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第二章 不等式第三节其他不等式的解法 一 分式不等式的解法1 引入某地铁上 甲乙两人为了赶乘地铁 分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼 楼梯和自动扶梯长度相同 如果甲的上楼速度是乙的2倍 他俩同时上楼 且甲比乙早到楼上 问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍 2 分式不等式的解法 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法 1 不要轻易去分母 可以移项通分 使得不等号的右边为零 2 利用两数的商与积同号 化为一元二次不等式求解 说明 解不等式中的每一步往往要求 等价 即同解变形 否则所得的解集或 增 或 漏 由于不等式的解集常为无限集 所以很难像解无理方程那样 对解进行检验 因此同解变形就显得尤为重要 二 含绝对值的不等式的解法1 复习绝对值概念的几何意义 它表示实数x在数轴上所对应的点到原点的距离 因此 求不等式的解集就是求在数轴上到原点的距离小于a的点所对应的实数x的集合 2 设a b R 且aa 2 x g x 上述结论的几何意义是比较明显的 说明 以上结论对于a b R均成立 即 1 x x a a R x xa x R 2 x x b b R x b x b b R 三 例题应用例1 解不等式 2x 3 5 解 5 2x 3 5 2 2x 8 1 x 4原不等式的解集是 1 4 小结 1 形如 f x 0 的解法 先转化为 aa a 0 的解法 先转化为f x a或f x a 然后求他们的解集的并集 四 高次不等式 解法三 标根法 作数轴 标根 画曲线 定解 小结 在某一区间内 一个式子是大于0 还是小于0 取决于这个式子的各因式在此区间内的符号 而区间的分界线就是各因式的根 上述的列表法和标根法 几乎可以使用在所有的高次不等式 其中最值得推荐的是 标根法 小结 1 解分式不等式和含绝对值不等式关键在于同解变形 通过同解变形将其转化为熟悉的不等式来加以解决 这种通过等价变形变 未知 为 已知 的解决问题的方法是教学的重点也是难点 需在课堂教学中有所强调 2 有关含绝对值不等式的解法应基于初中有关绝对值性质的基础上展开教学 除了从代数角度加以解释外 可多考虑一下绝对值的几何含义 帮助
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