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第四节 矩阵分块法分布图示 矩阵的分块 例1 例2 分块矩阵的运算规则 例3 例4 例5 例6 例7 分块对角矩阵及其运算性质 例8 例9 内容小结 课堂练习 习题2-4内容要点一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以个元素为1阶子块的分块矩阵.二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若其中与的行数相同、列数相同, 则2.设为数, 则3设为矩阵, 为矩阵, 分块成其中的列数分别等于的行数, 则其中4. 分块矩阵的转置设 则5. 设为阶矩阵, 若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即,其中都是方阵, 则称为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ，则，且(2) (3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。6.形如 或 的分块矩阵，分别称为上三角分块矩阵或下三角分块矩阵，其中是方阵.同结构的上（下）三角分块矩阵的和、差、积、商仍是上（下）三角分块矩阵.例题选讲例1设. 则A就是一个分块矩阵.若记则A可表示为这是一个分成了4块的分块矩阵.例2 设, 则A是一个分了块的矩阵,且A的分块有一个特点，若记, 则 ,即A作为分块矩阵来看，除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，以后我们会看到这种分块成对角形状的矩阵在运算上是比较简便的.例3 (E01) 设矩阵 用分块矩阵计算解 将矩阵计算分块如下： 则例4 (E02) 设 求.解 按图示方式，把分块成则 又 例5(E03) 设求解 将分块成 则 例6 如果将矩阵分块为则例7 设 也可写为 设易见是分块矩阵，若记则 于是 例8 (E04) 设 求.解 例9
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