2015年试题评价丰台区终稿.doc

2015年北京市中考数学学科质量分析及试题点评北京教育学院丰台分院中教研数学 俞京宁作者简介：俞京宁，1994年毕业于首都师范大学数学系，中学数学高级教师，现任北京教育学院丰台分院数学教研员，北京市学科带头人，自2011年开始参与北京市考试院中考试题评价工作，负责中考试题评价报告的撰写。一、总体评价2015年北京市中考数学试题变化显著，特点鲜明，在总体难度降低的情况下，命题者精心设计各个题目，不仅实现了水平性兼顾选拔性的考试功能，而且很好的发挥了对中学数学教学的正确导向作用。试题的命制从考生实际出发，立足考生发展的需要，正确反映时代对数学教育改革的要求。试卷以核心主干知识为载体，图文并茂，注重试题素材与生活实践的紧密结合，不仅有对数学基础知识、基本技能、基本方法、基本活动经验的考查，而且突出考查了学生获取知识的过程和思维方法的过程。试题的开放性，给学生提供了充分发挥的空间，符合学生的认知水平，体现了课程标准理念，传递了积极向上的正能量。充满命题者智慧与创新的2015年北京市中考数学试卷，有利于调动考生学习数学的积极性与提高学好数学的信心，有利于促进教师教学理念的更新与实践的不断深入，有利于促进义务教育质量的提高，为实现减负发挥积极促进作用。（一）试题整体难度降低在考试后的调研中，师生们普遍感觉2015年中考数学试卷有以下两个突出的变化：1.题量的变化由25道题增加到29道题；2.题目考查形式的变化新颖灵活、解答方式多样化。不过，虽然题目的数量增加了，但增加的试题多为基础题；变化的内容主要体现在解答方法的多样性或结论的开放性，这样的变化增加了考生解答的选择性，分散考生的考试压力，促进考生全面而有个性的发展。对2015年参加北京市中考的考生数据进行统计分析：表1 .市区总分分析表总人数满分值平均值得分率北京市81725120.092.150.77丰台区4644120.095.110.79图1 市总分分布曲线图图 图2 区总分分布曲线图由表1看出，今年试卷的市平均分是92.15分，得分率为0.77，是近几年的最高值；区平均分是95.11分，得分率为0.79，由图1，2看，市区总分分布均呈负偏态分布，成绩向高分段偏移，大部分考生成绩集中在92分到113分之间，相对比较集中，说明试卷面向全体考生，基础性试题考查充分，实现了水平性考试的功能，同时也说明大多数考生在今年的数学试题上得到了较充分的发挥。表2 20142015年中考数学试题题目难度整体分析表得分率0.8以上（含0.8）0.60.8（含0.6，不含0.8）0.40.6（含0.4，不含0.6）0.20.4（含0.2，不含0.4）0.2以下2014年试题数量15道5道3道1道1道2015年试题数量22道3道3道1道0道2014年试卷分值65分24分16分7分8分2015年试卷分值80分13分19分8分0分由表2看出，2015年与2014年相比，各难度段的分值有一些调整，最突出的是消除了得分率0.2以下的试题，贯彻了市教委的精神，0.4以下的试题仅占8分，0.8以上的增加了15分，数据显示2015年试卷消除了高难度试题，增加了基础题，这样的难度设置合理，符合北京市考生的实际水平。表3 20132015年中考数学市区分数段人数百分比分布表优秀率合格率12011011910210985101728460710592013市19.4582.090.074.9514.4346.5616.087.2810.632014市23.3983.540.137.1816.0842.9217.276.909.522015市37.8086.830.2515.2322.3237.4611.575.247.932015区45.99%89.73%0.2126.5819.2034.099.654.355.92进一步结合表3数据，可以看出，相对于前两年102分以上的考生比例有明显提高，所以市优秀率比2014年上升了14.41个百分点，合格率也实现了连年增加，低分率在逐年下降，特别突出的是满分率，逐年上升到了0.25%，人数由13人上升到207人，说明2015年试题难度大幅降低，命题组较好的贯彻了北京市关于中考改革的相关文件精神，体现了新课程理念，推进了课程改革。凸显中考水平性考试的主要功能有利于消除考生的畏难心理；有利于调动考生学习数学的积极性，为考生树立学好数学的信心。