【教学设计】《 17.docx

17.2勾股定理的逆定理 教材分析本课在学习勾股定理的基础上，研究当三角形中两边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是否为直角三角形在研究过程中，介绍了逆命题、逆定理的概念应用勾股定理及其逆定理解决问题体会利用勾股定理及其逆定理，可以通过边长关系的计算，判断一个角是否是直角 教学目标1. 理解勾股定理的逆定理，经历“观察测量猜想论证”的定理探究的过程，体会数学推理；2. 了解逆命题的概念，知道原命题为真命题，它的逆命题不一定为真命题3. 应用勾股定理的逆定理解决实际问题；4. 进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识 教学重难点1. 探索并证明勾股定理的逆定理. 2. 应用勾股定理及其逆定理解决实际问题 课前准备 课件 教学过程第一课时一、探究勾股定理的逆定理：1. 提出问题：据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角你认为结论正确吗？这个问题意味着，如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形【设计意图】由古埃及人画直角的方法，引入勾股定理逆定理的猜想，吸引学生研究的兴趣.2. 实验探究：（1） 画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们是直角三角形吗？ 2.5，6，6.5； 6，8，10 注意提醒学生：这里2.52+62=6.52； 62+82=102.（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数（3）想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想【点拨】已知三边长画一个三角形，学生可以借助直尺确定长度，圆规画弧线的方法来完成.3. 作出猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形.4. 验证猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形.已知：如图，ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2.求证：ABC是直角三角形.证明：如图，作Rt,使=90，=a，=b,由勾股定理得，.,ABC，C=90,即ABC是直角三角形.5. 得出定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形.练习1.在ABC中，AC-AB=BC，那么（ ）AA=90 B.B=90 C.C=90 D.不能确定哪个角是直角二、 逆命题和逆定理的概念：1. 逆命题和逆定理：命题1：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a+b=c.命题2：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形概念1：两个命题的题设与结论正好相反，像这样的两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题2. 逆定理：如果一个定理得逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.练习2：说出下列命题的逆命题这些命题的逆命题是真命题吗？ （1） 两条直线平行，内错角相等；（2） 对顶角相等； （3） 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行真命题（2）逆命题：相等的角是对顶角假命题 （3）逆命题：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上真命题【反思】任何一个命题都有逆命题；原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题3、 勾股定理逆定理的运用问题1：例1 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：（1） a=15，b=17，c=8； （2） a=13，b=15，c=14；（3） a=，b=4，c=5【分析】根据勾股定理及其逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方解：（1）15+8=225+64=289,17=289，15+8=17，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形；（2）13+14=169+196=365,15=225，13+1415，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形；（3）4+5=16+25=41,()=41，4+5=()，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.【拓展】像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.练习2：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的勾股数：（1）3,4， ；（2）6,8， ；（3）7,24， ；（4）7,40， ；（5）9,12， .答案：5；10；25；41；15.例2 一般地，如果a、b、c是一组勾股数(c最大)， ak、bk、ck （k是正整数）也是一组勾股数吗？解：a，b，c是一组勾股数，a+b=c.ak+bk=ck，即(ak)+（bk）=(ck).又k为正整数 ，ak，bk，ck也是正整数，ak，bk，ck(k为正整数)也是一组勾股数.练习3.请根据上题的结论，由3，4，5再写出几组勾股数。三、课堂小结：1.利用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形的一般步骤：确定最大边长c；计算a2+b2和c2的值,若a2+b2=c2,则此三角形是直角三角形；若a2+b2c2,则此三角形是锐角三角形.2. 互逆命题表明两个命题在形式上的关系，将一个命题的题设和结论互换即可得到它的逆命题，当原命题成立时，它的逆命题不一定成立，即互逆的两个命题不一定同真或同假.第二课时1、 复习回顾：1. 勾股定理和逆定理的内容是什么？它们之间有何联系和区别？2.什么是勾股数？能否举出一些常见的勾股数。二、勾股定理及其逆定理的实际应用：活动1例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile,它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【分析】由图可以看出，由于“远航”号得航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号得航向了。解：根据题意：PQ=161.5=24，PR=121.5=18，QR=30.24+18=30，即PQ+PR=QR，PQR为直角三角形，即QPR=90.1=45，2=45，即“海天”号沿西北方向航行.活动2 例2 某中学有一块四边形的空地ABCD，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量A=90，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【分析】根据条件易想到链接BD，将四边形的面积转化为两个三角形的面积之和，由AB=3，AD=4，易求BD=5，而CBD中已知三边的长，可根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再根据面积计算公式求出答案. 解：连接BD.在RtADB中，A=90，BD=AD2+AB2=32+42=5.在DBC中，BD+BC=5+12=169，CD=13=169，BD+BC=CD，DBC为直角三角形，即DBC=90.S四边形ABCD=SABD+SBCD=12ABAD+12BDBC=1234+12512=36.需要钱数为36200=7200元.答：学校需投入7200元买草皮.活动3ABCD 练习1 如图所示的是一块地，已知AD=4m，CD=3m,ADDC，AB=3m，BC=12m，求这块地的面积.ABCD 解：连接AC，ADDC，ADC=90，在RtACD中，AC=AD2+CD2=42+32=5,AC+BC=5+12=169，AB=13=169，AC+BC=AB.ABC是直角三角形.这块地的面积为S=SABC-SACD=12ACCB-12ADDC=12512-1234=24 m答：这块地的面积为24平方米. 练习2 如图，如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【分析】由题意可得ABC的三边长分别为5、12、13，根据勾股定理逆定理判断ABC=90，由题可知走私艇C进入我领海的最近距离是CE，再利用勾股定理建方程求出CE的长，从而解决问题. 解：设MN交AC于E，则BEC=90.AB+BC=5+12=169，AC=13=169，AB+BC=AC，ABC为直角三角形，即ABC=90.MNAC，即CEMN，走私艇C进入我领海的最近距离是CE.SABC=12ACBE=12ABBCBE=ABBCAC=6013.在RtBCE中，由勾股定理得，CE=BC2-BE2=122-(6013)2=14413.最早进入时间14413