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文档简介

什么样的课是一节“好课”?这是新课程背景下广大中小学教师特别关注的问题。基于对一节好课标准的认识,新课程背景下的公开课应把“以学生发展为本”的教育理念整合到课堂中去,构建“生本课堂”。因此,评价标准主要是看这节课是否以学生为主体;是否激发了学生探究的欲望;是否在不断的问题解决中拓宽了学生的视野,培养了学生的思维能力;是否在浑然一体的教学中实现了“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三者的有机整合、和谐统一。 一、是否重视学生主动参与课堂“生本课堂”要求教师在对教材进行二次开发的基础上,设置问题情景,引发认知冲突,建立起智慧上的挑战,激发学生参与知识形成过程的兴趣,从而让学习过程成为学生自主建构知识的过程,以提高课堂教学的有效性。判断课堂教学是否有效,不仅要看学生积累知识的量,更要看学生参与知识形成过程中思维的深度和广度,有多少知识是通过自己探究建构的。因而学生有无参与知识的形成过程是判断公开课教学是否有效的一个重要指标,也是衡量是否是“生本课堂”的一个重要评价指标。教师是否重视学生主动参与公开课教学,可从以下几个方面进行评价:学生参与的方式,个别学习与小组合作学习相结合,不是形式上的“大合唱”,而是实质性的思考、表达、讨论与交流;学生参与的广度与深度,包括学生自主活动和学习的时间,学生回答问题和动手操作的人次等;参与的效果,即教学目标的达成情况、思维能力的开发程度及情感态度的提升效果。二、是否注意培养学生创新能力“生本课堂”应把创新意识和能力培养放在一个显著的位置,教师在公开课教学中要善于创设探究情景,搭建探究平台,问题让学生自主发现,让学生自主生成,让学生自主归纳,最后通过旧知衍生出新知。可从以下几方面来评价教师是否关注学生创新能力的培养:在一节公开课中,教师提出了多少个开放性问题?教师是否尊重学生不同的观点和意见?教师对学生的独特见解是否有意识地加以表扬和激励?学生自主探究和解决问题的时间有多少?学生主动提问的次数有多少?学生能否多角度思考问题?学生创造性地解决问题有多少人次?学生回答问题是否有新意和灵活性?三、是否使课堂保持有效互动“生本课堂”的教学过程是认知建构、师生互动、情感体验多向交流过程,评价一堂课是不是高质量的课,是不是“生本课堂”,教师能否使课堂保持有效和深层互动是一条重要指标。评价课堂教学的互动性可从以下几个方面去分析判断:教师拥有“言语霸权”还是“民主协商”?“先教后学”还是“先学后教”?“示范模仿、讲解接受”还是“自主探究、参与体验”?教师的“包办代替”还是学生的“自主建构”?重视“知识结果”还是“过程与结果”并重?四、是否关注学生的情感体验“生本课堂”追求三维目标的整合,即以知识和能力为主线,分层落实,面向全体学生;以过程和方法为核心,启发学生,促使学生全面发展;以情感和态度为动力,促使学生主动发展。积极的情感体验只能建立在民主和谐的学习氛围之上,建立在学生不断的成功和进步之上,因此教师能否营造民主、和谐、宽松课堂环境,是学生获得积极情感体验的前提条件。考察教师是否关注学生的情感体验,可从以下几个方面去判断:教师是否有激情;是否善于挖掘教材中的情感因素;授课过程能否引起学生的兴趣和情感共鸣;是否善于表扬激励学生,让学生体验到成功的乐趣;是否善于体察学生的变化,恰当调控教学;是否善待、宽容和欣赏学生;学生注意力是否集中;有无高涨的学习热情和良好的精神状态;能否保持内在的学习兴趣和需要。别让数学教学沦为解题教学实际教学中,数学教学目标常常被简单地理解为数学知识的掌握。以知识掌握的数量和牢固程度作为唯一标准的教学评价,引导着师生对知识的单一追求。为了便于学生理解和接受,抽象、严谨且具有广泛应用性的数学知识经常被教师们分解为一道道数学题,解题成了数学教学活动的重要组成部分,引导学生解题成了数学教学的一种重要形式和手段。理论上,所有人都知道数学的教学目标是多元的,远不只是掌握知识和解题那么简单。然而,具体到教学一线,教师们总希望能抓住一些有形的、易于测量的东西来操作。于是,解题成了一线教师教学评价的抓手。的确,面对一道数学题,学生能否调用相关的数学知识来解决,可以折射出学生相关数学知识的掌握情况。学生能灵活调用数学知识来解决相关的问题,也表现为数学能力。于是,解题就成了教师衡量学生学习水平的重要标尺,学校也通过编写试卷,让学生解答批量的数学题来呈现学生的学习状况,了解、检验教师的教学。说到底,还是评价的导向在起决定作用。如果高考的影响力及其指挥棒的作用、考试评价的方式一天不改变,教师和学生们追逐成绩、把解题能力当作数学教学最高目标的现状也将很难改变。