区优秀率、合格率均高于市平均水平，满分率略低于市平均水平。（二）试题维稳求新，打破模式化2015年试题在坚持维稳求新的过程中，加大了打破试题模式化的力度，不仅增加了题目的总量，而且考查的方式更加灵活，使试卷在平稳的过渡中充满活力与新意。表4 20142015年有关数据对比题量（小题量）试卷总字数开放题计算量分值2014年25个（39个）1914个字数1个20分2015年29个（42个）3230个字数6个15分由表4看出，2015年试题的变化比较大，首先是题量的变化，由原来的25道大题增加到29道大题，增加了2个选择题和2个填空题；其次是阅读量增大，增加了1316个字，增长率为69%；再有开放题增多，由2014年的1个增加到6个；考查运算能力的题目分值减少，同时相关的计算量在减少，没有繁难的计算，体现了数学多思少算的特征；思维的复杂程度降低，关注了宽和广，增加了灵活性，这些变化有利于不同层次的考生展示自己真实的数学水平，有利于引导课堂教学重视基础落实、关注能力提升；试题的变化使得中考数学水平性考试的功能体现充分；同时引导教师在教学时关注数学本质的教学，关注方法的教学，摒弃“题型教学”与“题海战术”，打破思维定势。（三）考查全面、关注四基，凸显数学学科的特点2015年中考数学试卷考查的内容涉及到考试说明中59个知识点中的53个，知识覆盖率达到90%，分别涉及到七至九年级各学段的主干知识，不同年级知识点在试卷中合理组合、均衡分布，增加了考试的效度，并且有效地引导教学从初一抓起，关注基础，逐步提升综合能力。本次试卷有以下几个突出特点：1.关注知识间的联系性试题在考查基础知识的过程中，注重知识的整体性和知识之间的内在联系，所以试题呈现出广与宽的特点。例如第2题，以数轴为出发点，考查绝对值的几何意义，引发考生思考相反数、绝对值的几何意义，引导考生在知识的学习过程中，关注联系，构建知识网络。这样的题目很好的引导教学注重知识的“生长点”和“延伸点”，把具体知识放到知识的体系中去讲授，注重知识的结构和体系，让考生感受数学的整体性，从不同的层次和角度分析、理解知识，同时为高中的“灵与活”做好准备。2.注重对基本数学思想的考查数学思想是以基础知识为载体在更高层次上的抽象与概括。试卷对数学思想进行了重点考查。例如，第23题通过一次函数k的变化，研究直线在以点P为中心旋转的过程中与x轴，y轴交点的问题，考查考生数形结合、分类与整合的思想；再如第27题通过二次函数a的变化，研究抛物线形状的变化，考查考生分类讨论的数学思想；对于推理思想的考查，第20，22，24题要求考生严格写出推理的过程，考查考生的演绎思想；对于建模思想的考查，第13，21题要求考生依据题意列出方程解决问题，考查方程的思想，这些题目引导考生在学习知识的过程中，通过反复思考和长时间的积累，感悟到知识的本质和事物变化的规律，逐步感悟数学思想，形成对事物的理性认识。3.注重对数学活动经验的考查考试的关注点不仅仅是静态的知识“现状”，也关注动态的知识形成过程。例如第26题（“探究函数的图象与性质”）再现考生学习函数的过程，回归到对学习的基本过程和基本的学习经验的考查，从最基本的描点、作图开始，运用学习函数所积累的知识经验和思维经验，再现课堂学习的过程。而上述学习过程的回放，都是初中在学习一次函数、二次函数、反比例函数中所共有的过程。考生升入高中以后，也会用到类似的研究函数问题的方法与经验去学习与研究指数函数、对数函数、三角函数等知识，这也体现了初高中数学思想方法的连贯性。4.注重考查思维的广度与宽度2015年数学试题更加注重开放性试题的命制，增加思维考查的广度与宽度。例如第14题，写出一组a ,b的值，使方程有实数解；第15题，预测2015年北京市轨道交通日均客运量；第25题，选择合适的统计图表直观表示数据信息；第26题，根据函数图象写出函数的一条性质；第28题，通过“数学味”的解答写出探究思路。这些题目都是开放性的试题，主要是从“解决问题的入手点多”、“解决问题的途径多”、“问题的答案不唯一”三个方面，引发考生的思考，激起考生思维的碰撞。5.紧密联系实际，以传统文化为素材，弘扬优秀民族文化2015年试题命制注重对中国传统数学文化的考查，加强考生对数学文化底蕴的积累。例如第4题，在“剪纸”中认识图形；第8题，利用平面直角坐系认识我国古代文明建筑故宫；第13题，介绍九章算术，让考生了解九章算术数学史中的重要地位我国古代数学的基本框架和中华名族上下五千年的文明，以此弘扬优秀民族文化，同时，这些试题的呈现，采用不同形式的图示，图文并茂，增强了直观性，不仅使试卷鲜活生动，而且有利于考查考生在不同情境下解决问题的能力。