2016_17学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案【新人教B版必修】1.docx

3.3三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式S和C进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)基础初探教材整理积化和差与和差化积公式阅读教材P149内容，完成下列问题.1.积化和差公式：cos cos cos()cos()；sin sin cos()cos()；sin cos sin()sin()；cos sin sin()sin().2.和差化积公式：设x，y，则，.这样，上面的四个式子可以写成，sin xsin y2sin cos ；sin xsin y2cos sin ；cos xcos y2cos cos ；cos xcos y2sin sin .判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin(AB)sin(AB)2sin AcosB.()(2)sin(AB)sin(AB)2cos AsinB.()(3)cos(AB)cos(AB)2cos AcosB.()(4)cos(AB)cos(AB)2cos AcosB.()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用(1)求值：sin 20cos 70sin 10sin 50.(2)求值：sin 20sin 40sin 60sin 80.【精彩点拨】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.【自主解答】(1)sin 20cos 70sin 10sin 50(sin 90sin 50)(cos 60cos 40)sin 50cos 40sin 50sin 50.(2)原式cos 10cos 30cos 50cos 70cos 10cos 50cos 70cos 70cos 40cos 70cos 70(cos 110cos 30)cos 70cos 110.给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.再练一题1.求sin220cos250sin 20cos 50的值.【解】原式(sin 70sin 30)1(cos 100cos 40)sin 70(2sin 70sin 30)sin 70sin 70sin 70.积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用(2016平原高一检测)已知cos cos ，sin sin ，求sin()的值.【导学号：72010090】【精彩点拨】解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解.【自主解答】cos cos ，2sinsin.又sin sin ，2cossin.sin0，由，得tan，即tan.sin().对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止.再练一题2.(2016银川高一检测)已知sin ，求sin ，cos ，tan 的值.【解】，sin ，cos ，且，sin ，cos ，tan 2.探究共研型三角函数公式在解决三角形问题中的应用探究1解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？【提示】注意三角形中的隐含条件的应用，如ABC，abc等.探究2在ABC中有哪些重要的三角关系？【提示】 在ABC中的三角关系：sin(AB)sin C，cos(AB)cos C，sincos，cossin，sin(2A2B)sin 2C，cos(2A2B)cos 2C.在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4sinsincos.【精彩点拨】利用和差化积进行转化，转化时要注意ABC.【自主解答】左边sin(BC)2sincos2sincos2sincos2cos4sinsincos右边，原等式成立.证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.再练一题3.在ABC中，求证：sin Asin Bsin C4cos cos cos .【证明】由ABC180，得C180(AB)，即90，cos sin .sin Asin Bsin C2sincossin(AB)2sincos2sincos2sin2cos 2cos cos4cos cos cos ，原等式成立.构建体系1.计算sin 105cos75的值是()A.B.C. D.【解析】sin 105cos 75(sin 180sin 30).【答案】B2.sin 75sin 15的值为()A.B.C. D.【解析】sin 75sin 152cossin2.故选B.【答案】B3.函数ysincos x的最大值为()【导学号：72010091】A. B.C.1 D.【解析】ysincos xsin.取最大值.【答案】B4.已知sin()，sin()，则sin cos _.【解析】sin cos sin()sin().【答案】5.化简下列各式：(1)；(2).【解】(1)原式tan .(2)原式.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十九)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.sin 37.5cos 7.5()A.B.C. D.【解析】原式sin(37.57.5)sin(37.57.5)(sin 45sin 30).【答案】C2.(2016吉林高一检测)()A. B.C.2 D.4【解析】原式2.【答案】C3.若cos()cos()，则cos2sin2等于()A. B.C. D.【解析】cos()cos()(cos 2cos 2)(2cos21)(12sin2)cos2sin2，cos2sin2.【答案】C4.(2016沈阳高一检测)在ABC中，若sin Asin Bcos2，则ABC是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.不等边三角形 D.直角三角形【解析】由sin Asin Bcos2，得cos(AB)cos(AB)，cos(AB)cos Ccos C，即cos (AB)1，AB0，即AB.ABC是等腰三角形.【答案】B5.求值：sin 20sin 40sin 60sin 80 ()A. B.C. D.1【解析】sin 20sin 40sin 60sin 802sin 30cos 10sin 60sin 802sin 80sin 80.【答案】C二、填空题6.函数ycoscos的最大值是_.【解析】ycoscoscos 4x.取最大值.【答案】7.直角三角形中两锐角为A和B，则sin Asin B的最大值为_.【解析】AB，sin Asin Bcos(AB)cos(AB)cos(AB)，又AB，0cos(AB)1，sin Asin B有最大值.【答案】8.(2016日照高一检测)化简：sin 42cos 12sin 54_.【导学号：72010092】【解析】sin 42cos 12sin 54sin 42sin 78sin 542cos 60sin18sin 54sin 54sin 182cos 36sin 18.【答案】三、解答题9.(2016济宁高一检测)已知A，B，C是ABC的三个内角，ytan ，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论.【解】A，B，C是ABC的三个内角，ABC，.ytan tan tan tan tan .因此，任意交换两个角的位置，y的值不变.10.求函数f (x)sin x的最小正周期与最值.【解】f (x)sin xsin x2cossinsin xcossin.最小正周期为T.sin1,1，取最大值，取最小值.能力提升1.若sin sin (cos cos )且(0，)，(0，)，则等于()A. B.C. D.【解析】，(0，)，sin sin 0，cos cos 0，cos cos ，又在(0，)上，ycos x是减函数，0，由原式可知：2sincos，tan，.【答案】D2.在ABC中，若B30，则cos Asin C的取值范围是()A.1,1 B.C. D.【解析】cos Asin Csin(AC)sin(AC)sin(AC)，1sin(AC)1，co