华罗庚说过:“学数学不做题目,等于入宝山而空返。”这说明,数学教学离不开解题,但是解题只能作为数学学习的重要途径,而不是数学学习活动的全部。数学教学对解题的依存关系表现为:数学学习过程需要解题这一重要的手段。解题作为数学学习过程的重要手段,其作用可以归结为以下几点:首先,解题过程引导学生逻辑思考。许多数学知识之间的关系非常严谨,知识的起源、认识、理解和掌握蕴含着严谨的推理、推断过程。这一过程往往是通过解决一个个数学问题来完成的。数学解题过程是若干数学知识的综合调用和一系列逻辑推理的组合,是一项重要的数学思维活动。所以数学解题过程成了数学学习活动的重要组成,成了一次次逻辑推证的过程。其次,解题是引导学生有步骤地走进数学的过程。数学知识本身是一个逻辑链,数学知识被分解为一系列相关联的问题,数学教学就是通过这些问题串,以旧引新,层层深入,引导学生逐渐走进数学的内核。再其次,数学问题直接挑战学生的智慧。数学知识以问题的形式呈现,在解题过程中学生首先要直面问题,有价值的数学问题能很好地挑战学生的智慧、激活学生的思维,更大限度地激发学生的创造潜能。解题不能准确地反映学生的全部学习状况。解题的过程受各种因素的影响,学生在解题过程中的表现也可能是片面的,只能反映学生数学学习的部分情况。人们对知识调用的速度和思维的灵活度与心情好坏、注意力集中程度等都有密切的关系。解题也会受题目质量的影响,如问题的呈现方式、表达习惯、定位的明显程度。个人的经验和成长历程以及对问题及其情境的熟悉程度,也决定个人对问题的适应性和感受性。许多老师要求学生“多做题”,认为多做题目就增长了见识。正是这种“一回生,二回熟”的信念,造成了对解题结果的过分追求,对提高解题能力手段的过度研究,使得解题成了操练的工具,解题也因此失去了呈现学生真实学习水平的意义。准确把握数学教学的目标与价值。数学作为一种普遍适用的技术,有助于人们收集、整理、描述信息,建立数学模型,进而解决问题,直接为社会创造价值。学习数学的重要目的是接受数学思想、数学精神的熏陶,提高自身的思维品质和科学素养。这需要每一位教师准确地把握数学教学的目标与价值,让数学课堂教学成为学习者思维活动交流的过程。充分发挥解题教学在数学教学中的功能。要想让数学教学不沦为解题的教学,就要帮助教师正确定位解题在数学教学中的意义和作用。一是要选择有教学价值的典型问题。二是要把问题的教学价值发挥到极致。充分挖掘问题的教学价值,适当安排时机发挥题目资源的效用,尽可能一题多用。三是在评价解题时,把通法(一般的普通方法)放在第一位,不一味追求速度或技巧。四是要关注解题过程反馈的价值信息。在关注解题结果的同时,考虑给过程分,关注解题过程中的各种表现,收集有效信息,帮助诊断教学,发现、利用有价值的教学资源。一方面引导学生重视解题过程,另一方面提醒教师从过程中收获信息的教学价值更甚于结果。教师应允许学生采用不同的思路,鼓励学生大胆发表见解,教师在理解的基础上应尊重各种合理的解题思路,并给出中肯的评价。五是要重视解题后的反思。解题过程中的试误过程和成功经验都值得反思。回顾自己如何经历“山穷水尽疑无路”,又如何达到“柳暗花明又一村”的境地,分析解题过程给带来的认识上的得与失。这些收获不亚于题目本身带给我们的价值。在数学学习中,我们既要扎扎实实地学好数学知识和技能,又要牢固地掌握数学思想和方法,而且要能灵活应用数学知识和技能解决实际问题。学习数学需要解题,但不取决于解题的多少,而在于解题前的分析、探索和解题后的反思。我们要让学生要成为解题的主人,要从解题中吸取解题的方法、思想,锻炼思维。(作者为深圳市南山区教研室教研员)每道题都是有生命的笔者曾经在某练习册上看到过这样一道题:狗、鹅、狮子和大象各一只分别装在同样的四条船上,你能根据每条船吃水的深度说出各条船上装的是什么动物吗?请将动物与对应的情况连线。经过思考,我把它改编成了填空题、选择题、操作题,最后又把它改成了开放题:四个动物,分别坐在四条船上,先猜猜每条船上分别装什么动物,再把每条船装的动物写出来,最后画出2号船。如下图:看着我改编出来的一道道题目,我反复想着:这些题目之间的相同点是什么?不同点是什么?同一个知识点、不同类型的题目所要承载的东西又是什么?忽然,我感觉到每一个题目都是有生命的,每道题目都在用自己所代表的独特思维方式与我们进行对话。然而,给这些题目赋予更强生命力的是我的学生。我把改编后的题目发给学生。全班23个学生,想法各不相同,还有学生质疑“放一只狗或者放一只鸭子,并不能分出船在水中的深浅”。这使我猛然醒悟:数学仅仅是解题吗?我这么长时间思考改编出来的题目在学生的质疑中不堪一击。于是我查找资料、广泛征求意见,把题目作了进一步修改:一堆沙土重6吨,一堆土豆重800千克,一堆棉花重7000千克,一些矿泉水重500千克,它们分别装在四条船上,先猜猜每条船上分别装了什么货物,再把每条船装的货物写出来,最后画出2号船。