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第一章 函数习题 111下列各组函数是否相同？为什么？ (1) f()=与与 (4) 解 (1)因为对(-, +), 都有定义,且所以两个函数相同.(2)因为两个函数的对应规则不同,所以两个函数不同.(3)因为函数的定义域为而函数的定义域为所以由D1D2知, 两个函数为不相同的函数.(4) 两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同.2求下列函数的定义域: 解（1）由偶次根式的定义可知,应满足关系式 故函数的定义域为 .(2）由关系式解得.故函数的定义域为.(3) 要使该函数有意义, 应满足关系式解得.故函数的定义域为 D()=. （4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故 D()=(-, 0)0, 2(2, +)=( -, +). 解 当= 0时, . 当= 2时, . 当= -t时, , 所以 .当时, , 所以. 当=(t0)时, 所以.当时, .当时, 所以.故 .4求下列函数的值. (1)(2)， 求解 (1) 当=0时, f(0)=1.当1 + a 1时, 即a 1, 即a 0时, 即 当= -1.5 0)，求的定义域;(3)若的定义域是0，1， 求的定义域;(4)若的定义域是-1，1,求的定义域.解 (1) 因为中的满足 -44所以中的必须满足,即.故函数的定义域是-2, 2.(2)欲使函数有定义,须且只需使和同时有定义, 于是 即 a2a.故函数的定义域为a, 2a.(3) 因为中的,必须满足,即 110.故函数的定义域为1,10.(4) 由的定义域为-1，1,得 -11即 02故函数的定义域为0, 2.6.设函数对一切正数都满足方程=+.试证下列各式：（1） （2）（3）证 (1)在已知方程中,令=1,=1,得即 .(2)在已知方程中,令, 则即 .(3)在已知等式中, 不变,而将y用代换,得将(2)式代入上式,得.7. 当为何值时的定义域是(-，+).解 当时, ,此时函数的定义域为(-，+). 当时,只要 ,即,也就是0 k 2时, 函数的定义域为(-，+).故当0 k 2时, 函数的定义域是(-，+). 习题 121. 判断下列函数的单调性： 解 (1) 对于指数函数，底数，故是单调减函数.(2) 对于对数函数(3) 因为的定义域为（0，+）,对于1,2（0，+），当10, 即 时，有, 而当 0,即 -0时，有,于是 所以该函数为偶函数.（5）因为（-，0）（0，+），均有所以该函数为偶函数.(6) 因为（-,+）, 均有所以该函数为奇函数.3. 下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期. （1）=|sin| (2) =cos解 (1) 令= , 则|sin(+T)|= |sin| .而满足上式的T之最小正值为.因此, 是以为周期的周期函数. (2) 设, 则当= 0 时, 由TcosT = 0, 得T1 =; 当=时, 由.由于不满足,T均为唯一正值, 即T随的变化而变, 所以不是周期函数.4. 证明函数在上是单调增函数. 证 因为均有即 故为单调增函数.5. 为定义在（-1，1）上的奇函数，若在（0，1）内是单调增函数, 证明在（-1，0）内也单调递增.证 对于x1, x2（-1，0）,设12，由已知得,其中 -1, -2（0，1）.则 即 故在（-1，0）内也单调递增.6*. 证明不是周期函数.证 因为D() = 0,+) ,不是以原点为中心的对称集合,所以不是周期函数.7. 证明函数在其定义域内是有界的.证 因为所以 故由函数有界的定义知，函数在其定义域内是有界的.8. 设函数的定义域为（-，0）（0，+）且满足,其中a，b，c均为常数，|a|b| . 证明为奇函数.证 在已知等式中，用代替, 得 解方程组 , 得 因为所以为奇函数.9. 证明定义在对称区间上的任意函数可以写成一个偶函数和一个奇函数之和.证 设是定义在对称区间I上的任意一个函数, 而则令 因为且即且 故函数可表示为偶函数F1()与奇函数F2()之和.习题 131 1 求下列函数的反函数及其定义域：解 （1）由所给函数解出x , 得交换x, y 得, 反函数 .(2) 由已知函数解出x ,得交换x, y 得, 反函数 (-, +).(3) 当02时, 由得当2 x 4时, 由,得 所以原函数的反函数为其定义域为0，6.（4）由所给函数解出x, 得 交换x, y得, 反函数 .2 2 下列函数是由那些简单函数复合而成的.解（1）该函数是由幂函数数复合而成的.（2）该函数是由幂函数y = u2与正弦函数复合而成.（3）该函数是指数函数, 幂函数及余弦函数复合而成的.(4) 该函数是由幂函数, 对数函数复合而成.3. 已知解 由复合函数定义, 得。4. 设，求.解 因为当+11， 即4. 所以函数的定义域为.2. 设，求的值.解 因为的定义域为-1,1,值域为所以 .3. 已知奇函数y =在定义域-1,1上是减函数且求实数a的范围.解 因为, 且函数为奇函数, 所以 由在-1,1上为减函数, 得 解之,得a的取值范围为(1,.4. 已知解 由于, 于是且 解之, 得 即 .5已知函数的图形，作出下列各函数的图形：解 (1）的示意图形见图11所示.（2）的示意图形见图12所示.（3）的示意图形见图13所示.图11图11 图12 图136. 已知解 令 将其代入已知条件, 得 解方程组 得 .7设函数的图形如图14所示, 试写出其表达式，并做出函数的图形.解 由所给图形知函数的表达式为 图14 因的图形与的图形关于x轴对称, 故图形如图15所示.图15 8已知解 令，则于是,由此得y 1且 习题 151将长度为100cm的金属丝分成两段，第一段围成一个正方形，第二段围成一个圆，设第一段长度为a，正方形与圆的面积之和为S, 试将S表示成a的函数.