几何最值(1).doc

几何最值一、赛点归纳:几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量的最大值或最小值。求几何最值问题的基本类型：1. 平行几何的最值问题平行几何的最值问题包括求角的大小、线段的长，图形的周长和面积以及这些几何元素的和、差、积、商的最大值和最小值。2. 解决平等几何中的最值问题经常用到的知识在两点间的所有连线中，线段的长度最短；在定点与定直线的所有连线中，垂线段的长最短；在定圆的所有定弦中，直径最长；在定圆中，过圆内一点的所有弦中，垂直于过该点的直径的弦最短；二次函数的最值；y=a2+bb求几何最值的基本方法：1. 特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证；2. 几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理；3.数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程，二次函数等。二、题型范例题型一：利用特殊位置求最值1、利用两点之间线段最短求最值例1如图，AOB=30，AOB内一定点P，且OP=10，在OA上有一动点Q,OB上有一动点R,若PQR的周长最小，最这个值为_.变式练习1.如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上任意一点，连结AQ、DQ，过P作PEDQ交于AQ于E，作PFAQ交DQ于F。（1）求证：APEADQ; (2)设AP的长为x，试求PEF的面积SPEF 关于x的函数关系式，并求当P在何处时， SPEF取得最大值？最大值为多少？（3）当Q在何处时，ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）2、利用三点共线求最值：例2四个工厂A,B,C,D，AB=a(KM),BC=2/2a(KM),CD=2/4a(KM), ABC=90, BCD=120。现在要找一个供给站H，使它到四个工厂距离和最小，说明道理并求最小值。变式练习1.如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一定点，且BE=10，EC=14，P是BD上一动点，则PC+PE的最小值为_。变式练习2.设正三角形ABC边长为2，M是AB的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值的平方减去最小值的平方的值为_。题型二：构造不等式求最值例3 .一个不等边三角形的三条高线的长都是整数，其中有两条高分别为4,12，则第三边上的高的最大值是_.变式练习1：4.ABC每个角都是正整数，A不小于其余两个角C不大于其余两个角，已知C=30，那么A的度数最大值为_。题型三：构造二次方程求最值例4.如图，直角扇形OAB中，半径OA=OB=1，在弧AB上任取一点C，过C作CDOB于D,则OD+DC的最大值为_。变式练习1如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，若SAOB=4，SCOB=9，则四边形ABCD的面积的最小值为（ ）A、21 B、25 C、26 D、36变式练习2、如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分在BC、CD上，使得CMN的周长为2.求： （1）MAN的大小；（2）MAN的面积的最小值。题型四：构造二次函数求最值例5 如图，正方形ABCD的边长喔cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQAP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。（1） 求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2） 当y=1/4cm时，求x的值。变式练习1：已知XYZ是直角边长为1的等腰直角三角形（Z=900），它的三个顶点分别在等腰RtABC(Z=900）的三边上，求ABC直角边长的最大可能值。同步练习A组1、设P到等边三角形ABC两定点A,B的距离分别为2,3，问：PC能达到的最大距离 。2、，圆锥的母线长QA=6，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短距离为（ ）。A、12 B、4 C、6 D、6B组：1.如图，在平面直角坐标系中，A(-3，-2),A的半径为1，P为X轴上一点，PQ切A 于Q，则当PQ最小时，P点坐标为_。2.平行四边形ABCD，AB=6，BC=4，ABC=60.要用一块矩形铝板裁剪出一个这样的平行四边形，则这个矩形的面积最小为_。3、如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边APC和等边BPD，则CD长度的最小值为 .C组：1、如图，已知ABC的内切圆半径为r，A=600 BC =2,则r的取值范围是 。2、已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，那么当AC= 、BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是 。3、如图，已知矩形ABCD，AD=2，DC=4，BN=2AM=2MN，点P在D上移动，AP交DM于点E，PN交CM于点F，设四边形MEPF的面积为S，求S的最大值。4、如图，已知直线l:y=kx+2+4k(k为实数)（1）求证：不论k为任何实数，直线l都过定点M，并求点M的坐标；（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，求AOM面积的最小值。几何最值参考答案 例1：D变式练习1，,例2分类讨论：(1) 如图甲，当A,D分别位于直线BC两端时，在中任取异于C的一点I，连接IA,IB,IC,ID，由三角形任两边之和大于第三边，得： 甲 乙(2) 当A,D位于BC同侧时（如图乙），在四边形内任取异于对角线交点的点I，连接IA，IC，IB，ID。则IA+IBAC，IB+IDBD。故当H位于AC和BD的交点时，为最小值，作于M。在中，此时，HA+HB+HC+HD的最小值为+变式练习1：变式练习2：例3 5变式练习1：C例4：变式练习1 :B变式练习2：例5：149EG4：变式练习1：149EG5：同步练习：A组：1、C 旋转AB，使AB与A