上课时,有个学生非要到投影仪前表达他的想法,很得意地展示他的作品。如下图:全班学生哄堂大笑。面对这样的情景,我选择了积极引导:“大家在笑什么?请说说你们的想法。”学生们快乐地阐述了自己的想法。“那么,这样做行不行呢?”学生认为这样做不仅行,在数学上就更行了,因为它简捷、准确、精炼。“那这样做好不好呢?”经过讨论,大家得出了共识,这样做在数学上好,但是在实际生活中是不行的。因为每条船都有限载问题,如果这条船限载6吨,就不能装7吨棉花,因为船会沉没;如果限载超过7吨,船就不会沉没。因此,我们要根据实际情况装载货物,要遵守规则。作为一种思维方式,上面那个学生的想法无可非议,但是数学中的“行不行”、“好不好”也要在一定程度上受到实际生活的制约。“怎么做可以避免这种情况的出现?”学生提出标明载重量。讨论中,学生又指出,载重量是生产厂家规定的,是船生产出来时就有的,正规船厂生产出来的船应该在船上标明载重量。“生活中还有哪些类似的情况?”至此,这道题所承载的已经不是一道题的功能了,它富有生命活力,给学生以启迪。读懂题目的过程,其实也是读懂题目思维的过程。和不会说话的题目打交道,挖掘每道题的生命力,更需要我们有宁静的心、思考的脑、探究的力。(作者为北京市朝阳区教育研究中心教研员)数学会给孩子们留下什么除了知识和技能,数学学习还能给孩子留下些其他的东西吗?日本数学教育家米山国藏曾阐述这样的观点:在学校学的数学知识,毕业后没什么机会可用,一两年后很快就忘掉了。然而,不管他们从事什么工作,铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法和看问题的角度等,却随时随地发生作用,使他们受益终身。因此,作为学生数学学习初始阶段的小学数学,除了重视数学概念、法则、公式、性质等显性的知识教学,更应该重视数学意识、数学思想方法、数学思维方式等数学素养的培养,使数学学习给学生留下意识、思想、经验、习惯、快乐,为学生的后续学习和可持续发展奠定基础。留下意识。数学意识是指遇到问题能够自觉地从数学的角度进行观察和思考,能用数学去观察、解释、表示事物的数量关系和空间形式,形成一种数学化的思维习惯。举一个例子,学生会正确计算484,说明掌握了除法的有关知识和技能;学生会用除法正确解答“有48个苹果,平均每人4个苹果,可以分给多少人”,说明学生具有一定的分析问题和解决问题的能力;而在体育课上,48位同学进行跳长绳活动,学生看到老师一共准备了四根长绳,他想到484这个算式,说明学生不仅掌握了除法的基本知识和技能,而且数学意识也得到了较好的发展。小学生的数学意识主要包括数意识、符号意识、统计意识、数学应用意识等。留下意识,就是让学生拥有数学眼光,具体地说,就是具有对客观世界中的数量关系和空间形式的感受力,能自觉地从数学的视角观察事物,善于在生活与数学间建立联系,面临问题时能较快地尝试用数学方法解决问题。如,在“校门口早、中、晚3个时间段中,哪个时间段汽车流量最大”的统计活动中,教师把学生分成7个组,从星期一到星期日,每天一组,让学生自己设计并进行统计,再用一定的方式表达出当天3个时间段的车流量情况。在这样的统计活动中,学生不仅掌握了统计的一些基本方法,统计意识也初步得到发展。留下思想。数学思想是对数学知识和方法的本质认识,是对数学规律的理性把握。一般认为,归纳和演绎是两种基本的数学思想,而分类、对应、化归、转化、类比等是更具体化的数学思想。学生数学思想的形成要经历从感性认识到感悟、理解的过程。留下思想,指学生在学习数学的过程中逐渐由感性到感悟,直至理解,内化为逻辑的数学思想。如学习“乘法分配律”时,学生经历“生活原型提出猜想举例验证归纳总结”的过程,学生通过大量例子证明猜想的正确性,并归纳得出结论,在理解乘法分配律的同时,又一次积累了“归纳思想”的感性认识。留下经验。我们所说的经验主要指数学活动累积的数学经验,是学习者在参与数学活动的过程中形成和积累的过程性知识,具有动态、隐性和个性化等特点。经验在学生的数学学习过程中有着重要的作用,是学生理解数学知识,形成数学意识和数学思想的基础。没有亲历的数学活动谈不上经验,留下经验,就要倡导学生“做数学”,让学生充分经历直观感知、观察发现、实践探索、空间想象、归纳类比、猜测验证、演绎证明等数学活动的过程。正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说:“数学学习是一种活动,这种活动与游泳、骑自行车一样,不经过亲身体验,仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。”