【步步高】（浙江专用）高考数学 考前三个月 专题三 集合、逻辑用语、函数与导数.DOC

专题三高考易错点分类例析最后的查缺补漏集合、逻辑用语、函数与导数易错点1遗忘空集致误例1已知axr|x4，bxr|2axa3，若aba，则实数a的取值范围是_错解由aba知，ba，解得a4或2a3.实数a的取值范围是a4或2a3.错因分析由并集定义容易知道，对于任何一个集合a，都有aa，所以错解忽视了b时的情况正解由aba知，ba.当b时，有，解得a4或2a3，解得a3.综上可知，实数a的取值范围是a2.易错突破造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质当题目中出现ab，aba，abb时，注意对a进行分类讨论，即分为a和a两种情况讨论补偿练习1(1)已知集合a，bx|mx10，若abb，则所有实数m组成的集合是()a0，1,2 b.c1,2 d.答案a解析当m0时，b，符合题意；当m0时，b，若ba，则，m1或m2.故m0，或m1，或m2.(2)已知集合ax|x2(p2)x10，pr，若ar*，则实数p的取值范围为_答案(4，)解析由于ar*，先求ar*的情况有即解得p4.故当ar*时，p的取值范围是(4，)易错点2忽视元素互异性致误例2已知集合a1，x,2，b1，x2，若aba，则x的不同取值有_种情况()a1 b2 c3 d4错解由x22，解得x1，x2.由x2x，解得x30，x41. 选d.错因分析当x1时，集合a、b中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误正解aba，ba.x22或x2x.由x22，解得x，由x2x，解得x0或x1.当x1时，x21，集合a、b中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或或0，共3种情况，选c.易错突破由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证补偿练习2若a1,3，x，bx2,1，且ab1,3，x，则这样的x为_答案或0解析由已知得ba，x2a且x21.x23，得x，都符合x2x，得x0或x1，而x1，x0.综合，共有3个值易错点3忽视区间的端点致误例3记f(x) 的定义域为a，g(x)lg(xa1)(2ax) (a1)的定义域为b.若ba，则实数a的取值范围是_错解由20，得x0得(xa1)(x2a)0.且a1，2ax1或a1或a2.a(，2)错因分析从ba求字母a的范围时，没有注意临界点，区间的端点搞错正解20，得0，x0，得(xa1)(x2a)0.a2a，b(2a，a1)ba，2a1或a11，即a或a2，而a1，a1或a2.故所求实数a的取值范围是(，2.补偿练习3设ax|1xa，若ab，则a的取值范围是_答案(，1解析因为ab且ab，利用数轴可知：a1.易错点4对命题否定不当致误例4命题“若x，y都是奇数，则xy是偶数”的逆否命题是()a若x，y都是偶数，则xy是奇数b若x，y都不是奇数，则xy不是偶数c若xy不是偶数，则x，y都不是奇数d若xy不是偶数，则x，y不都是奇数错解c错因分析“x，y都是奇数”的否定中包含三种情况：“x是奇数，y不是奇数”，“x不是奇数，y是奇数”，“x，y都不是奇数”，误把“x，y都不是奇数”作为“x，y都是奇数”的否定而错选c.正解“都是”的否定是“不都是”，答案选d.易错突破对条件进行否定时，要搞清条件包含的各种情况，全面考虑；对于和参数范围有关的问题，可以先化简再否定补偿练习4已知集合mx|0，若2d/m，则实数a的取值范围是_答案a解析若2m，则0，即(2a1)(2a21)0，a，当2d/m时，a的取值范围为a.易错点5充分条件、必要条件颠倒致误例5若p：ar，|a|1，q：关于x的二次方程x2(a1)xa20的一个根大于零，另一个根小于零，则p是q的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件错解b错因分析由pq应得p是q的充分条件，错解颠倒了充分条件、必要条件正解将两条件化简可得p：1a1，q：a0.正解由x25x60知x|x3或x2令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是减函数，ylog (x25x6)的单调递增区间为(，2)易错突破在研究函数问题时，不论什么情况，首先要考虑函数的定义域，这是研究函数的最基本原则补偿练习6若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()a(，) b(1，)c(， d1，)答案d解析由题意，知函数的定义域为(0，)，f(x)4x，由f(x)0，解得x.