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第五章 定积分 第一节 定积分的概念教学目的：理解定积分的定义教学重点：连续变量的累积教学难点：连续变量的累积教学内容：一、定积分举例：1、 曲边梯形面积设在 上非负，连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线所围成的图形，称为曲边梯形。求面积：在区间 a,b 中任意插入若干个分点，把a,b分成n个小区间, ,它们的长度依次为： 经过每一个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个窄曲边梯形，在每个小区间上任取一点，以为底，为高的窄边矩形近似替代第个窄边梯形（i=1,2,n）,把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值，即 =设时，可得曲边梯形的面积2、 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的连续函数，且，计算在这段时间内物体所经过的路程S在内任意插入若干个分点把分成n个小段， 各小段时间长依次为：相应各段的路程为：在上任取一个时刻，以时的速度来代替上各个时刻的速度，则得： 进一步得到： =设时，得： 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积，路程.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数上有界，在a,b中任意插入若干个分点 把区间a,b分成个小区间 各个小区间的长度依次为.在每个小区间上任取一点),作函数值与小区间长度的乘积并作出和 .记,如果不论对a,b怎样分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和S总趋于确定的极限,这时我们称这个极限为函数在区间a,b上的定积分(简称积分), 记作,即 =,其中叫做被积函数, 叫做被积表达式,叫做积分变量,叫做积分下限,叫做积分上限, a,b叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即： 函数可积的两个充分条件：定理1 设上连续，则在a,b上可积。定理2 设上有累，且只有有限个间断点，则上可积。例：利用定积分定义计算 解：连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对0,1n等分，分点取相应小区间的右端点，故 = = = （即），由定积分的定义得： =小结：重述定积分的定义；注意其中的两个“任意”涉及对连续变量的累积，一般采用分割，近似求和，取极限的方法进而归结到求定积分。作业：作业卡：P52P55第二节 定积分的性质、中值定理教学目的：掌握定积分的性质，特别是中值定理教学重点：熟练运用性质教学难点：中值定理教学内容：为方便定积分计算及应用，作如下补充规定：（1） 当a=b时，（2） 当ab时，性质1 函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即证明： = =性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即 (是常数)性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设 acb,则注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立。性质4 如果在区间a,b 上，性质5 如果在区间a,b 上， 证明：因故，又因，故，设时，便得欲证的不等式。推论1 如果在a,b 上， （ab）推论2 性质6 设M与m分别是函数上的最大值及最小值，则 （ab，还是a0，证明函数在（0，+）内为单调增加函数。证明：=，=故=0故在（0，+）内为单调增加函数。例7 求 =利用Hospital 法则得=小结：Newton Leibniz 公式.作业：作业卡：P52P55 第四节 定积分的换元法教学目的：掌握换元积分法教学重点：熟练运用换元积分法教学难点：灵活运用换元法教学内容：定理 假设函数在a,b上连续，函数满足条件： （1） （2）在（或）上具有连续导数，且其值不越出a,b 则有 例1 计算 （a0）解：设 则 且时；故= =换元公式也可以反过来使用，即例2 计算 解：设，则-=例3 计算 解：= =例4 计算 解：设，则；故 = = =例5 证明（1） 若在a,b上连续且为偶函数，则 =（2） （2）若在a,b上连续且为奇函数，则 =0证明：=+ =+ =+ =（1）为偶函数时，+= 故 =（2）为奇函数时，+=0 故=0例6 若在0，1上连续，证明（1）；（2），由此计算 证明：（1）设 且当时，；当故 = = =（2）设， = = = 利用此公式可得：= = = =例7 设函数计算 解：设=小结：换元法定理。作业：作业卡 P56P59 第五节 定积分的分步积分法教学目的：掌握分步积分法教学重点：熟练应用分步积分法教学难点：灵活应用分步积分法教学内容： 设在a,b上具有连续导数，则有 故 这就是定积分的分步积分公式。例1 解：设u=arcsin,则 = =arcsin+ =例2 计算 解：设，则 = = = = =2例3 证明定积分公式=证明：设由分步积分公式可得： = 故 由此递推公式可得所证明等式。小结：分步积分公式。作业：作业卡 P60P61 第七节 广义积分教学目的：理解无穷限广义积分和无界函数广义积分和定义及计算教学重点：利用广义积分的定义计算教学难点：概念产生的背景教学内容：一、无穷限广义积分定义1 设函数在区间a,+ 上连续，取.如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间a,上的广义积分,记作,即 =这时也称广义积分收敛;如果上述极限不存在,函数在无穷区间a,上的广义积分就没有意义,习惯上称为广义积分发散,这时记号不再表示数值了.类似地,设函数在区间,b上连续,取a0）解：=a) 证明广义积分当时收敛；当时发散。证明：当时，=当，故命题得证。例3 无界函数的广义积分定义2 设函数在a,b 上连续，而在点a的右邻域内无界，取，如果极限存在，则称此极限为函数在a,b 上的广义积分，仍然记作即 =这时也称广义积分收敛。如果上述极限不存在，就称广义积分发散。类似地，设函数在a,b 上连续，而在点b的左邻域内无界，取0,如果极限 存在，则定义 否则，就称广义积分发散。 设函数在a,b 上除点外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分