例如,在学习“长方体的认识”时,教师鼓励学生用多种方式探索长方体的特征,如把长方体剪开,然后用重叠等方法比较面的特点;用小棒或塑料吸管沿长方体的棱比一比、剪一剪,观察探索棱的特点;用尺量等方式研究棱的特点。学生在充分的数学活动中,不仅掌握了“长方体有6个面、12条棱、8个顶点,长方体相对的面相等”等数学知识,而且积累了从顶点、棱、面等不同角度研究立体图形的数学活动经验。留下习惯。好的习惯会让人受益终身。叶圣陶先生说:“教育是什么,往单方面讲,只需一句话,就是要培养良好的习惯。”数学学习是形成良好学习习惯的重要途径。在数学学习中,除了培养学生养成预习、听课、作业、复习、质疑等常规的习惯外,更要注重培养学生条理思考、言出有据、三思而后行、画图分析等体现数学学科特点的习惯。如学生在理解了“等底等高的两个三角形面积相等”后,引导学生思考这个结论如果倒过来说是否正确。在这样的思辨与讨论中,逐步养成学生“言出有据”等习惯。再如,在解决问题中要培养学生形成画图的习惯,善于利用数形结合帮助分析和解决问题。留下快乐。童年是快乐的,数学学习生活也应是快乐的。真正使数学学习成为一种乐趣、一种享受,这一点在小学显得尤为重要。数学学习的快乐来自很多方面,新颖的教学情境,有趣的数学活动,数学思维的挑战、探索等,都能给孩子带来独特的快乐体验。(作者为浙江省嘉兴市南湖区教研室副主任、特级教师)追寻积极向上的数学教学目标数学是义务教育阶段的基础学科。之所以是基础,一方面是因为所选内容是每一个人在社会生活中必备的基本知识和基本技能;另一方面,还因为所学内容是后续学习的必要基础。然而实际上,在数学学习的过程中存在着大量的“解题”,本该充满基础性的数学学习往往被淹没在题海之中。我们究竟该如何辨析解题与数学学习之间的关系?如何全面考查学生学习数学的目标价值取向呢?解题不可见题发挥“解题”这个概念本身就值得探讨研究。解题是小学数学学习的重要组成部分与重要途径。我们不必讨论数学教学要不要解题,要解多少题,而是要研讨解什么样的题,如果都是“好”题,自然非常必要。如果再追问怎样的题才算好题,那更是需要研讨的了。数学学习与解题的关系显然不能一概而论,需要慎重分析。一味摒弃解题,可能导致学生数学水平的降低;一味主张解题,进行题海战术,无疑会加重学生的负担。“解题”这样的传统话题值得深入细致研究,研究“解题”是减轻学生学习负担的重要途径。我们不能以减轻学生负担为名义对数学题妄加指责,而使数学学习趋向另一个极端。记得曾有多位文化名人对数学题“有一个水池,单开进水管,注满水池要5小时,单开出水管放完一池水要8小时,如果同时开两个水管,几小时能注满水池?”大加指责。其实这种批评是值得商榷的,因为这样的数学模型在现实生活中比比皆是。农田的灌溉,经过a田灌溉b田,影院进场和出场同时进行,飞行工具能源的耗费与输入等,都是这种情境。不可否认,适当的解题是数学学习不可或缺的组成部分,尤其是那些富有现实性、趣味性、基础性、挑战性的问题理应成为学习数学的主要内容。但让人遗憾的是,日常教学中可能绝大多数的“解题”还是相当的程式化、机械化,难免让学生觉得枯燥乏味。数学学习要注重提升素养承认“解题”对数学学习的作用,并不是无限制地扩大它的价值,毕竟解题只是数学学习的途径与手段,绝不是数学学习的终极目标。在新课程背景下,许多学者呼吁从关注“双基”到“四基”,数学学习的目标在于掌握必需的基础知识和基本技能,积累丰富的活动经验,体悟数学的基本思想。数学学习不只是解题,在学习的过程中还将学会观察,学会思考,学会表达,学会书写,学会合作。著名特级教师张天孝研究小学数学教学50年,他有一个治学心得是:“让学生在学习中学会学习,在思考中学会思考。”这正是对数学学习目标的精辟提升。如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话,那么加上一个定语让学生用数学的眼光进行数学思考。比如,百货店的促销信息,人们不仅会关注哪个折扣低,还会关注标价的高低。美国统计学家戴维S穆尔的统计学的世界一书中有幅漫画,画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡,从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。数学地思考,是数学学习的更高目标。数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。看到下面的图1时,别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观,但是对于数学学习来说,教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解,引导学生思考的是多边形线的条数等。