所以函数f(x)在(0，上单调递减，在，)上单调递增故有解得1k.易错点7忽视二次项系数为0致误例7函数f(x)(k1)x22(k1)x1的图象与x轴只有一个交点，则实数k的取值集合是_错解由题意知4(k1)24(k1)0.即k23k0，解得k0或k3.k的取值集合是3,0错因分析未考虑k10的情况而直接令0求解导致失解正解当k1时，f(x)4x1，其图象与x轴只有一个交点.当k1时，由题意得4(k1)24(k1)0，即k23k0，解得k0或k3.k的取值集合是3,0,1易错突破对多项式函数或方程、不等式，如果含有参数，一定首先考虑最高次项系数为0的情况补偿练习7函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是()a(，1 b(，01c(，0)1 d(，1)答案b解析当m0时，x为函数的零点；当m0时，若0，即m1时，x1是函数唯一的零点，若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)0，即m0.故选b.易错点8分段函数意义不明致误例8已知：xn*，f(x)，求f(3)错解f(x)，f(x2)(x2)5x3，故f(x)，f(3)330.错因分析没有理解分段函数的意义，f(x)x5在x6的前提下才成立，f(3)应代入x6化为f(5)，进而化成f(7)正解f(x)，f(3)f(32)f(5)f(52)f(7)752.补偿练习8定义在r上的函数f(x)满足f(x)，则f(2 013)的值为()a1 b0 c1 d2答案b解析f(2 013)f(2 012)f(2 011)f(2 011)f(2 010)f(2 011)f(2 010)f(2 007)f(3)f(0)0.易错点9函数单调性考虑不周致误例9函数f(x)在(，)上单调，则a的取值范围是_错解(，1)(1，)错因分析忽视了函数在定义域分界点上函数值的大小正解若函数在r上单调递减，则有解之得a；若函数在r上单调递增，则有解得1a，故a的取值范围是(，(1，易错突破分段函数的单调性不仅要使函数在各个段上具有单调性，还要考虑分界点上函数值大小补偿练习9已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()a. b.c. d.答案a解析f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上递增，f(2x1)f|2x1|x.易错点10混淆“过点”与“切点”致误例10求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程错解y3x22，ky|x131221，切线方程为：y1x1，即xy20.错因分析混淆“过某一点”的切线和“在某一点处”的切线，错把(1，1)当做切点正解设p(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y|xx03x2.切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01，或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y(1)(2)(x)，即xy20或5x4y10.易错突破过曲线上的点(1，1)的切线与曲线的切点可能是(1，1)，也可能不是(1，1)本题错误的根本原因就是把(1，1)当成了切点解决这类题目时，一定要注意区分“过点a的切线方程”与“在点a处的切线方程”的不同虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点补偿练习10已知曲线s：yx3x24x及点p(0,0)，则过点p的曲线s的切线方程为_答案y4x或yx解析设过点p的切线与曲线s切于点q(x0，y0)，则过点p的曲线s的切线斜率y|xx02x2x04，又kpq，所以2x2x04，点q在曲线s上，y0xx4x0，将代入得2x2x04xx04，化简得xx00，所以x00或x0，若x00，则y00，k4，过点p的切线方程为y4x；若x0，则y0，k，过点p的切线方程为yx.所以过点p的曲线s的切线方程为y4x或yx.易错点11函数极值点概念不清致误例11已知f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_.错解7或0错因分析忽视了条件的等价性，“f(1)0”是“x1为f(x)的极值点”的必要不充分条件正解f(x)3x22axb，由x1时，函数取得极值10，得联立得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知a4，b11，ab7.