十九、空间几何体1（必修二、选修2-1）.doc

十九、空间几何体（必修二、选修2-1）1.在平行四边形中,且,沿折成直二面角,则直线与直线所成角的大小是 （ C ）A B C D2.下列命题中正确的是（ C ）A平行于同一平面的两条直线必平行B垂直于同一平面的两个平面必平行C一条直线至多与两条异面直线中的一条平行D一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为（ C ）A B C D4.已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ B ）A1 B2 C3 D45.已知直线，给出下列四个命题：若若若若其中正确命题的个数是（ C ）A0 B1 C2 D36.如图1，正方体中，异面直线与所成的角等于（ D ）A B C D7.如图为一个几何体的三视图，尺寸如图，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）（ C ）A B C DC1正视图侧视图俯视图23122228.从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积的值为（ C ）A B C9 D 109.下列四个命题中，正确命题的序号是（ C ）“直线a、b是异面直线”的充分而不必要条件是“直线a、b不相交”；“直线l垂直于平面内所有直线”的充要条件是“l 平面”；“直线a直线b” 的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线a平面”的必要而不充分条件是“直线a平行于内的一条直线”。A. B C. D .10.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中真命题是（ D ）A若与所成角相等，则B若C若 D若11.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ A ）A B C D 12.已知二面角l的平面角为，PA，PB，A、B为垂足，且PA=4，PB=5，点A、B到棱l的距离分别为x，y，当变化时，点（x，y）的轨迹是下列图形中的（ D ）如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 。14.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图是直角梯形，侧视图和府视图都是矩形，则这个几何体的体积是 cm3. 15.一个几何体的三视图如图所示：其中，主视图中大三角形的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体几的体积为 . 主视图俯视图左视图16.已知的三个项点在同一球面上，若球心O到平面ABC的距离为1，则该球的半径为 。17.若球的表面积为,则与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为 . 第18题图18.如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，是线段的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小解:（）连接，如图，、分别是、的中点，是矩形，四边形是平行四边形， 2分平面，平面，平面 4分（）连接，正方形的边长为，则， 6分在长方体中，平面，又平面，又，平面 8分（）在平面中过点作于，连结，平面，又平面， 9分，又，且，平面，而平面， ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u10分是二面角的平面角 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u12分在中，二面角的大小为 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u14分解法2（坐标法）：（）建立如图所示的空间直角坐标系连接，则点、，又点，且与不共线，又平面，平面，平面 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u4分（），即，又，平面 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u8分（），平面，为平面的法向量，为平面的法向量，与的夹角为，即二面角的大小为14分（）（法三）设二面角的大小为，在平面内的射影就是，根据射影面积公式可得，二面角的大小为 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u14分图419.如图4，四棱柱的底面是平行四边形，、分别是侧棱、上一点，平面与侧棱相交于证明：；求线段与平面所成角的正弦值；求以为顶点，四边形在对角面内的正投影为底面边界的棱锥的体积连接，在中，由余弦定理得1分，由勾股定理逆定理得，又因为，所以2分，因为，所以，同理，所以是平行四边形3分，所以，所以4分，连接，因为，所以是平行四边形，因为5分，所以，所以6分连接，因为、，所以7分，因为，所以8分，连接，则，是与平面所成的角9分，因为，所以10分四边形在对角面内的正投影为平行四边形，且点的正投影为点11分，所以底面积12分，高14分，所以棱锥的体积14分方法二：连接，在中，由余弦定理得1分，由勾股定理逆定理得，又因为，所以以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系2分，则、3分，设平面的一个法向量为，则，4分，取得5分，平面的一个法向量为，因为，所以6分设，因为，所以，同理，所以是平行四边形7分，所以，即，解得8分，又，所以9分，设与平面所成角为，则10分20.如图已知在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点（1）求证：面PCC1面MNQ；（2）求证：PC1面MNQ；A1ABCPMNQB1C1（3）若的余弦值证明：（1）AC=BC， P是AB的中点 ABPCAA1面ABC，CC1AA1，CC1面ABC而AB在平面ABC内CC1AB， CC1PC=C AB面PCC1； 又M、N分别是AA1、BB1的中点，四边形AA1B1B是平行四边形，MNAB，MN面PCC1 MN在平面MNQ内，面PCC1面MNQ； 4分 （2）连PB1与MN相交于K，连KQ，MNPB，N为BB1的中点，K为PB1的中点又Q是C1B1的中点PC1KQ 而KQ平面MNQ，PC1平面MNQPC1面MNQ 9分 (3)由不妨设以点P为坐标原点PA所在直线为x轴，平面内直线AB的垂直平分线为y轴，PC所在直线为z轴建立空间直角坐标系。