这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。数学要促进人的全面发展数学教学不只是为了数学。作为义务教育阶段的基础学科,数学学习的时间也是学生全面发展的时间。按每天1节课的时间计算,学生接近1/6的在校时间是在学习数学中度过的。这就要求数学教学不能仅限于教学数学,应该真正为人的长远发展服务。怎样与人合作,怎样在小组内表达自己的见解,怎样研究问题,学会分类,学会从多个现象中归纳出特点,学会从一个事件类比到另一个事件。学会学习,学会思考,学会与人相处,这些都是数学教学的目标所在。把德育蕴含在数学学习中,其实大有文章可做。以下面的运行图为例。看完图,学生一般会作出这样的评价:阿明很贪玩,在商店买零食,到游戏机房玩游戏机,到邻居家逗留,最后才回家;阿芳很乖,放学就回家了;阿强丢三落四,回家后发现作业本没带又回去拿了。这时,我总讲八个字:仁者见仁,智者见智。学生的思维马上发散了:阿明到商店买学习用品,发现游戏机房有同学在,他过去劝阻,邻居家有小妹妹或者老奶奶要照顾,阿明很懂事;阿强回家后下雨了,想起学校的教室窗户没有关又回去了,是个爱集体的好学生。在同一节课上,1分钟前后有截然不同的表达。这种表达已经不再是对数学信息的解读。为什么解读不能先从好的角度开始呢?同一个现象,从不同的角度看,所感悟到的是不一样的。乐观、积极、向上的情感态度,看待事物的多元视角是教育的本性诉求,数学教学也是如此。数学教学的评价需多元化数学教学不只是解题,也不只是教学数学。因此在评价数学学习目标的达成时,显然不能用简单的“会不会”来评价。在学习的过程中,教师还要考虑是否渗透了数学的方法,是否在学习的过程营造了学生之间良好的合作氛围,是否促成了学生学习数学的积极情感、态度,是否为后续的学习积累了丰富的活动经验,是否为形成数学的基本思想积存了感悟。例如,“乘法的认识”一节,当面对一个情境列出很多不同的连加算式时,教师可以引导学生把算式分为两类,一类是算式中的数全相同,另一类是算式中的数不全相同。有了这样的分类,再引导学生把算式中数全相同的一类写成乘法的形式。在这个过程中,数学学习不再只是为了学会乘法算式怎么写、怎么读,而是让学生从不同的算式中通过自主分类,概括出乘法算式的意义。同时,在分类的过程中,如果把所有的算式分为两类,一类是“数全相同”,另一类是“数不全相同”,可以做到不重不漏。对于这个学习过程来说,教学的价值并非仅仅为了认识乘法算式,而是学会数学的基本方法分类,从而归纳同类算式的特点,然后用语言概括出乘法的意义。再比如“平均数”的教学,在联系现实生活情境时,面对一个公司平均工资为1000元和另一个公司工资众数为1000元的两个公司,作为一个刚毕业的大学生该如何择业?一方面可以考查学生对平均数的理解,理解平均数并不是代表这个公司的每个人的工资都是这个数;同时,也可以反映学生出对自身素质的定位和面对生活的态度。全面的、科学的数学学习评价,应该不限于对数学学习内容的评价,还应当关注学生的学习是否愉快,是否对内容有兴趣,是否对数学产生了积极的情感。大而言之,在数学学习的过程中,还渗透了一种潜在的理性精神和积极的人生价值观,这或许是数学学习真正“以人为本”的体现。如何面对学生的学习错误?这是个值得研究的问题。本报记者 齐林泉 摄 在对抗错误中获得发展错误在学习中普遍存在错误并不仅仅出现在学习活动中。一般而言,人们是在认识论的范畴中讨论“错误”,把它与“真理”作为相对的概念提出的,认为“错误”就是与客观实际不相符合的认识。但是,当人们讨论学校学习活动中的“错误”时,错误的概念发生了变化。人们认为错误是学生在学习过程中所产生的各种不同于“标准观念”或“标准答案”的想法或做法。与认识论的“错误”概念比较,变化如下:其一,错误往往被教师理解为学习活动的结果不符合教学要求。如在一堂“分数、小数加减混合运算的简便计算”课中,教师要求学生在算式“0.38+( )-7/5”的括号中填上合适的数,使得计算比较简便,并计算出算式的结果。学生提出填上1.62,使得加法运算的结果为2,但教师却认为这一填法不正确。在这一练习中,教师简便计算的“标准观念”并不只是一级运算,无论学生填写1.62或7/5都不符合教师的“标准观念”。教师希望学生考虑简便的二级运算,最佳的运算结果是0。且不论教师对简便计算的“标准观念”是否真的标准,从这一教学现象中我们不难发现,学生学习结果的错误往往是指不符合教师预设的教学要求。衡量的标准从“客观实际”变为“教学要求”,被赋予了更强的人为色彩。其二,这种学习结果不仅包括认识(观念),也包括行为(做法)。数学学习过程中的“做法”通常指的是技能,包括计算技能与解决问题的技能。