计利明 泰勒公式及其应用.doc

Hefei University本科毕业论文BACHELOR DISSERTATION 论文题目：泰勒公式及其应用学位类别：理学学士学科专业：信息与计算科学专业作者姓名：计利明导师姓名：张霞完成时间：2012-4-20泰勒公式及其应用中文摘要泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具, 它的用途很广泛。本文介绍了泰勒公式及其余项定义，归纳总结了泰勒公式在近似计算中的应用，利用泰勒公式判断敛散性及求极限，利用泰勒公式求函数的高阶导数，泰勒公式在无穷小中的应用，泰勒公式在不等式证明中的应用等等。关键词： 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. Taylor Formula And Its Application Abstract Taylors formula is a formula in the mathematical analysis plays an important role in solving problems，it has become a research function theory method and estimated error limit of the indispensable tools such as a concentrated expression of the calculus, “approximation” of the essence, which is the value of the Calculus theorem is also of high order derivative function of an important tool for state, its use is very wide. This article introduces the Taylor formula and the remaining items defined, summarized Taylor formula for the approximate calculation to determine the convergence Divergence and the limit, using Taylor formula seeking function of the high-end guide number with the Taylor formula, Taylors formula in infinitesimal Taylor formula in the proof of Inequality and so on.Keywords: Taylor Formula；expansion；inequality；the unique existence of the root；limit appropriating；determinant；concergence and divergence；limit.Hefei University1第一章 前言41.1研究现状51.2研究意义51.3本论文所作的工作51.4研究目标51.5本论文解决的关键问题61.6本论文的研究方法6第二章 基础知识72.1一元函数泰勒公式的定义及常见函数的泰勒展开72.1.1带有佩亚诺余项的麦克劳林公式72.1.2带有拉格朗日余项的麦克劳林公式72.2二元函数的泰勒公式82.3泰勒公式的证明10第三章 泰勒公式的应用123.1 利用泰勒公式求极限123.2 利用泰勒公式证明不等式133.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性133.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性143.5 利用泰勒公式判断函数的极值153.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式163.7 利用泰勒公式进行近似计算163.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值183.9 利用泰勒公式求行列式的值183.10求曲线的渐近线方程203.11泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用213.12 泰勒公式关于界的估计223.13 利用泰勒公式解经济学问题23第四章 结论24参考文献25致 谢25第一章 前言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构成一个次多项式 称为函数在点处的泰勒多项式，若函数在点存在直至阶导数，则有即称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、近似计算、不等式证明等方面.1.1研究现状关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.1.2研究意义 泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.1.3本论文所作的工作泰勒公式的应用一直以来都属于数学领域里重要的研究内容.本文将简略介绍一些基本的泰勒公式的应用实际方法，然后把泰勒公式应用到求极限等方面中去.1.4研究目标 探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.1.5本论文解决的关键问题 了解泰勒公式及其各类型余项的泰勒公式展开式，熟练掌握带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用.1.6本论文的研究方法 将带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限等的解题应用上，得出最佳的解题方法.第二章 基础知识2.1一元函数泰勒公式的定义及常见函数的泰勒展开2.1.1带有佩亚诺余项的麦克劳林公式若函数在存在阶导数,则有 （1）这里为佩亚诺型余项,称(1)f在点的泰勒公式.当=0时,（1）式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.2.1.2带有拉格朗日余项的麦克劳林公式若函数 在某邻域内为存在直至 阶的连续导数,则, （2）这里为拉格朗日余项,其中在与之间,称（2）为在的泰勒公式.当=0时,（2）式变成称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：.2.2二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数在点的函数值在点展成泰勒公式，作辅助函数 即 显然，于是，函数在点展成的泰勒公式就是一元函数在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在的值.定理2. 若函数在点的邻域G存在n+1阶连续的偏导数，则，有 （4）其中符号表示偏导数在的值， .（4）式称为二元函数在的泰勒公式.在泰勒公式（4）中，令，就得到二元函数的麦克劳林公式（将与分别用与表示）： （5）在泰勒公式（4）中，当时，有，或. （6）（6）式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个.在泰勒公式（4）中，当时，有 2.3泰勒公式的证明两种余项的泰勒公式所表达的根本思想都是怎样用多项式来逼近函数，带有佩亚诺余项的泰勒公式是反映了极限性质的渐进等式，所以这个公式在求极限时很有用，对余项可以提供充分小的估计值.带有拉格朗日余项的泰勒公式有确切的表达式，当然也有像中值这样不确定的因素，但是并不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据.定理1：（带有佩亚诺型余项的泰勒公式）若函数在点存在直至阶导数，则有，即证明：设 ，现在只要证由可知，并易知因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数.于是，当且时，允许接连使用洛必达（LHospital）法则次，得到所以定理1成立.定理2：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得证明：作辅助函数，所以要证明的（1）式即为不妨设，则与在上连续，在内可导，且又因，所以由柯西中值定理证得其中所以定理2成立.