高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2_4 二次函数与幂函数课件 理 苏教版

2 4二次函数与幂函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 f x 顶点式 f x 零点式 f x 知识梳理 ax2 bx c a 0 a x m 2 n a 0 a x x1 x x2 a 0 2 二次函数的图象和性质 2 幂函数 1 定义 一般地 形如的函数称为幂函数 其中x是自变量 是常数 2 幂函数的图象比较 y x 几何画板展示 3 幂函数的性质 幂函数在 0 上都有定义 幂函数的图象过定点 1 1 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 和 0 0 且在 0 上单调递增 当 0时 幂函数的图象都过点 1 1 且在 0 上单调递减 2 幂函数的图象和性质 1 幂函数的图象一定会出现在第一象限内 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限内 要看函数的奇偶性 2 幂函数的图象过定点 1 1 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 二次函数y ax2 bx c x a b 的最值一定是 2 二次函数y ax2 bx c x R不可能是偶函数 3 在y ax2 bx c a 0 中 a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小 4 函数是幂函数 5 如果幂函数的图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 6 当n 0时 幂函数y xn是定义域上的减函数 考点自测 1 教材改编 若幂函数f x 的图象经过点 2 2 则f 9 答案 解析 27 f 9 27 几何画板展示 2 教材改编 设 1 1 3 则使函数y x 的定义域为R且为奇函数的所有 值和为 当 1 3时 函数y x 的定义域为R 且为奇函数 答案 解析 满足题意的a值为1和3 其和为4 4 3 教材改编 函数f x 2x2 mx 3 当x 2 时是增函数 当x 2 时是减函数 则f 1 答案 解析 m 8 f 1 2 12 8 1 3 3 3 4 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 答案 解析 如图 由图象可知m的取值范围是 1 2 1 2 几何画板展示 5 教材改编 已知幂函数y f x 的图象过点 则此函数的解析式为 在区间 上单调递减 答案 解析 0 y 题型分类深度剖析 题型一求二次函数的解析式例1 1 2016 南京模拟 已知二次函数f x 与x轴的两个交点坐标为 0 0 和 2 0 且有最小值 1 则f x 答案 解析 x2 2x 设函数的解析式为f x ax x 2 得a 1 所以f x x2 2x 2 已知二次函数f x 的图象经过点 4 3 它在x轴上截得的线段长为2 并且对任意x R 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解答 f 2 x f 2 x 对任意x R恒成立 又 f x 的图象被x轴截得的线段长为2 f x 0的两根为1和3 设f x 的解析式为f x a x 1 x 3 a 0 又f x 的图象过点 4 3 所求f x 的解析式为f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 f x 的对称轴为x 2 3a 3 a 1 求二次函数解析式的方法 思维升华 跟踪训练1 1 已知二次函数f x ax2 bx 1 a b R x R 若函数f x 的最小值为f 1 0 则f x 设函数f x 的解析式为f x a x 1 2 ax2 2ax a 由已知f x ax2 bx 1 a 1 故f x x2 2x 1 答案 解析 x2 2x 1 2 若函数f x x a bx 2a 常数a b R 是偶函数 且它的值域为 4 则该函数的解析式f x 答案 解析 2x2 4 由f x 是偶函数知f x 图象关于y轴对称 a 即b 2 f x 2x2 2a2 又f x 的值域为 4 2a2 4 故f x 2x2 4 题型二二次函数的图象和性质命题点1二次函数的单调性例2函数f x ax2 a 3 x 1在区间 1 上是递减的 则实数a的取值范围是 答案 解析 3 0 当a 0时 f x 3x 1在 1 上递减 满足条件 解得 3 a 0 综上 a的取值范围为 3 0 几何画板展示 引申探究若函数f x ax2 a 3 x 1的单调减区间是 1 则a 答案 解析 3 由题意知a 0 命题点2二次函数的最值例3已知函数f x ax2 2x 0 x 1 求函数f x 的最小值 解答 几何画板展示 1 当a 0时 f x 2x在 0 1 上单调递减 f x ax2 2x的对称轴在 0 1 内 f x min f 1 2 2 当a 0时 f x ax2 2x的图象开口向上 当 1 即0 a 1时 f x ax2 2x的对称轴在 0 1 的右侧 f x 在 0 1 上单调递减 f x min f 1 a 2 3 当a 0时 f x ax2 2x的图象开口向下 且对称轴x 0 在y轴的左侧 f x ax2 2x在 0 1 上单调递减 f x min f 1 a 2 命题点3二次函数中的恒成立问题例4 1 已知a是实数 函数f x 2ax2 2x 3在x 1 1 上恒小于零 则实数a的取值范围为 答案 解析 2ax2 2x 3 0在 1 1 上恒成立 当x 0时 3 0 成立 2 2016 江苏徐州一中质检改编 若t2 kt 1 0在t 1 1 上恒成立 求实数k的取值范围 解答 几何画板展示 求二次函数f t t2 kt 1在给定区间 1 1 上的最大值M 二次函数f t 的图象的对称轴为直线t 2k 1 二次函数最值问题的解法 抓住 三点一轴 数形结合 三点是指区间两个端点和中点 一轴指的是对称轴 结合配方法 根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成 2 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 一般有两个解题思路 一是分离参数 二是不分离参数 两种思路都是将问题归结为求函数的最值 至于用哪种方法 关键是看参数是否已分离 这两个思路的依据是 a f x 恒成立 a f x max a f x 恒成立 a f x min 思维升华 跟踪训练2 1 设函数f x ax2 2x 2 对于满足10 则实数a的取值范围为 答案 解析 2 已知函数f x x2 2x 若x 2 a 求f x 的最小值 解答 函数y x2 2x x 1 2 1 x 1不一定在区间 2 a 内 应进行讨论 当 21时 函数在 2 1 上单调递减 在 1 a 上单调递增 则当x 1时 y取得最小值 即ymin 1 综上 当 21时 ymin 1 对称轴为直线x 1 几何画板展示 例5 1 若 