（四）试卷较好的完成区分功能表5 试题相关系数分析相关程度相关系数小题数分值低0.10至0.2939中0.30至0.49824高0.50至1.001887相关系数是分析试题区分功能的一项重要指标。由表5可以看出，有18道小题的相关系数大于或等于0.50，说明这些试题对全部考生进行了有效的区分，分值约占全部试卷分值的72.5%，有8道试题的相关系数在0.3至0.49之间，因为中考是水平性兼顾选拔性功能，所以这部分试题区分功能尚可，还有3道题的相关系数小于0.29，它们是第1，4，7题，这三道题定位于基础知识的考查，属于全体考生应知必会的内容，区分度低属于正常。二、结构分析（一）题型分析试题包括选择题、填空题、解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题）三类，共29道大题，满分120分，每个题组、每道试题都承担着各自的功能，涉及的内容及深度均不相同。表6 2014年与2015年题组难度对比分析选择题得分率填空题得分率解答题得分率2014年0.900.780.642015年0.950.860.67由表6看出，相对于2014年的试题，2015年三类试题的得分率均有所增加，说明今年试题总体比去年容易，保持了自去年开始的逐步降低难度的趋势，实现水平性考试的功能。表7 题组整体分析题组题数满分值平均值得分率相关系数选择题103028.410.950.70填空题61815.390.860.86解答题137248.350.670.98选择题、填空题以及解答题的前五道题多为容易题，以水平性测试为主要任务，保证了整卷的平均分，起到了稳定考生情绪的作用；解答题的后面几道题多为中高档题，以水平性为主兼顾选拔的作用。由表7可以看到，三部分有机组合，得分率由高到低，体现试题设置合理，由易到难，逐步递进；此外，相关系数的值由低到高，说明随着试题的难度加大，对学业水平不同的考生区分越来越显著。1.选择题表8 2015年选择题分析表题号12345678910总体得分率0.990.990.980.970.960.970.940.930.900.850.95选择题注重对数学基础知识、基本技能的考查，今年的选择题主要考查了科学记数法、绝对值、概率、轴对称、平行线的性质、直角三角形斜边上中线的性质、众数与平均数、用坐标表示位置、一次函数应用、动点问题中的函数关系及图象等知识。前9道题是基础性试题，属于送分题，第10题本属于中档试题，但是由于与前几年的最后一个选择题的考查内容和形式基本一致，所以得分率达到了0.85。表8中的数据显示，10个选择题的得分率基本是由高到低，说明试题由易到难，分布合理。选择题总难度为0.95，这说明考生对解答这些试题所需要的基础知识和基本技能掌握较好，达到了课程标准的要求。另一方面也说明教师在数学基础知识、基本技能的教学具有成效。2填空题表9 2015年填空题各题难度分析表题号111213141516总体得分率0.920.900.950.840.910.620.86填空题大多以考查基本技能为主，主要考查了因式分解、多边形内角和外角和、由实际问题列二元一次方程组、一元二次方程根的判别式、用样本估计总体、折线统计图、基本作图。同时主要考查运算能力、建模思想、统计分析观念以及简单推理能力。由表9可以看出，填空题总体难度为0.86，比2014年增加了8个百分点，将难度定位于中低档题，适合北京市考生的实际情况。第16题的得分率为0.62，此题以 “作一条线段的垂直平分线”为背景考查了“尺规作图”的技能操作的程序与步骤及其中蕴含的原理。但学生对于什么是技能操作的程序，什么是操作程序的依据区分不清，很多考生用推理证明的过程代替了依据的表达，这也提示我们在教学中要清醒地意识到，帮助学生掌握技能操作的程序与步骤只是基础，更为重要的是要帮助学生理解每一步操作的数学道理，学会去思考知识形成的前因后果。3解答题解答题作为全卷的核心，组合内涵丰富，多角度、多层次的考查了基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，深入考查数学能力和数学素养，为不同水平的考生提供了展现自己思维的平台。