易错突破对于可导函数f(x)：x0是极值点的充要条件是在x0点两侧导数异号，即f(x)在方程f(x)0的根x0的左右的符号：“左正右负”f(x)在x0处取极大值；“左负右正”f(x)在x0处取极小值，而不仅是f(x0)0.f(x0)0是x0为极值点的必要而不充分条件对于给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又考虑检验“左正右负”或“左负右正”，防止产生增根补偿练习11已知函数f(x)x3x22ax在点x1处取极值，且函数g(x)x3x2ax在区间(a6,2a3)上是减函数，求实数a的取值范围解f(x)x3bx2(2a)x2a，由f(1)0，得b1a，当b1a时，f(x)x3(1a)x2(2a)x2a(x1)(x2)(xa)，如果a1，那么x1就只是导函数值为0的点而非极值点，故b1a且a1.g(x)x3bx2(a1)xax3(1a)x2(a1)xa(xa)(x2x1)当xa时，g(x)0，g(x)在(，a)上单调递减，(a6,2a3)(，a)，a62a3a，故所求a的范围为3a3.综上可知a的取值范围应为3a3且a1.易错点12导数与函数单调性关系不准致误例12函数f(x)x3ax23x在2，)上是增函数，则实数a的取值范围是_错解(，)错因分析求函数的单调递增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间2，)上大于零，忽视了函数的导数在2，)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性正解由题意，知f(x)3x22ax3，令f(x)0(x2)，得a(x)记t(x)(x)，当x2时，t(x)是增函数，所以t(x)min(2)，所以a(，经检验，当a时，函数f(x)在2，)上是增函数补偿练习12已知函数f(x)mx2ln x2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_答案，)解析f(x)2mx20在(0，)上恒成立，m，所以mmax，所以m.三角函数与平面向量易错点13忽视角的范围致误例13已知sin ，sin ，且，为锐角，则_.错解、为锐角，cos ，cos .sin()sin cos cos sin .又0.或.错因分析错解中没有注意到sin ，sin 本身对角的范围的限制，造成错解正解因为，为锐角，所以cos ，cos .所以cos()cos cos sin sin ，又因为01)的两根分别为tan ，tan ，且，则tan 的值是_答案2解析因为a1，tan tan 4a0，所以tan 0，tan 0)这个变化的实质是xx，所以平移的距离并不是.补偿练习14将函数ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是()aysin bysincysin dysin答案c解析将函数ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为ysin；再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是ysin.故选c.易错点15解三角形多解、漏解致误例15在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c且a1，c.(1)若c，求a；(2)若a，求b，c.错解(1)在abc中，sin a，a或.(2)由得sin c，c，由c知b，b2.错因分析在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sin a后，得出角a或；在第(2)问中又因为没有考虑角c有两解，由sin c，只得出角c，所以角b，解得b2.这样就出现漏解的错误正解(1)由正弦定理得，即sin a.又ac，ac，0aac，所以c60或c120.当c60时，a90，于是sabcabacsin a2212.当c120时，a30，于是sabcabacsin a22.故abc的面积是2或.易错点16向量夹角定义不明致误例16已知等边abc的边长为1，则_.错解abc为等边三角形，|1，向量、间的夹角均为60.错因分析数量积的定义ab|a|b|cos ，这里是a与b的夹角，本题中与夹角不是c.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角，如图与的夹角应是acd.正解如图与的夹角应是acb的补角acd，即180acb120.又|1，所以|cos 120.同理得.故.易错突破在判断两向量的夹角时，要注意把两向量平移到共起点，这样才不至于判断错误平面向量与三角函数的结合，主要是指题设条件设置在向量背景下，一旦脱去向量的“外衣”，实质上就变成纯三角问题补偿练习16在正三角形abc中，d是边bc上的点，ab3，bd1，则_.