第三章 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.例3.1 求极限.分析：此为型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将和别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解 由,得,于是.3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例3.2 当时,证明.证明 取,则带入泰勒公式,其中=3,得，其中.故当时,.3.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.例3.3 讨论级数的敛散性.分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判敛方法,注意到,若将其泰勒展开为的幂的形式,开二次方后恰与相呼应,会使判敛容易进行.解 因为,所以,所以故该级数是正向级数.又因为,所以.因为收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4设f(x)在上二阶可导,且,对, 证明： 在内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论的根有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明 因为,所以单调减少,又,因此xa时,故f(x)在上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由f(x)的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根.3.5 利用泰勒公式判断函数的极值例3.5 (极值的第二充分条件)设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.(i)若,则在取得极大值.(ii) 若,则在取得极小值.证明 由条件，可得f在处的二阶泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时,(*)式取负值,从而对任意有,即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值.3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式.例3.6 求的幂级数展开式.解 利用泰勒公式3.7 利用泰勒公式进行近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为,其误差是余项.例3.7 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式：,其中（在0与x之间）.令,要使则取即可.因此当要求的算式不能得出它的准确值时,即只能求出其近似值,这时泰勒公式是解决这种问题的最好方法.例3.8 求的近似值,精确到.解 因为中的被积函数是不可积的（即不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值.在的展开式中以代替 x得逐项积分,得上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,从而可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导.例3.9 求函数在x=1处的高阶导数.解 设x=u+1,则,在u=0的泰勒公式为,从而,而g(u)中的泰勒展开式中含的项应为,从g(u)的展开式知的项为,因此,.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n阶行列式 D= （1）解 记,按泰勒公式在z处展开：, （2）易知 （3）由（3）得,.根据行列式求导的规则,有于是在处的各阶导数为, 把以上各导数代入（2）式中,有若,有,若,有.3.10求曲线的渐近线方程若曲线上的点到直线的距离在或时趋于零，则称直线是曲线的一条渐近线.当时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线是曲线的渐近线的充分必要条件为或如果是曲线的渐近线，则（或）.因此首先有（或）.其次，再由（或）可得（或）反之，如果由以上两式确定了和，那么是曲线的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线是曲线的一条渐近线，当时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果在趋于某个定值时趋于或，即成立 则称直线是的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于成立，则说明直线关于曲线在和两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当或时，趋于或，即或，则称直线是曲线的一条垂直渐近线.例11 求 的渐近线方程.解： 设 的渐近线方程为，则由定义 =由此为曲线的渐近线方程。3.11泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用泰勒公式是高等数学的一个重要内容，在各个领域有着广泛的应用，不少书中利用它来判断函数的单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用，所以尝试利用泰勒公式来研究函数的凹凸性何拐点.定理 设在上连续，在上具有一阶和二阶导数.若在内，则在上的图形是凹的.证明： 设为内任意两点，且足够小.为中的任意点记由定理条件的泰勒公式由此， 因为余项为的高阶无穷小，又为足够小，所以泰勒公式的符号与相同.又因，所以 ，可得：即，得.由得任意性，可得在足够小的区间上是凹的.再由得任意性，可得在内任意一个足够小的区间内部都是凹向的.3.12 泰勒公式关于界的估计我们在数学分析课文中学习知道了有些函数是有界的，有的有上界，而有 的有下界，再结合泰勒公式的知识与泰勒公式的广泛应用，这里我们探讨泰勒公式关于界的估计，这里通过例题来分析界的估计.例12 设在上有二阶导数，时，.试证：当时，.证： 所以 3.13 利用泰勒公式解经济学问题 我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题，例3.12 全竞争行业中某厂商的成本函数为STC=，假设产品的价格为66元，求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？解： （1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发亏损仍需要根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC，成本函数为STC=，令=由泰勒公式我们知道，所以所以 STC= 又因为 P=MC，即27= 所以因为 （1） （2）所以 4，616故 是利润最大或者最小的产量。利润 可见， 当 价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19 当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17第四章 结论本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.另外，泰勒公式的另一个推广就是泰勒级数，泰勒级数是一种重要的数学工具，在诸多场合有着广泛的应用。尤其是在近似计算、极限计算、级数与广义积分的敛散性、说明无穷小的阶、不等式的证明及中值定理的证明等方面。 参考文献【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（下）.北京：高等教育出版社，2001.【2】 陈传章 . 金福林.数学分析（下）.北京：高等教育出版社，1986.【3】 张自兰 . 崔福荫：高等数学证明方法.陕西：陕西科学出版社，1985.【4】 王向东.数学分析的概念和方法.上海：上海科学出版社，1989.【5】 同济大学数学教研室主编.高等数学【M】.北京：人民