区间 0 上随x的变化情况如下表 证明 函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图象 根据零点或图象的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 思维升华 跟踪训练2已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a 解答 f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 证明 由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 单调递增 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 上没有实根 综上 g x 0在R上有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 题型三利用导数研究不等式问题 解答 例3已知f x xlnx g x x2 ax 3 1 对一切x 0 2f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 当x 0 1 时 h x 0 h x 单调递增 所以h x min h 1 4 因为对一切x 0 2f x g x 恒成立 所以a h x min 4 证明 问题等价于证明 当且仅当x 1时取到 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题 一般常用分离参数的方法 但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值 或者求解其函数最值繁琐时 可采用直接构造函数的方法求解 思维升华 跟踪训练3已知函数f x x3 2x2 x a g x 2x 若对任意的x1 1 2 存在x2 2 4 使得f x1 g x2 则实数a的取值范围是 答案 解析 问题等价于f x 的值域是g x 的值域的子集 对于f x f x 3x2 4x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况列表如下 f x max a 2 f x min a 4 课时作业 解答 1 2 3 4 5 解答 2 求函数f x 的单调区间 1 2 3 4 5 令f x 0 解得x 1或x 5 因为x 1不在f x 的定义域 0 内 故舍去 当x 0 5 时 f x 0 故f x 在 0 5 内为减函数 1 2 3 4 5 当x 5 时 f x 0 故f x 在 5 内为增函数 综上 f x 的单调增区间为 5 单调减区间为 0 5 1 2 3 4 5 解答 当a 5时 g x x2 5x 3 ex g 1 e 又g x x2 3x 2 ex 故切线的斜率为g 1 4e 所以切线方程为y e 4e x 1 即4ex y 3e 0 2 已知函数f x xlnx g x x2 ax 3 ex a为实数 1 当a 5时 求函数y g x 在x 1处的切线方程 1 2 3 4 5 解答 2 求f x 在区间 t t 2 t 0 上的最小值 1 2 3 4 5 函数f x 的定义域为 0 f x lnx 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以f x min f t tlnt 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 解答 3 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 由f x x2 xsinx cosx 得f x x 2 cosx 1 因为曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 所以f a a 2 cosa 0 b f a 解得a 0 b f 0 1 1 2 3 4 5 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 求b的取值范围 解答 1 2 3 4 5 令f x 0 得x 0 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下 所以函数f x 在区间 0 上单调递减 在区间 0 上单调递增 f 0 1是f x 的最小值 当b 1时 曲线y f x 与直线y b最多只有一个交点 1 2 3 4 5 当b 1时 f 2b f 2b 4b2 2b 1 4b 2b 1 b f 0 11时曲线y f x 与直线y b有且仅有两个不同交点 综上可知 如果曲线y f x 与直线y b有两个不同交点 那么b的取值范围是 1 1 2 3 4 5 4 2016 四川 设函数f x ax2 a lnx 其中a R 1 讨论f x 的单调性 解答 当a 0时 f x 0 f x 在 0 内单调递减 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 则s x ex 1 1 而当x 1时 s x 0 所以s x 在区间 1 内单调递增 又由s 1 0 有s x 0 从而当x 1时 g x 0 当a 0 x 1时 f x a x2 1 lnxg x 在区间 1 内恒成立时 必有a 0 1 2 3 4 5 所以此时f x g x 在区间 1 内不恒成立 因此 h x 在区间 1 内单调递增 1 2 3 4 5 又因为h 1 0 所以当x 1时 h x f x g x 0 1 2 3 4 5 解答 1 讨论函