2015年的解答题没有像往年一样按难易度再明确的分为三组，而是统一为一道大题，但实质还是分为易中难三个层次。表10 解答题各题难度分析表大题解答题1解答题2解答题3题号131415161718192021222324252014年得分率0.960.940.910.920.780.850.690.600.610.490.570.270.18题组得分率0.640.590.34大题解答题题号171819202122232425262728292015年得分率0.920.920.900.910.810.870.430.620.850.610.570.500.60题组得分率0.67表11 第23题分析表满分值最大值平均值得分率11.00.930.9344.01.230.31图2 第23（1）题难度曲线图 图 3 第23（2）题难度曲线图从表10可以看出，解答题中的第17-20题得分率都在0.9以上，这些题主要考查的知识有实数的运算、整式的化简求值、代数式的恒等变形、解一元一次不等式组、三角形全等的性质及判定。第21、22、25题得分率都在0.8以上，这三个题分别考查了列分式方程解决实际问题、四边形中的计算与证明、从统计图表中提取相关信息等知识等，这说明，学生在数与式、方程与不等式的学习中，较好地掌握了基本运算技，并能在简单实际背景中应用这些知识解决问题。同时，在直线形中的简单推理证明、在选择合适的统计方法解决实际问题中的数据分析观念都有较好的表现水平。第23、27、28、29题的得分率均低于为0.6，其中第23、27、29题是在平面直角坐标系中，分别以一次函数、反比例函数、二次函数、圆等为背景，考查由函数图象、几何图形中线段的数量关系确定函数表达式，以及两个函数图象或者两个几何图形之间的位置关系确定相应字母的取值范围。可以看出，学生运用函数观点解决问题以及数形结合的数学思想分析问题的意识较为薄弱，这要求我们在今后的教学过程中，要更加关注不同知识之间的联系，如数与形、函数与方程不等式等，要让学生深刻理解并掌握这种重要的研究问题的方法。由表11可以看出第23题的两问，得分率由0.93直接降低到0.31，跨度有点大，结合图2，3看出第一问对3672分的考生区分显著，第2问仅对90分以上考生区分显著，这与处于此位置的中档题所承担的水平性为主的功能不太吻合。建议试题由易到难逐层递进的排序，有利于考生保持良好的答题状态，保证考试的效度。图4 解答题难度曲线图2015年解答题的得分率是0.67，比2014年增加了3个百分点，应该说总体难度降低，由表12可以看出，实际上原简单题部分难度稍有增加，原难题位置题目难度有所下降，特别是最后两道题的得分率达到了0.5以上，实现了考前市教委提出的“去除难度在0.2以下的试题”，这样可以有效地提高学生学习数学的自信心，让不同水平的学生都能获得学习的成功的喜悦，充分的展示自己的数学能力与学科素养。解答题的相关系数0.98，应该说对全体考生有很好的区分。由图4看出解答题对36分以上的考生区分比较显著，体现了水平性兼顾选拔性考试的功能。（二）知识组块考查情况分析试卷围绕数与代数、图形与几何、统计与概率三个领域的内容进行设计，并对各领域进行合理组合，从不同角度、不同水平考查考生的基础知识、基本方法、基本思想和基本活动经验。近三年各知识块考查的分值分布基本保持不变，个别内容有微调，适当的调整保证了整卷在稳定的基础上体现灵活与变化。表12. 2015年各知识块测试细目表领域题组满分值平均值得分率相关系数鉴别指数数与代数数与式2220.520.930.790.20方程与不等式1613.930.870.860.36函数3116.270.520.890.57图形与几何直线形3225.590.800.930.34圆53.110.620.750.71统计与概率统计与概率1412.730.910.710.21图5 各知识组块的得分率从表12、图5中可以看到，在数与式、统计与概率、方程与不等式这些知识组块上考生的得分率都较高，圆、函数两个知识组块的得分率较低。这说明，一方面，试题对数与式、统计与概率、方程与不等式等知识组块的考查大多以基本知识与基本技能为主，而对于圆、函数的考查，则重点考查了对函数图象的理解、圆的对称性、数形结合等数学思想方法。另一方面，也说明在教学中，我们对公式、法则等基础知识的落实以及数与式的计算、解方程、解不等式等基本技能、运算能力的培养给予了足够的重视，教学效果显著。