答案解析方法一在abd中，由余弦定理得ad23212231cos 607，ad，cosbad，|cosbad3.方法二，()2|2|cos 120931.易错点17忽视向量共线致误例17已知a(2,1)，b(，1)，r，a与b的夹角为.若为锐角，则的取值范围是_错解cos .因为锐角，有cos 0，0210，得，的取值范围是.错因分析当向量a，b同向时，0，cos 1满足cos 0，但不是锐角正解为锐角，0cos 1.又cos ，00且a，b不同向；为直角ab0；为钝角ab0且a，b不反向补偿练习17设两个向量e1，e2，满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为.若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的范围解2te17e2与e1te2的夹角为钝角，(2te17e2)(e1te2)0且2te17e2(e1te2)(0)由(2te17e2)(e1te2)0得2t215t70，7t.若2te17e2(e1te2)(0)，(2t)e1(7t)e20.，即t，t的取值范围为7t0.忽略了此隐含条件，就产生了增解200.正解记b1s10，b2s20s10，b3s30s20，b4s40s30，b1，b2，b3，b4是以公比为rq100的等比数列b1b2b31010r10r2s3070，r2r60，r2，r3(舍去)，s40b1b2b3b4150.易错突破在等比数列中，公比的条件在使用中要注意隐含条件，sn中q1；构造新数列要注意新数列的公比和原公比的关系，如等比数列an的前n项和为sn，s10，s20s10，s30s20，s40s30的公比为q100.补偿练习19设等比数列an的前n项和为sn，若s3s6s9，则数列的公比q_.答案1或1解析当q1时，s3s69a1，s99a1，s3s6s9成立当q1时，由s3s6s9，得q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.易错点20数列最值意义不清致误例20已知数列an满足a133，an1an2n，则的最小值为_错解21错因分析忽视了n为正整数，直接利用基本不等式求最值，要注意和函数最值的区别正解ann2n33，n1.又f(x)x1(x0)在，)上为增函数，在(0，上为减函数又nn*，f(5)，f(6)，minf(6).易错突破研究数列的最值问题时，往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性来解决关于正整数n的对勾函数，使其取最值的点就是在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得，代入检验，便可确定最值补偿练习20若数列an的前n项和snn210n(n1,2,3，)，则数列nan中数值最小的项是第_项答案3解析当n1时，a1s19；当n2时，ansnsn1n210n(n1)210(n1)2n11.可以统一为an2n11(nn*)故nan2n211n，该关于n的二次函数的对称轴是n，考虑到n为正整数，且对称轴离n3较近，故数列nan中数值最小的项是第3项易错点21数列递推关系转化不当致误例21已知函数f(x)，数列an满足a1，an1f(an)，bn，nn*，求数列bn的通项公式错解f(x)，an1f(an)，an1anan12an0，an(an12)an10.错因分析递推关系转化不当，无法求出bn.正解f(x)，an1f(an)，.1(1)，又bn，1，bn12bn，又b12，bn是以2为首项，以2为公比的等比数列，bn2n.易错突破解决递推数列问题的基本原则是根据递推数列的特征进行转化掌握以下几类递推关系的转化，可极大地提高解题效率an1qank形式可用待定系数法：an1q(an)；an1形式可用取倒数法；观察法，如an12(1)2an2.补偿练习21已知数列an满足a1，an1an2an1an，sn表示数列an前n项和求证：sn1.证明由a10，易知对于任意的n，an0.an1an2an1an可化为1，12.令bn1，则b12，bn12bn.所以数列bn是首项为2，公比为2的等比数列bn12n，所以an，则sn10时的情况被忽视正解当x1时，yxx112 121，当且仅当x1，即x1时等号成立；当x1时，yx1x12 121，y12；当且仅当1x，即x1时等号成立原函数的值域为(，1212，)易错突破利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件本例由于忽视了x1的正、负问题，导致结果错误在应用基本不等式时，首先应考虑a，b是否为正值补偿练习22函数f(x)1loga x(a0，a1)的图象恒过定点a，若点a在直线mxny20上，其中mn0，则的最小值为_答案2解析因为loga 10，所以f(1)1，故函数f(x)的图象恒过定点a(1,1)，由题意，知点a在直线mxny20上，所以，mn20，即mn2.