则可求得各点的坐标为,.平面MNQ的一个法向量为，平面的一个法向量为显然二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 21.在三棱锥中,底面是以为直角的等腰三角形.又在底面上的射影在线段上且靠近点, 和底面所成的角为. ()求点到底面的距离； ()求二面角的大小的正切值. 解：()在底面上的射影在线段上且靠近点, 底面.连,则.设,为的中点, 则,.在中,.在中,. 在中,解得.故点到底面的距离为. (),.过作于,连结,则为二面角 的平面角., .22.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，D为AC的中点。（1）求证：AB1/面BDC1；（2）若AA1=3，求二面角C1BDC的余弦值；ks5u（3）若在线段AB1上存在点P，使得CP面BDC1，试求AA1的长及点P的位置。解：（1）连接B1C，交BC1于点O，则O为B1C的中点，D为AC中点，又平面BDC1，平面BDC1BDC1 4分 （2）平面ABC，BCAC，AA1/CC1，面ABC，则BC平面AC1，CC1AC如图建系，则设平面C1DB的法向量为 ks5u则又平面BDC的法向量为二面角C1BDC的余弦值： 9分 （3）设，则又面BDC1，解得所以AA1=2，点P位置是在线段AB1上且 14分23.直三棱柱ABCA1B1C1中，点D1是B1C1的中点。 （1）求证： （2）求二面角的大小。解（1）取BC的中点D，连结AD、DD1，由直棱柱的性质得平面ABC，在等腰直角三角形ABC中，6分 （2）连结AP，则，是二面角ACD1的平面角。9分在等腰三角形ABC中，AB=AC=6，则在直角三角形CDD1中，在直角三角形PAD中，即二面角ACD1B的大小为12分法二，如图，建立直角坐标系B（6，0，0，）C（0，6，0）A（0，0，0），B1（6，0，6），C1（0，6，6），A1（0，0，6），D1（3，3，6）2分 （1）6分 （2）取BC的中点D（3，3，0），则 一个法向量，8分设是平面的ACD1一个法向量，由取z=1，则，10分 而二面角是锐角，即二面角的平面角是12分24.如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，ABCDMP底面是的菱形，为的中点 （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值 （1）法一：作于,连接 由侧面与底面垂直，则面所以，又由,则,即所以面,所以 取中点,连接,由为中点，则为平行四边形，所以,又在三角形中,为中点，所以,所以,有由 所以面 6法二：作于,连接 由侧面与底面垂直，则面所以且, 又由,则,即分别以OA,OC,OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 由已知来源:学&科&网Z&X&X&K 来源:学+科+网所以，所以 又由，所以面6 （2）设面的法向量为 由，取 来源:Zxxk.Com由（1）面，取面的法向量为 所以，如图二面角为钝二面角设其大小为，则 1225.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点（）试证：AB平面BEF；（）设PAk AB，且二面角E-BD-C的平面角大于，求k的取值范围解：（）证：由已知DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而ABBF又PA底面ABCD, 所以平面平面，因为ABAD，故平面,所以，在内，E、F分别是PC、CD的中点，所以由此得平面 -6分（）以为原点，以为正向建立空间直角坐标系，设的长为1，则设平面的法向量为，平面的法向量为，则，取，可得设二面角E-BD-C的大小为，则化简得，则.-12分26.如图，在三棱锥PABC中，已知PC平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上。（1）求证：AB平面PBC；（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为，求异面直线AP与BC所成的角；（3）在（2）的条件下，求二面角CPAB的余弦值。解：（1）由于PC平面ABC， 由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上， 所以CD平面PAB。 又因为 因此AB平面PCB。3分 （2）因为PC平面ABC，所以为直线PC与平面ABC所成的角，于是，设AB=BC=1，则PC=AC=以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），5分因为所以异面直线AP与BC所成的角为7分 （3）取AC的中点E，连结BE，则 因为AB=BC，所以BEAC。 又因为平面PCA平面ABC， 所以BE平面PAC。 因此，是平面PAC的一个法向量。8分 设平面PAB的一个法向量为 则由得 取z=1，得 因此，10分 于是 又因为二面角CPAB为锐角。故所求二面角的余弦值为12分27.如图，四棱椎的底面为菱形，且，平面，为的中点.（1）求直线与平面所成角的正切值；（2）在线段上是否存在一点，使面成立？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.(1)如图，连结交于点，又底面是菱形，连结，则为与平面所成的角，所以= （2）过点作于，由得，因为在底面上的射影为且所以，又，所以所以，所求存在，且使。28.如图4，正三棱柱中，、分别是侧棱、上的点，且使得折线的长最短（1）证明：平面平面；（2）求直线与平面所成角的余弦值（1）正三棱柱中，将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形（如图），从而，折线的长最短，当且仅当、四点共线，、分别是、上的三等分点，其中2分（注：直接正确指出点、的位置，不扣分）连结，取中点，中点，连结、由正三棱柱的性质，平面平面，而，平面，平面平面，平面4分又由（1）知，四边形是平行四边形，从而平面而平面，平面平面 8分（2）（法一）由（2），同理可证，平面平面10分而平面，平面平面，即为在平面上的射影，从而是直线与平面所成的角12分在中，由余弦定理，即直线与平面所成角的余弦值为14分（法二）取中点为原点，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：，从而，10分设平面的一个法向量为，则，所以，即，解之，得，12分取，得， 从而，即直线与平面所成角的正弦值为，直线与平面所成角的余弦值为 14分29.如图5