而学生在运用函数思想、几何直观、在复杂图形背景中建立数量关系解决问题的意识和能力相对薄弱，这些问题依然是我们在今后教学中需要进一步加强的。数据反映出，对于不同层次的学生在教学时有不同的关注点，对于低端生，在方程与不等式、直线型的教学中要格外关注其基本知识的掌握以及基本技能的落实。对于中端生，在函数教学中要加强几何直观的渗透，帮助学生形成“利用函数图象研究数量关系”的意识，在几何教学中要注重把图形变换作为研究几何图形的重要手段和方法，帮助学生逐渐形成在圆的复杂图形背景中的识图能力、构图能力。（三）能力组块考查情况分析数学中考将对数学思维能力的考查作为数学学科能力考查的核心。数学思维能力以数学知识为载体，通过抽象概括、空间观念、几何直观、数据分析、运算、推理论证、模型思想、发现和提出问题、分析和解决问题等方面，对数学知识的内在联系、数学与实际的联系进行思考，形成数学的思考方式，发展理性思维能力。课程标准提出了十个核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识。这些核心概念，是涉及到学生在学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，是初中阶段数学课程最应该培养的数学素养，也是促进学生发展的重要方面。基于这些核心概念，选取“空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想”等作为本次试卷的能力组块，其中空间观念包含2道试题，题号是4、28_1；几何直观包含4道试题，题号是2、10、23_2、27_3；数据分析观念共包含2道试题，题号是15、25；运算能力包含3道试题，题号是17、18、19；推理论证能力共包含6道试题，题号是5、16、20、22、24、28；模型思想共包含3道试题，题号是9、13、21。 表13 各能力组块的分值、平均分、得分率题目满分值平均值标准差难度系数相关系数鉴别指数运算能力1513.692.950.910.790.25推理能力2820.196.170.720.940.47空间观念86.181.640.770.790.40几何直观127.432.500.620.760.43数据分析86.981.760.870.680.30创新能力1811.774.180.650.900.51阅读能力数学文本阅读199.154.630.480.820.56实际背景阅读2825.094.450.900.860.27建模能力119.592.430.870.790.35从表13、图7中的数据可以看出，整体上，考生在运算能力、数据分析观念、模型思想、空间观念等得分率均超过0.75，但几何直观的得分率较低，仅为0.62。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观，可以把复杂的数学问题，变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。2015年北京市中考数学学科试卷中对几何直观的考查主要是以函数知识为载体，利用函数图象分析数量关系，这说明学生在平面直角坐标系中，借助于函数图象分析函数性质、由几何图形的位置关系确定相应的数量关系等几何直观的意识和能力还有待提高，在今后的教学过程中要进一步关注。具体地说，对于低端生，在加强运算能力培养的同时，在圆的教学中要结合具体问题情境，为学生提供更多的“利用圆的轴对称性和旋转对称性探究相应线段和角的数量关系”的思考过程，提高学生解决问题的自信心。对于中端生，要从一次函数入手，在经历了充分地探究“在坐标系中，如何建立起函数图象上的点与几何图形之间的关系”的活动之后，要帮助学生形成具体步骤方法，并能用其解决类似的问题。对于高端生，要进一步在反比例函数、二次函数的教学中，加强通过分析函数图象来研究函数的性质、确定函数表达式中的参数等一些实践活动，提高几何直观的意识和能力。此外阅读能力的数据说明，学生从实际背景中抽取与数学有关的信息，并将所提取的信息转化成数学语言的能力有着较好的表现水平。而在数学文本阅读中，对数学语言，如数学符号、术语、公式、图表等的感知和认读，以及在此基础上对阅读材料进行分析、综合、推理等一系列思维能力还有较大的提升空间。