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文档简介
1 3 3矩阵的UR分解 定义3 9如果非奇异矩阵 能够分解成 正交 酉 矩阵与非奇异上三角矩阵的乘积 则称为的UR分解 且除去相差一个对角元素的绝对值 模 全等于1的对角矩阵因子外 分解是唯一的 定理3 10设是n阶非奇异矩阵 则存在酉矩阵 和非奇异上三角矩阵R 使有UR分解 2 证明 设的n个列向量依次为 因为非奇异 所以n个列向量线性无关 按Schmidt正交化方法正交化 求n个标准正交列向量 对正交化有 其中 将上式改写为 3 令 则有 其中 再对单位化可得 于是有 则有 4 唯一性 设有两个分解式 由此得 其中 因为 所以 D为对角元素的绝对值全为1的对角矩阵 从而 5 单位化后构造矩阵U 例3 3求矩阵的UR分解 解 令 正交化得 6 计算上三角矩阵 则有 7 单位化后构造矩阵U 例3 4求矩阵的UR分解 解 令 正交化得 8 则有 计算上三角矩阵 9 应用求解矩阵方程 可以对矩阵先进行分解 则有 因为是上三角矩阵 所以求解简单
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