2007年高中总复习第一轮数学 第十二章 统计(文) 12.2 总体期望值和方差的估计.doc

12.2 总体期望值和方差的估计巩固夯实基础 一、自主梳理 1.平均数的计算方法 (1)如果有n个数据x1,x2,xn,那么=(x1+x2+xn)叫做这n个数据的平均数，读作“x拔”. (2)当一组数据x1,x2,xn的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a，得到x1=x1-a,x2=x2-a,xn=xn-a,那么，=+a. (3)加权平均数：如果在n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次(f1+f2+fk=n)，那么 =. 2.方差的计算方法 (1)对于一组数据x1,x2,xn,s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2叫做这组数据的方差，而s叫做标准差. (2)公式s2=(x12+x22+xn2)-n2. (3)当一组数据x1,x2,xn中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a,得到x1=x1-a,x2=x2-a,xn=xn-a. 则s2=(x12+x22+xn2)-n. 3.总体平均值和方差的估计 人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 二、点击双基1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是（ ）A.样本均值 B.样本方差 C.样本最大值 D.样本最小值解析:统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B.答案：B2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下：甲：8,6,9,5,10,7,4,8,9,5;乙：7,6,5,8,6,9,6,8,7,7.根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是（ ）A.甲优于乙 B.乙优于甲 C.两人没区别 D.两人区别不大解析:x甲=(8+6+5)=7.1,x乙=(7+6+7)=6.9. s甲2=(8-7.1)2+(5-7.1)2=3.69,s乙2=(7-6.9)2+(7-6.9)2=1.29.乙优于甲.答案：B3.(2005江苏高考)在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下:9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为（ ）A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016解析：去掉一个最高分9.9后再去掉一个最低分8.4, 剩余的分值为9.4、9.4、9.6、9.4、9.7. 求平均值9.5, 代入方差运算公式可知方差为0.016.答案：D4.(2005绵阳第一次诊断性测试)设甲、乙两班某次数学考试的平均成绩分别为=106.8, =107,又知s甲2=6,s乙2=14,则如下几种说法:乙班的数学成绩大大优于甲班;甲班数学成绩较乙班稳定;乙班数学成绩比甲班波动大.其中正确的说法是_.解析：依据平均值和方差的意义知正确.答案:诱思实例点拨【例1】x是x1,x2,x100的平均数，a是x1,x2,x40的平均数，b是x41,x42,x100的平均数，则下列各式正确的是（ ）A.= B.= C.=a+b D.=剖析:这100个数的平均数是a+b还是(a+b)，这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来思考.解:设Pi是x1,x2,x100中xi被抽到的概率，qi是x1,x2,x40中xi被抽到的概率，ri是x41,x42,x100中xi被抽到的概率,则Pi=qi,Pi=ri.故x1,x2,x100的平均数 =(x1q1+x2q2+x40q40)+(x41r41+x42r42+x100r100)=a+b.答案：A链接拓展 除了上述方法外，我们还可以先分别求出x1+x2+x40=40a,x41+x42+x100=60b,再求.【例2】 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环):甲108999乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是_.剖析:判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定,因此分别求其方差.解:甲的平均数为=(10+8+9+9+9)=9,乙的平均数为=(10+10+7+9+9)=9, 甲的方差为s甲=(10-9)2+(8-9)2=, 乙的方差为s乙=(10-9)22+(7-9)2=. s乙s甲，说明乙的波动性大，故甲入选.答案：甲讲评:方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低.链接聚焦 1.期望反映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高. 2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定.【例3】 某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：分 组平均成绩标准差第一组906第二组804求全班的平均成绩和标准差.剖析:代入方差公式s2=(x12+x22+xn2)-n即可求得.解:设全班的平均成绩为x，全班成绩的方差为s2， 则s12=(x12+x22+x182)-18902=36, s22=(x192+x202+x402)-22802=16. =(9018+8022)=84.5. s2=(x12+x22+x182)+(x192+x202+x402)-40 =18(36+8 100)+22(16+6 400)-40 =(146 448+141 152-101692) =1 990=49.75. s=7.05.讲评:平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得.【例4】 要加工一圆形零件,按图纸要求,直径为10 mm,现在由甲、乙两车工加工此种零件,在他们的产品中各抽5件测得直径如下:甲:10.05 10.02 9.97 9.96 10.00乙:10.00 10.01 10.02 9.97 10.00问甲、乙两人谁生产的零件较好?剖析:通过计算两组数据的x和,然后加入比较,再作出判断. 解:=(10.05+10.02+9.97+9.96+10.00)=10, =(10.05-10)2+(10.02-10)2+(9.97-10)2+(9.96-10)2+(10-10)2=0.001 35; =(10.00+10.01+10.02+9.97+10.00)=10, =(10-10)2+(10.01-10)2+(10.02-10)2+(9.97-10)2+(10-1