任意角三角函数 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式.doc

正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x轴上的角的集合。2、特别注意：角度与弧度不要混用。如，应写成或3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？ 探究新知1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。单位长：可以是1cm、1m、1km、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。2、任意角的正、余弦函数定义xyP(a,b)O在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作v=sin; 点P的横坐标u叫作角的余弦函数,记作u=cos.通常，用x表示自变量，用x表示角的大小，用y表示函数值，因此定义任意角的三角函数y=sinx和y=cosx,定义域为R，值域为-1，1。设点P（a,b）是角终边上除原点之外的任意一点，记则定义更具有一般性。3、三角函数值的符号根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。sin在一、二象限为正，三、四象限为负；cos在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。例1功能：会求任意角的三角函数值。其步骤（1）画角；（2）求交点坐标。可联立方程解得；（3）求值。4、单位圆与周期性在单位圆中找到角等与单位圆的交点，说明：（1）终边没变；（2）交点没变；（3）交点的纵、横坐标没变。从而说明正弦函数值没变，余弦函数值没变。即从而说明终边相同的角的正弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等。即说明：对于任意一个角x，每增加的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。所以，正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。这种随自变量的变化函数值呈周期性变化的函数叫做周期函数。特别指出，周期性不是三角函数特有的，一般函数也有周期性。周期函数的自变量不一定是角。是的周期，则都是它的周期，并且它的所有周期中有一个最小的正数，称为它的最小正周期。同理也是的最小正周期。有的周期函数没有最小正周期，如任意一个正数都是它的周期，但没有一个最小的正数。周期函数的严格定义：一般地，对于函数，如果存在非零常数,对定义域内的任意一个值，都有，则称为周期函数，为它的一个周期。单位圆与诱导公式 xyoP(x,-y)P(x,y)M利用单位圆的对称性：通过观察角的终边的对称性以及角的终边与单位圆交点坐标的对称性，探寻角a与等正、余弦函数关系，得到诱导公式。便于推导，也方便记忆。把用对称找点的坐标作为重点。1、角与的正、余弦函数关系xyoP (x,y)P1 (-x,-y)2、角与的正、余弦函数关系3、角与的正、余弦函数关系xyoP (x,y)P1 (x,-y)P2 (-x,y)也可以由1、2两组公式推出P (x,y)MxyoP1 (-y, x)M14、角与的正、余弦函数关系5、角与的正、余弦函数关系P (x,y)yMxoP1 (y, x)M1y=x6、任意角的正、余弦函数的诱导公式（1）（2）（3）（4） （5） 补： 、 记忆规律：“函数名不变，符号看象限”。即它们的正、余弦函数值等于的同名三角函数值，加上把看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。如把看成锐角时，终边在第四象限，其余弦值为正，函数名称不变，所以， 记忆规律：“函数名改变，符号看象限”。即它们的正、余弦函数值等于的“余”名三角函数值，加上把看成为锐角时，对应的三角函数值的符号。“余”名：“正则余，余则正”。如把看成锐角时，终边在第二象限，其余弦值为负，函数名称改变，所以。7、诱导公式的作用（1）可把任意角的三角函数值转化为的三角函数值求出。一般地：负角化正角（），再化成为（），再化成为求出。第二象限用，第三象限用，第四象限用（2）化简（3）求值例1 求下列函数值 （1） sin() （2）sin()； （3）sin(1650)； 解： (1) sin()sin(2)sin （2）（3）sin(1650)sin1650sin(4360210)sin210 sin(18030)sin30例2化简： 解：原式=1三角函数诱导公式习题一、选择题1如果|cosx|=cos（x+），则x的取值集合是（ ）A+2kx+2k B+2kx+2kC +2kx+2k D（2k+1）x2（k+1）（以上kZ）2sin（）的值是（ ）A BCD3下列三角函数：sin（n+）；cos（2n+）；sin（2n+）；cos（2n+1）；sin（2n+1）（nZ）其中函数值与sin的值相同的是（ ）ABCD4若cos（+）=，且（，0），则tan（+）的值为（ ）ABCD5设A、B、C是三角形的三个内角，下列关系恒成立的是（ ）Acos（A+B）=cosCBsin（A+B）=sinC Ctan（A+B）=tanCDsin=sin二、填空题7若是第三象限角，则=_8sin21+sin22+sin23+sin289=_三、解答