解 设正方形的面积为S1, 圆的面积为S2, 则于是 .2某企业拟建一个容积为v的长方形水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2 倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域.解 设四周单位面积的造价为a, 总价为y, 底边长为x, 则.3. 某产品的产量为x吨，固定成本为b（b0）元，每生产一个单位产品总成本增加a（a0）元，试将总成本C及平均成本C表示为x的函数.解 总成本函数 C = b + ax 平均成本函数 (x0).4某厂生产的150克袋装方便面，每袋出厂价为0.3元，销量总在一万袋左右徘徊，通过革新，提高效率后，逐步降低价格占领市场。据统计，每袋降低3分钱，市场需求量增加约0.3万袋，试求价格为p时的需求量Qd，并求出当p = 0.21时的需求量.解 设线性需求函数为 为常数)，由题意得方程组 得 a = 4, b = 10. 故所求线性需求函数为 于是当p = 0.21时, Qd = 1.9，即当价格为0.21时，需求量为1.9万袋.5. 已知下列需求函数和供给函数，求相应的市场均衡价格p*.(1) ，（2）解 设市场均衡价格P*，则由等式Qd(p) = QS(p), 得（1） 即 P*=5.（2）将Qs = p -3 , 代入解得 P*= 8.6设销售商品的总收入R是销售量x的二次函数.已知x = 0，2，4时，相应的R = 0，6，8. 试确定R与x的函数关系.解 由题意设总收入R与x的函数关系为 将x=0. R=0；x=2, R=6；x=4, R=8分别代入关系式中，得 即 故所求总收益函数为.某产品年产量为x台，每台售价180元，当年产量在300台以内时，可以全部售出；当年产量超过300台时.经广告宣传后可以多售出200台,每台平均广告费20元；生产再多一些，本年内就售不出去，试将本年的销售收入R 表示为年产量x的函数.解 由题意知当x300时，收入R = 180x (元)当300x 500时，收入R = 30020+180x-20x = 6000+160x (元)当500x时，收入R = 6000+160500 = 86000（元）故本年销售收入R为年产量x的函数为 .某种玩具定价元件，每月可售出1000件, 若每件售价降低0.01元,则可多售出10件.试将总收入表示为多售出件数的函数.解 设总收入为R，多售出件数为x件，则每件应降低于是总收入 所以将总收入R表示为多售出件数x的函数关系为. R = 5000 + 4x -0.001x2（元）9. 某种彩色电视机每台售价为1500元, 每月可销售2000台,每台售价降50元时,每月可增销100台,试求该电视机的需求函数.解 电视机的需求量为Qd，价格为p 则需求函数为 且为常数)将p = 1500, Qd = 2000; p = 1450, Qd = 2100分别代入需求函数中, 得 即 a = 5000, b = 2.所以该电视的需求函数为 综合习题一1. 选择填空： （1）函数y=arcsin(ln)的定义域为（ ）. 1，e e -1，e -1，1 1，+.（2）设是定义在的偶函数，g()是定义在的奇函数，则下列函数中（ ）是奇函数. .（3）设函数的定义域是-4，-0，则g() = ( ). sin cos tan cot.（4）设，= ( ). 1+ln(2+1) 1+ .(5) f()=|sin|，(-，+)是（ ）.有界函数 单调函数周期函数 偶函数.解 （1）; （2）; （3）; （4）; (5) .2. 已知在R上有定义，且已知在时函数图形如图16所示：（1）是否为偶函数？如果是，请写出的具体表达式，并作出0时函数的图形.（2）y =是否为奇函数？如果是，请 图16写出y =的具体表达式，并作出函数的图形；如果不是请说明理由.解（1）是偶函数. 当0时，函数如图17:（2）不是. 因为在= 0已成多值函数.3. 根据下列图形判断函数的单调性.图17图1 图18 图19 答（a）图18是减函数； (b) 图19是增函数. 4下列各图形是否为以为自变量的函数图形，若是，找出图形所表示函数的定义域及值域.图110 图111 答（1）图110是函数的图形，D () = -3, 2, Z() = -2, 2. (2) 图111不是函数的图形，因它是多值对应.5. 设求、并作出这两个函数的图形.解 , 如图112所示. ，如图113所示. 图112 图1136.设，证明，并求.证 ，则 所以 即 .7. 设是奇函数，且当0时，求，并判断它是否有反函数，若有反函数则求出其反函数.解 由是奇函数，有即 又因为当0时，有 所以当0时，是单调增函数，0时, 是增函数.故在（-，+）上有反函数 .8. 设. 求的解析式.解 因为所以 .9. 设解 由知(1)当时，f ()= 1,于是(2)当时, = 0,于是f f () = f (0) = 1由(1), (2)可知 f f ()=1 .10.设,求函数解 因为(1) 当, 有（2）当, 有故结合（1）、（2），得 .11. 设是奇函数，f (1) = a且f (+2)- f () = f (2）.(1) 试用a表示f (2)与f (5);(2) 问a取何值时，以2为周期.解 (1)由是奇函数知, 因为，所以令= -1, 得 (2) = 2a.又分别令=3与=1, 有 得 (5) = 5a.(2)由知,当且仅当(2) = 0, 即2a = 0时,就恒有 故当a = 0时, 以2为周期. 12. (最优批量问题）某工厂生产某中产品，年产量为a吨，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元，设产品均投放市场，且上一批卖完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半. 设每年每吨库存费为c元， 显