而()(mn)(2)，因为mn0，所以0，0.由基本不等式，可得2 2(当且仅当mn时等号成立)，所以(2)(22)2，即的最小值为2.易错点23解含参数不等式讨论不当致误例23解关于x的不等式ax2(a1)x10.错解原不等式化为a(x)(x1)1时，不等式的解集为.当a1时，不等式的解集为.错因分析解本题容易出现的错误是：(1)认定这个不等式就是一元二次不等式，忽视了对a0时的讨论；(2)在不等式两端约掉系数a时，若a1当a0时，不等式化为a(x1)0.当a0，不等式的解集为x|x1或x；当0a1时，1，不等式的解集为x|1x1时，1，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为.综上所述，当a0时，不等式的解集为(1，)；当a0时，不等式的解集为(1，)；当0a1时，不等式的解集为.易错突破解形如ax2bxc0的不等式，应对系数a分a0，a0，a0进行讨论，还要讨论各根的大小，最后根据不同情况分别写出不等式的解集补偿练习23设不等式x22axa20的解集为m，如果m1,4，求实数a的取值范围解设f(x)x22axa2，有(2a)24(a2)4(a2a2)当0，即1a0，即a2时，设方程f(x)0的两根为x1，x2，且x1x2，那么mx1，x2，则m1,41x1x24解得2a.综上，可得m1,4时，a的取值范围是.易错点24线性规划问题最值意义不明致误例24设双曲线x2y21的两条渐近线与直线x围成的三角形区域(包含边界)为d，点p(x，y)为d内的一个动点，则目标函数zx2y的最小值为_错解错因分析没有理解线性规划中目标函数的几何意义，认为目标函数一定在最高点处取到最大值，最低点时取到最小值正解易错突破对于线性规划问题中的目标函数zaxby，可以化成yx的形式，是直线的纵截距，当b0时，z的最小值在直线最高时取得补偿练习24已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是_答案(3,8)解析画出不等式组表示的可行域(如图)，在可行域内平移直线z2x3y，当直线经过xy2与xy4的交点a(3,1)时，有zmin23313；当直线经过xy1与xy3的交点b(1，2)时，有zmax21328，故z的取值范围为(3,8)立体几何易错点25三视图识图不准确致误例25已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是_错解错因分析没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系正解如图所示，作几何体sabcd且知平面scd平面abcd，四边形abcd为正方形，作secd于点e，得se平面abcd且se20.vsabcds正方形abcdse；这个几何体的体积是.易错突破在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑补偿练习25(2013浙江)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于_ cm3.答案24解析由三视图可知，其直观图为：ab4，ac3，bac90，bc5.作ahbc于h，ah.作a1mbb1于m，a1ncc1于n.连接mn.v(53)(34)224.易错点26线面关系定理条件把握不准致误例26在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别为dd1、db的中点(1)求证：ef平面abc1d1；(2)求证：efb1c.错解(1)连接bd1，e、f分别为dd1、db的中点efd1b，ef平面abc1d1.(2)acbd，又acd1d，ac平面bdd1，efac.错因分析推理论证不严谨，思路不清晰正解(1)连接bd1，如图所示，在dd1b中，e、f分别为dd1、db的中点，则efd1b.ef平面abc1d1.(2)abcda1b1c1d1为正方体ab面bcc1b1efb1c.易错突破证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第(2)问是证明线线垂直，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上(或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上)，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等补偿练习26如图，在四棱台abcda1b1c1d1中，d1d平面abcd，底面abcd是平行四边形，ab2ad，ada1b1，bad60.