因为它不会直接对现实生活造成伤害,因此,学习过程中的错误既被理解为“观念”,又被理解为“做法”。这两者在学习过程中是紧密联系在一起的。教师可以通过学习过程中错误的“做法”去折射学习者错误的“观念”。在数学学习中,学生的错误是普遍的。我们可以毫不夸张地说,每一位数学学习者在数学学习活动中都发生过错误。个体正是通过对抗数学学习中的错误,丰富了自身的认识经验,从而获得发展的。数学学习中的错误更是必然的。首先,数学活动是一种包含有猜测、错误与尝试,证明与反驳,检验与改进的复杂过程。因此,学生在经历这一数学活动过程时产生错误在所难免。其次,数学研究的对象是对现实生活理想化的抽象,许多在现实生活中有原型的数学概念,学生很难区分其与生活概念的差异,因为处于具体形象思维阶段的学生会出现认知不足,进而产生错误观念。例如,学生在理解三角形高的概念时,由于在日常用语中“垂线”只指铅垂位置,所以学生很难理解其他位置的高,更难把握三角形的外高。正是由于这些学习错误具有普遍性与必然性,它们的产生也是有理由、有规律可循的。因此,在建构主义看来,错误的产生具有合理性。有学者认为,从学习者身上观察到的一系列错误表明,错误不是教给的,而是学习者构造了自己特有的概念与程式造成的。错误的价值与有价值的错误在学生的学习过程中,正确有可能是一种模仿,而错误却大凡是一种经历。因为许多错误是学习者在主动构建知识时形成的。在教育活动中,错误是重要的教育资源。首先,错误的教育价值在于它展现了学生的思维历程。“在数学学习活动中,错误表征着学生思想的航行,活动的展开。错误可能意味着学生一次观念的冒险、体验的丰富、超越的契机。”有一个学生提出了这样的疑惑:认识三角形内角和时,我们是通过把长方形沿着对角线一分为二,已知长方形的内角和是360度,一分为二得出直角三角形的内角和就是180度。那么把一个等腰三角形沿着高一分为二,小的直角三角形的内角和为什么不能是90度呢?尽管学生通过类比推演得出小三角形内角和的结论是错误的,但是,学生在错误经历中的思考与质疑却是难能可贵的。其次,错误可以使理解和记忆更加深刻。学生经历错误后,如果教师通过展示学生的错误,辩论错误观点,纠正错误过程,那么,学生会对自身的错误理解得更深刻、记忆得更牢固。因为在错误经历中,学生获得了在平坦的大路上难以见到的景致,也许正是学生经历了一次次错误的探险,感受到心理的挫折、惊喜与顿悟,才从中获得了质疑、反思与多向思维的创新品质。再其次,它折射了学生数学学习的难点问题。学生在数学学习活动中难以理解、难以把握的内容往往成为教学的难点。学生在学习中的错误正是学习难点的折射。当然,并不是学生所有的错误都折射了数学学习的难点,在教师的教学设计中也无法关注每一个学生的错误,这必然引发对有价值错误的思考。我们认为,那些具有规律性的、合理的错误具有教育价值,因为它们具有普遍性,多数学生会遭遇。那些经过思维运演的错误有教育价值,因为它们可以促进学生的理解,强化学生的记忆,并能产生许多非认知的教育价值。教师对待错误的三重境界“从错误中学习”并不是每一位教师都认同的教学原则,错误资源在不同教师的课堂上发挥的教育价值,也因教师对待错误的态度不同而存在差异。我们把教师对待错误的态度分成三重境界。第一重境界是教师害怕、拒绝错误。他们认为学生的学习错误是自身教学缺失的标志,尤其在公开课上,不符合标准答案的观点会被教师们漠视,他们或对学生的错误采取“失聪”、“失明”的做法,或用优生的学习成果掩盖其他学生的学习错误,因为他们对标准答案已经产生了思维定式与心理期待,对课堂中生成的非预设的学习成果缺乏评价能力。第二重境界是教师把学生的学习错误作为有价值的教学资源加以利用。或通过展示错误过程,辩论错误观点提升认识;或故布陷阱,让学生深陷其中而得出显而易见的错误,从中恍然大悟地得出正确结论。第三重境界是教师不仅让学生经历纠错的过程,形成正确的观念与做法,更重要的是让学生反思自身的错误,进而升华为错误观的教育。浙江省特级教师俞正强老师就曾有一堂经典的进行错误观教育的“小数四则运算”练习课。整节课一气呵成,让学生经历了“感受研究错误的必要性小数四则运算的错误类型小数四则运算错误的归因分析小数四则运算的干预策略对错误观的认识”这一完整的反思错误的过程。首先,他在课前让学生计算了20道小数四则混合运算题,然后在课堂上让学生们评价自己的作业,并公布了全班学生的错误率,从而让学生了解小数四则混合运算错误的普遍性,体会到研究学习错误的必要性。然后,教师展示学生的典型错误,让他们依据自身的理解把错误分类,并让产生错误的学生分析原因。许多学生简单地归因为粗心、马虎、不认真。他就耐心地引导学生,提出任何数学学习的错误总有知识的缺陷或技能的不足,只有这样的归因分析才能正确认识并纠正错误。