还有对于创新能力，课程标准提出，为了考查考生的创造能力，可以设计开放性问题，本次试卷共有6道开放性试题，这6道开放题倒不一定都是考查创新能力，但是这种题型的设置，为不同认知风格、不同层次的考生提供适合他表达的数学表现平台。这些开放性试题，主要是从“问题的答案不唯一”或者“有多种解决问题的途径”等方面，引发学生的思考。但从学生的答题情况看，对于中低端生，面对答案不唯一的开放题，感觉不知从何入手。这提醒我们，在今后的教学中要引导学生多角度、多层次、多渠道地解答开放性的问题，培养学生的个性，从而全方位培养学生的创造能力.（四）基础性试题与发展性试题分析表14 基础性试题与发展性试题比较满分平均分得分率标准差基础性试题7969.580.8812.62发展性试题4122.570.558.84从表14看出，基础性试题得分率为0.88，说明考生在基础性知识的掌握方面已达到了课程标准要求，表现出较高的水平，教学效果显著。发展性试题着重考查数学能力、数学思想方法，在中档题和综合题中都有涉及，得分率为0.55，发展性试题不仅需要学生在知识方面具有扎实的基本功，而且还要在思维能力方面具有严谨性、深刻性和灵活性等特点，要求考生不仅要有良好的心理素质，还要有较高的思维水平和分析解决问题的能力。因此，在教学中要重视对学生能力的培养，进一步加强对数感、符号感、几何直观、推理能力、运动变化等数学思想方法的教学。三、典型试题分析（一）解答题第26题26.有这样一个问题: 探究函数y=x2+的图象与性质.小东根据学习函数的经验， 对函数y=x2+的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程， 请补充完整:(1)函数y=x2+的自变量x的取值范围是_;(2)下表是y与x的几组对应值x321 123y m求m的值;(3)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;(4)进一步探究发现， 该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1， )，结合函数的图象， 写出该函数的其它性质(一条即可)_。本题满分5分，平均值3.04，得分率0.61，标准差1.75。本题是研究性试题，以一个新的函数为背景，通过问题设置引导考生经历列表、描点、画函数的图象、根据图象研究函数的性质等一系列研究函数的过程，回顾已有的研究经验，为后续高中进一步研究函数奠定基础。本题注重考查考生对函数基本概念的理解，以及基本技能、基础知识之间的内在联系。较好的还原了函数知识的形成过程，对考生学习能力的考查非常充分。26-1题，确定函数y=x2+自变量取值范围。这一问满分1分，平均值0.76，得分率0.76。有75.57%的考生得了满分。26-2题，列表，已知自变量x的值，求相应的函数值。这一问满分1分，平均值0.69，得分率0.69。有69.47%的考生得了满分，有30.53%的考生得了零分。26-3题，根据描出的点， 画出该函数的图象。这一问满分2分，平均值1.09，得分率0.55。有46.93%的考生得了满分，有37.64%的考生得了零分。只我们知道，把一个函数在定义域内的一个自变量的值，和它所对应的因变量的值分别作为一个点的横坐标和纵坐标，就能在直角坐标系内描出相应的一个点，由所有这样的点组成的图形，就是这个函数的图象。显然，我们不能把所有的的值都取到，我们只能选取一些值，算出相应的因变量的值，把这些点描在直角坐标系中，再利用这些点的位置估计出函数图象的形状和变化趋势.因此，描点后，画函数图象之前有着非常关键的一步，那就是观察这些点的位置特征，估计函数图象的走势。我们发现，在y轴的左侧，函数图象从左向右逐渐下降，越来越接近y轴，但不与y轴相交，因为自变量。在第一象限，函数图象先从左向右逐渐下降，到最低点(1， )后，再从左向右逐渐上升。有了这些分析后，我们用平滑的曲线把这些点从左到右依次联结起来。学生作答出现的典型问题主要是对于“当函数的自变量x0时，此函数的图象一定是不连续的”没有真正理解，因此不能正确画出函数图象。例如，图a中，学生在连线时漏了几个点，而且连线与y轴相交。图b中，学生错误地将（ ， ）与（，）从左到右依次都连接起来，没有分析出y轴的左右两侧函数图象都是越来越接近y轴，但不与y轴相交。图c中，学生将y轴左侧函数图象与x轴的交点去掉了，混淆了x0和y0在图象上的不同表示。