则实数m的取值范围是 答案 解析 题型三幂函数的图象和性质 因为函数y 的定义域为 0 且在定义域内为增函数 解2m 1 m2 m 1 得 1 m 2 2 已知函数f x x m 3 m N 是偶函数 且f 3 f 5 求m的值 并确定f x 的函数解析式 解答 由f 3 f 5 得3 m 3 5 m 3 所以 m 3 0 解得m 3 又因为m N 所以m 1或2 当m 2时 f x x m 3 x为奇函数 所以m 2舍去 当m 1时 f x x m 3 x2为偶函数 所以m 1 此时f x x2 1 幂函数的形式是y x R 其中只有一个参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 在区间 0 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越靠近x轴 简记为 指大图低 在区间 1 上 幂函数中指数越大 函数图象越远离x轴 思维升华 跟踪训练3 2016 盐城模拟 幂函数的图象经过点 4 2 若0 a b 1 则下列各式正确的是 答案 解析 所以f x 该函数在 0 上为增函数 典例 14分 已知函数f x ax2 2ax 1在区间 1 2 上有最大值4 求实数a的值 已知函数f x 的最值 而f x 图象的对称轴确定 要讨论a的符号 规范解答 分类讨论思想在二次函数最值中的应用 思想与方法系列3 思想方法指导 几何画板展示 解f x a x 1 2 1 a 2分 1 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上的值为常数1 不符合题意 舍去 4分 2 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上是增函数 最大值为f 2 8a 1 4 解得a 9分 3 当a 0时 函数f x 在区间 1 2 上是减函数 最大值为f 1 1 a 4 解得a 3 12分 综上可知 a的值为或 3 14分 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 教材改编 幂函数f x x 的图象过点 2 4 那么函数f x 的单调递增区间是 把点 2 4 代入函数解析式得4 2 所以 2 故f x x2 所以函数的单调递增区间为 0 答案 解析 0 2 教材改编 如果函数f x x2 bx c对任意的实数x 都有f 1 x f x 那么f 2 f 0 f 2 大小关系为 答案 解析 f 0 f 2 f 2 函数f x x2 bx c对任意的实数x都有f 1 x f x 可知函数f x 图象的对称轴为x 又函数图象开口向上 自变量离对称轴越远函数值越大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 已知二次函数f x 满足f 2 x f 2 x 且f x 在 0 2 上是增函数 若f a f 0 则实数a的取值范围是 答案 解析 0 4 由题意可知函数f x 的图象开口向下 对称轴为x 2 如图 若f a f 0 从图象观察可知0 a 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 若函数y x2 3x 4的定义域为 0 m 值域为 4 则m的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 若a 0 a 0 2 a 2a大小关系为 答案 解析 若a 0 则幂函数y xa在 0 上是单调减函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 已知函数y 的定义域为R 值域为 0 则实数a的取值集合为 由定义域为R 则x2 2x a 0恒成立 又值域为 0 则函数y x2 2x a的图象只能与x轴有1个交点 所以 4 4a 0 则a 1 所以实数a的取值集合为 1 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 2016 连云港模拟 已知幂函数f x 若f a 1 f 10 2a 则a的取值范围为 答案 解析 3 5 幂函数f x 单调递减 定义域为 0 解得3 a 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 2016 无锡模拟 已知函数y x2 2x 3在闭区间 0 m 上有最大值3 最小值2 则m的取值范围为 答案 解析 1 2 作出已知函数的图象如图所示 当x 1时 y最小 最小值为2 当x 2时 y 3 当x 0时 y 3 由图象知m的取值范围是 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 若函数f x x2 a x 1 在 0 上单调递增 则实数a的取值范围是 答案 解析 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 综上 a的取值范围是 0 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 若函数f x x2 x a的定义域和值域均为 1 b b 1 则a b 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 其对称轴为x 1 即函数f x 在 1 b 上单调递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 2016 江苏赣榆高级中学质检 设函数f x x2 3x a 若函数f x 在区间 1 3 内有零点 则实数a的取值范围为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法一由f x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 2016 江苏淮阴中学期中 已知关于x的一元二次方程x2 2ax a 2 0的两个实数根是 且有1 2 3 则实数a的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设f x x2 2ax a 2 结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 2016 江苏泰州中学质检 已知a t为正实数 函数f x x2 2x a 且对任意的x 0 t 都有f x a a 若对每一个正实数a 记t的最大值为g a 则函数g a 的值域为 答案 解析 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为f x x 1 2 a 1 且f 0 f 2 a 当a 1 a 即a 时 此时恒有 a 1 a a a 故t 0 2 从而它的最大值为2 由于0 a 故t 0 1 综上 g a 的值域为 0 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 已知幂函数f x m Z 为偶函数 且在区间 0 上是单调减函数 1 求函数f