(1)证明：aa1bd；(2)证明：cc1平面a1bd.证明(1)方法一因为d1d平面abcd，且bd平面abcd，所以d1dbd.在abd中，由余弦定理，得bd2ad2ab22adabcosbad.又因为ab2ad，bad60，所以bd23ad2.所以ad2bd2ab2，所以adbd.又add1dd，所以bd平面add1a1.又aa1平面add1a1，所以aa1bd.方法二因为dd1平面abcd，且bd平面abcd，所以bdd1d.如图，取ab的中点g，连接dg.在abd中，由ab2ad，得agad.又bad60，所以adg为等边三角形，所以gdgb，故dbggdb.又agd60，所以gdb30，所以adbadggdb603090，所以bdad.又add1dd，所以bd平面add1a1.又aa1平面add1a1，所以aa1bd.(2)如图，连接ac、a1c1.设acbde，连接ea1.因为四边形abcd为平行四边形，所以ecac.由棱台的定义及ab2ad2a1b1知，a1c1ec且a1c1ec，所以四边形a1ecc1为平行四边形，因此cc1ea1.又因为ea1平面a1bd，cc1平面a1bd，所以cc1平面a1bd.易错点27空间向量概念不清致误例27在abc中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，则abc_.错解cos，.abc45.错因分析概念混淆，没有搞清，和abc的区别正解(2，4,0)，(1,3,0)，cos，abc135.易错突破弄清向量夹角与几何图形中的角的区别与联系在用向量表示角的时候，一定要特别注意向量的起点是否相同，以此决定二者是相等还是互补补偿练习27设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，且ab，记|ab|m，求ab与x轴正方向的夹角的余弦值解设ab与x轴正方向的夹角为，取x轴上一点p，令(1,0,0)，则由题意可得：cos ，所以ab与x轴正方向的夹角的余弦值为.易错点28混淆空间角与两向量夹角致误例28如图所示，四棱锥pabcd中，底面四边形abcd是正方形，侧面pdc是边长为a的正三角形，且平面pdc底面abcd，e为pc的中点(1)求异面直线pa与de所成角的余弦值；(2)求ap与平面abcd所成角的正弦值错解如图所示，取dc的中点o，连接po，pdc为正三角形，podc.又平面pdc平面abcd，po平面abcd.建立如图所示的空间直角坐标系oxyz，则p(0,0，a)，a(a，0)，b(a，0)，c(0，0)，d(0，0)(1)e为pc的中点，e(0，a)，(0，a，a)，(a，a)，a()a(a)a2，|a，|a，cos，.异面直线pa与de所成角的余弦值为.(2)平面abcd的法向量n(0,0，a)，cos，n.ap与平面abcd所成角的正弦值为.错因分析(1)异面直线pa与de所成的角为锐角或直角，余弦值一定非负(2)直线ap与平面abcd所成的角不是与平面abcd的法向量所成的角正解(1)在求出cos，后，异面直线pa、de所成的角是锐角或直角，异面直线pa、de所成角的余弦值是.(2)cos，n，直线ap与平面abcd所成角的正弦值为.易错突破本题失分的根本原因是概念不清，混淆了空间角与向量所成角的概念，当然运算错误也是常见的一种失分原因要避免失分，首先要理解空间角与向量所成角是两个不同的概念；其次要理清向量的夹角与空间角的关系，如：异面直线pa与de所成的角的取值范围是(0，向量与所成的角，的取值范围是0，cos |cos，|.线面角的范围是0，sin |cos，n|.补偿练习28如图，正方形abcd的边长为2，将四条边对应的等腰三角形折起构成一个正四棱锥pabcd.(1)当q为pc的中点时，证明：pa平面bdq；(2)当等腰三角形的腰长为多少时，异面直线pa与bc所成的角为60；(3)当侧棱与底面所成的角为60时，求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值(1)证明连接ac交bd于点o，连接oq，点o，q分别是ac，pc的中点，oqap，又oq平面bdq，pa平面bdq，pa平面bdq.(2)解建立空间直角坐标系oxyz如图所示，不妨设高opx，则a(1，1,0)，p(0,0，x)，所以(1,1，x)而(2,0,0)，所以cos，要使异面直线ap与bc所成的角为60，只需cos 60，解得x，此时侧棱长也就是三角形的腰长为2.(3)解侧棱与底面所成的角为60时，也就是pbo为60时，而ob，所以op.所以(1,1，)，(0,2,0)，不妨设平