他让学生对那些有错误的同学提出纠错的建议,并进而拓展到对错误观的认识。让学生理解犯错误是难免的,学生的错误不等于错误的学生。但是,人不能两次犯同样的错误,学习如此,未来的生活也如此。学生的学习错误是生成性的教育资源,教师只有放宽心态,理性分析,智慧地把握,才能使错误资源发挥真正的教育价值。(作者为浙江教育学院教授)教师须树立错误资源观人们常说“垃圾是放错了地方的宝贝”,如果我们能用这样的眼光来看待数学教学中的错误,那会是一种怎样的境界呢?正视错误,树立“错误资源”意识学生的学习是和错误相伴的过程,错误反射出学生的学习困难所在,反映出学生思维的认知发展水平、行为习惯以及意志品质状态,这不但可以帮助学生正确认识自己,找到努力的目标和方向,同时也可以帮助教师从学生的错误中分析、了解他们的学习状况,以便对症下药,有针对性地选择有效的教育教学策略和方法,进而改进和完善自己的教学。教师要为学生营造一个安全的心理环境,表现出能够尊重、愿意接纳学生的想法、做法,欣赏他们主动表达自己思考的行为和勇气,让他们敢于在课堂上暴露自己的真实想法和思考。教师要让学生明白,学习就是在不断出错、纠错中进行的。错误并不可怕,怕的是失去面对错误的勇气,失去尝试、探索的机会。学生只有真正明白自己的问题,改正错误,才能把要学习的知识和能力内化为个人的发展。有时,学生的错误并不是来自知识本身,而是来自他们发展尚不成熟的个性特点、行为习惯。教师要善于从儿童好奇心强、活泼好动、注意力不易集中、行为习惯尚不稳定等生理和心理特点出发理解他们,宽容地对待由此产生的问题或错误,要引导他们自己去认识问题,改正错误,帮助他们逐步养成良好的行为习惯、学习习惯以及意志品质。其实,课堂上不只是学生会犯错,教师也会偶尔“马失前蹄”。这就要求教师敢于直面自己的错误,勇敢地把错误当作师生共同研究的“靶子”,转化为新的教学资源。英国心理学家贝恩布里说:“差错人皆有之,作为教师,对学生的错误不加以利用是不可原谅的。”同样,作为教师,如果不能对自己的错误加以利用,也是不可原谅的。另外,教学中教师不能怕学生出错而忽视或回避不同的声音,并通过降低问题的思维含量而使教学“顺利”地进行。教师要给学生表达不同意见的机会,正是在不同意见的碰撞中才会凸显问题的内在价值,使知识和能力在激辩和交锋中得以内化和提升,这种思维碰撞产生出的错误同样闪烁着智慧的火花,恰当选择、灵活处理就会使之成为宝贵的教学资源。捕捉错误,恰当选择“错误资源”错误,不管是来自学生,还是来自教师,都是很珍贵的课程资源。我们要善于发现、认真分析,并根据不同成因而区别对待。比如对于个别学生因为学习习惯而产生的问题,可以单独处理,典型的问题也可以对其他学生进行提醒,防患于未然。对于共性的知识层面的错误要及时地向全体学生指出,引起学生注意,达到巩固强化的目的。对于有思维价值或对进一步学习新知有帮助的错误,要善于及时捕捉,并分析错误成因,引导学生共同解决。教师不仅要提高捕捉错误的能力,同时还要提高判断错误价值的能力,从而恰当选择错误资源,挖掘其可生长点并有效利用,激活学生思维,提高教学效率。错误之所以是一种资源,其价值有时并不在于错误本身,而在于师生通过集体查错、析错、纠错活动,通过分析、综合、抽象、概括等思维活动,去伪存真,将感性认识逐步上升到理性认识,从而领会和掌握内隐的数学规律及本质。捕捉有价值的错误资源并恰当地处理,有很强的艺术性。处理得好,可以让学生从错误中悟出新意,举一反三,触类旁通,进而感受到探索问题的乐趣。预设错误,诱发“错误资源”建构主义学习观认为,学生的错误不可能单独依靠正面示范和反复练习得以纠正,必须经过一个自我否定的过程,而自我否定又以自我反省,特别是内在的观念冲突作为必要的前提。课堂上学生出现的错误,有些是教师能够预料到的。教师通过认真钻研教材,根据学生发生错误的规律,凭借以往的教学经验,可以事先预测出学生学习某个知识点时可能发生的错误,还可以有意搜集或编制一些学生易犯而又意识不到错误的问题加以预设,主动诱发错误,使学生的思维产生错与对之间的交叉冲突和悬念,促进学生积极主动地去思考、质疑、辨析、发现,找出致误原因,使学生加深对数学知识的深刻理解,最终不再犯类似的错误,消除数学学习中的隐患。但我们也应该注意到,当利用学生的错误资源进行教学时,一定要考虑到学生的感受,不能给他们带来影响自尊和自信的心理压力。同时,面对课堂中的错误资源,我们要学会判断、学会取舍,挖掘有益的错误资源来优化课堂教学,不要让错误拖累课堂,而要让课堂因错误更精彩。(作者为黑龙江省教育学院小学数学教研室主任)正确解读与用好学生的错误让学生的错误坦然公开特级教师黄爱华执教“3位数乘1位数”一课时,让学生自编一道乘数中间有0的3位数乘1位数算题进行计算,然后在组内交流的基础上每组推荐一位学生参与全班交流。