图d中，因为题目中在第二象限只描了两个点，所以，学生错误地将第二象限内的图象画成了一次函数。实际上，每两个点之间的连线是直还是曲，为了更加准确地看出函数图象的走势，可以在两个点之间再取一些点，描在坐标系中。图a 图b 图c 图d26-4题，结合函数的图象， 写出该函数的一条性质。这一问满分值满分1分，平均值0.50，得分率0.50。有49.63%的考生得了满分。学生作答出现的典型问题是：不知道什么是函数的性质，学生的写法五花八门，比如说，图象不规则、函数无规律、图象不是完整的、有顶点、开口向上、抛物线、由两个函数图象构成等。实际上，对于函数性质的研究，我们可以从定义域、值域、对称性、单调性、渐近线等几个角度进行分析。这说明学生尽管已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数，但对研究函数图象及性质的基本方法并没有掌握。因此，我们建议在教学中不仅仅关注静态的知识“现状”，也要力求关注动态的知识形成过程。一方面，在学习一次函数、二次函数、反比函数过程中，要让学生充分经历由“现实问题抽象为数学模型函数，研究函数自变量的取值范围，列表、描点、画出函数的图象，根据函数图象研究函数的性质，利用函数解决实际问题”的过程。另一方面，要通过对这些函数的研究，帮助学生理解自变量和因变量之间的对应关系，以及我们在研究函数图象时从特殊到一般的研究问题的方法。此外，还要为学生提供多样化的具体问题情境，让学生充分经历建立函数关系，确定特殊位置，发现变化趋势等有效的学习过程，使学生积累有效的数学活动经验，更重要的是培养学生从数学的角度进行思考，发展数学的创造性思维。（二）解答题第28题28.在正方形ABCD中， BD是一条对角线点P在射线CD上(与点C， D不重合)， 连接AP， 平移ADP， 使点D移动到点C， 得到BCQ， 过点Q作QHBD于点H， 连接AH， PH。(1)若点P在线段CD上， 如图1，依题意补全图1;判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;(2)若点P在线段CD的延长线上， 且AHQ=152， 正方形ABCD的边长为1， 请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果) 此题是几何综合题，融合了初中几何的重点知识编制而成，涉及到的知识有平移的概念和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，综合性强，不仅考查考生的画图技能还考查考生整体认识图形并对图形间元素关系进行分析的能力。本题满分7分，平均值3.47，得分率0.5，标准差1.81。此题的解答过程有四个层次，第一，根据题目要求正确画出图形。第二，分析图形结构，判断三角形的对称性以及两个全等三角形的变换方式。第三，分析第2问中的图形结构，并将其与前一问中的图形结构进行比较。第四，类比上一问的解题方法，根据已知条件，确定可解的三角形，写出求DP长的解题思路。 从考生的答题情况看，28_1_1题，依题意补全图形，满分1分，平均分0.87，有86.99%的考生得了满分。28_1_2题，判断并证明AH与PH的数量关系与位置关系，满分4分，平均分2.40，得分率0.60，有30.58%的考生得了满分，有10.98%的考生得了零分。对于28_1题，补全图形后，需要识别出一对平移全等三角形ADP与BCQ，如图a，再判断出一个等腰直角三角形DHQ，如图b，最后是识别出一对旋转全等三角形AHD与PHQ，如图c。不同层次的考生在答题过程中出现的问题主要有以下几个方面：地段生能够根据题目要求正确画补全图形，但不能判断出DHQ的轴对称性；而中端生对于识别出AHD与PHQ这对旋转全等三角形有些困难，所以无法利用全等与旋转的性质求出AH与PH的数量关系与位置关系。图a 图b 图c28_2题，满分2分，平均值0.2，得分率为0.1，仅有10.02%的考生得了满分，有89.98%的考生得了零分。学生的典型问题是不知道怎么写解题思路，同时，由于条件中所给的“AHQ=152”不是平时常见的30、45、60等特殊角，学生错误地认为是算不出来DP长的。实际上，对于解题思路的探究，本题可以先将AHQ特殊化，比如说，假设AHQ=150，求DP长。然后类比解题过程得到解题思路。