高中数学第1章导数及其应用习题课导数的应用课件苏教版选修2_2

习题课导数的应用 第1章导数及其应用 学习目标1 能利用导数研究函数的单调性 2 理解函数的极值 最值与导数的关系 3 掌握函数的单调性 极值与最值的综合应用 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点一函数的单调性与其导数的关系 定义在区间 a b 内的函数y f x 增 减 知识点二求函数y f x 的极值的方法 解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧 右侧 那么f x0 是极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 知识点三函数y f x 在 a b 上最大值与最小值的求法 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各与端点处的函数值比较 其中的一个是最大值 的一个是最小值 极值 f a f b 最大 最小 题型探究 命题角度1比较函数值的大小例1已知定义在 0 上的函数f x f x 是它的导函数 且恒有sinx f x cosx f x 成立 则下列不等式成立的序号是 类型一构造法的应用 答案 解析 解析由f x sinx f x cosx 得f x sinx f x cosx 0 根据条件构造函数g x 利用g x 确定g x 的单调性 进而确定函数值的大小 此类题目的关键是构造出恰当的函数 反思与感悟 b c a 答案 解析 解析令g x xf x 则g x xf x xf x g x 是偶函数 g x f x xf x 当x 0时 xf x f x 0 g x 在 0 上是减函数 g x 是偶函数 命题角度2求解不等式例2定义域为R的可导函数y f x 的导函数f x 满足f x f x 且f 0 2 则不等式f x 2ex的解集为 0 f x f x g x 0 不等式的解集为 0 答案 解析 根据所求结论与已知条件 构造函数g x 通过导函数判断g x 的单调性 利用单调性得到x的取值范围 反思与感悟 0 10 答案 解析 f 1 1 F 1 f 1 1 1 1 0 F lgx F 1 F x 在R上为减函数 lgx 1 0 x 10 原不等式的解集为 0 10 例3已知函数f x x3 ax2 b的图象上一点P 1 0 且在点P处的切线与直线3x y 0平行 1 求函数f x 的解析式 类型二利用导数研究函数的极值与最值 解答 解因为f x 3x2 2ax 曲线在P 1 0 处的切线斜率为f 1 3 2a 即3 2a 3 a 3 又函数过 1 0 点 即 2 b 0 b 2 所以a 3 b 2 f x x3 3x2 2 2 求函数f x 在区间 0 t 0 t 3 上的最大值和最小值 解答 解由f x x3 3x2 2 得f x 3x2 6x 由f x 0 得x 0或x 2 当0 t 2时 在区间 0 t 上 f x 0 f x 在 0 t 上是减函数 所以f x max f 0 2 f x min f t t3 3t2 2 当2 t 3时 列表如下 f x min f 2 2 f x max为f 0 与f t 中较大的一个 f t f 0 t3 3t2 t2 t 3 0 所以f x max f 0 2 3 在 1 的结论下 关于x的方程f x c在区间 1 3 上恰有两个相异的实根 求实数c的取值范围 解令g x f x c x3 3x2 2 c 则g x 3x2 6x 3x x 2 在x 1 2 上 g x 0 要使g x 0在 1 3 上恰有两个相异的实根 解答 1 求极值时一般需确定f x 0的点和单调性 对于常见连续函数 先确定单调性即可得极值点 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值点 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 反思与感悟 跟踪训练3已知a b为常数且a 0 f x x3 1 a x2 3ax b 1 函数f x 的极大值为2 求a b间的关系式 解答 解f x 3x2 3 1 a x 3a 3 x a x 1 令f x 0 解得x1 1 x2 a 因为a 0 所以x1 x2 列表如下 所以当x 1时 f x 有极大值2 即3a 2b 3 2 函数f x 的极大值为2 且在区间 0 3 上的最小值为 求a b的值 解答 解当0 a 3时 由 1 知 f x 在 0 a 上为减函数 在 a 3 上为增函数 于是有a3 3a2 3a 26 0 例4已知函数y xf x 的图象如图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 给出以下说法 函数f x 在区间 1 上是增函数 函数f x 在区间 1 1 上是增函数 函数f x 在x 处取得极大值 函数f x 在x 1处取得极小值 其中正确的说法是 类型三数形结合思想的应用 答案 解析 解析对于 由图象知 当x 1 时 xf x 0 故f x 0 f x 在区间 1 上是增函数 对于 当x 1 0 时 xf x 0 故f x 0 当x 0 1 时 xf x 0 故f x 0 所以当x 1 0 0 1 时 f x 0 故f x 在 1 0 0 1 上是减函数 对于 由 知f x 在 1 0 上是减函数 x 不是极值点 由 知 是正确的 故填 解决函数极值与函数 导函数图象的关系时 应注意 1 对于导函数的图象 重点考查导函数的值在哪个区间上为正 在哪个区间上为负 在哪个点处与x轴相交 在交点附近导函数值是怎样变化的 2 对于函数的图象 函数重点考查单调增区间和单调减区间 进而确定极值点 反思与感悟 跟踪训练4设函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数f x 在x 2处取得极小值 则函数y xf x 的图象可能是下列图象中的 填序号 答案 解析 解析 函数f x 在R上可导 其导函数为f x 且函数f x 在x 2处取得极小值 当x 2时 f x 0 当x 2时 f x 0 当x0 由此观察四个选项 故填 当堂训练 1 已知f x lnx 则f e f 2 与f 3 的大小关系是 用 连接 答案 2 3 4 1 解析f x 的定义域为 0 解析 f 3 f e f 2 f x 在 0 上是增函数 f 3 f e f 2 2 已知函数f x x3 x2 2x 5 若对于任意x 1 2 都有f x m 则实数m的取值范围是 答案 2 3 4 1 解析 7 解析f x 3x2 x 2 令f x 0 可判断求得f x max f 2 7 f x 7 2 3 4 1 答案 解析 2 3 4 1 解析由题意可知f 0 0 f 1 0 f 2 0 可得1 b c 0 8 4b 2c 0 解得b 3 c 2 所以函数的解析式为f x x3 3x2 2x f x 3x2 6x 2 4 设f x 是R上的奇函数 g x 是 0 0 上的奇函数 且g x 0 当x0 且f 2 0 则不等式 0的解集是 2 3 4 1 答案 解析 2 2 函数h x 在 0 上单调递增 f x 和g x 均为奇函数 h x 是 0 0 上的偶函数 h x 在 0 上单调递减 f