其中,一个小男孩被小组推荐作为代表汇报。生:7045=3570。教师同时板书7045的竖式,并反问:3570?其余学生帮助纠正。教师再引导:4乘5 生:20,写0进2。师:然后呢?生:0乘以5等于0,加2等于2,写2。师:你刚才算得3570,错在哪儿呢?小男孩有些不好意思:我刚才把0乘5算得5,再加2得7。教师转而问他所在的小组:为什么推荐他作为代表到全班交流? 学生的回答出乎意料:因为他最小,我们想给他一个机会。师:哈哈,因为他最小,所以推荐让他交流。那么,我想这位同学是有意出错的,他是为了提醒我们大家。教师话锋一转,意图显而易见,给小男孩一个台阶,让他错得“体面”。但小男孩并没有顺水推舟,领受老师的好意。他头一歪,很固执地强调:我不是有意出错的。小男孩的回答,让全班学生和教师都哈哈大笑。师:啊哦,那么,你现在再说说,可以提醒大家注意什么?生:大家在算的时候,不要把0乘5算得0,而要等于5。全班学生和教师又一次哈哈大笑。学生自己纠正:0乘5要等于0,而不能等于5。学生接着重述计算过程,教师再让该生用红粉笔重新板书乘积十位上的2。师:这位同学帮助我们把思路理得更清楚了。谢谢!给他掌声。在掌声中,小男孩高高兴兴地回到了自己的座位上。上述教学片断,颇具喜剧色彩,真实呈现了一个学生出错、纠错的过程。学生的“坚持错误”,恰恰反映了在这样的课堂中,教师给学生创设了安全而自由的氛围。错误,是学生学习过程中出现的正常现象。在教学过程中,有些教师常常以自己的处理与想象代替学生真实的学情。而在此过程中,学生也以自己对错误的掩饰,以自己的一知半解蒙蔽了教师,教师也就难以获得真实的教学信息。只有在真诚、安全、自由的氛围中,学生才会像小男孩那样展示“真我”,教师才能获得来自学生的真实信息。如果需要把学生的错误作为资源加以利用,那么在利用之前,教师要注意与学生的沟通交流。如果在课堂上很唐突地展示该学生的错误,让全班学生都来分析,该学生也许就会产生“全班同学都在批评我”、“我的数学学习很糟糕”等不良想法。这无疑是一种可怕的伤害。说到底,对错误的认识和处理,反映了教师的教学理念、智慧与艺术。为学生的错误准确把脉在实际教学中,教师能为学生的错误准确把脉吗?一次,我在二年级听“3位数减3位数”退位减法一课时,目睹了一个学生解题的全过程:347251,他先在得数十位上写9,再在个位上写6。97285,他先在得数十位上写9,接着在百位上写7,再在个位上写7,然后验算。先写79785的竖式,然后在横线下从百位起依次写下9、7、2。凝神看了一会儿竖式,把加数797改为897。紧接着,把前面减法竖式中的差797中百位上的7改为8。后来,教师评讲出示这几题正确算法时,他把差897改为887。670273,他先在得数百位上写3,再在个位上写7,然后在十位上写0。后来,教师评讲出示这几题正确算法时,他把得数307改为397。如果我没有从头至尾目击计算全过程,我会知道这位学生是怎样得到这样的得数吗?我能知晓“正确”背后所掩盖的错误吗?我能了解学生真实的思维过程吗?教师不能以自己的主观臆断屏蔽学生的真实想法。由此也可以预料,教师如果按照自己的主观诊断对学生的错误进行补救,也就不是“对症下药”,采取的措施也就很难取得预期的效果。辩证利用学生的错误我们总是希望学生在学习过程中少犯错误,这是正常的。但是如果期望一点错误也没有,那就不正常了。教师要以开放的心态接纳学生的错误,要善于用“慧眼”与“机智”,对错误善加利用。同时,对于学生的错误,教师也要防止走向另一极端,即对每一个学生的每一个错误都抓住不放。我们要对学生的错误信息进行分析、分类,系统地处理。如,学生的错误,是否错得具有典型性、集体代表性,倘若只是个别学生的个别错误,一般个别处理即可。犯错后的纠错,不是一蹴而就的过程。纠错,一般要由学生自己完成。教师要组织学生参与找错、议错、辨错,明确错误所在、明晰错误原因。错误,是否作为全班的学习资源,不要一概而论。有的错误,对班级中群体学生来说,是重要的学习资源,有的,却未必是。错误,对于犯错的个体学生来说,也是重要的资源。从学生成长来说,学习中所犯的错误是他们生命成长中重要的财富。我们要允许学生犯错,更要从错误中获得新的启迪。对学生的错误,要正确地解读;对学生的错误,要辩证合理地利用。不识学生的错,是教师的错;不用学生的错,也是教师的错;用不好学生的错,还是教师的错。(作者为江苏省南京师范大学附属小学校长,特级教师)学会感谢差错“小红的房间长4米,宽3.2米。她爸爸准备把南内墙刷上彩漆,这面墙上窗户的面积是2.8平方米。算一算,小红爸爸至少需要买多少千克彩漆?(每平方米大约用彩漆0.4千克。)”前不久,我上六年级总复习课“审题”时用上述这道题考查学生。学生独立思考、解答之后,我组织全班交流。大多数学生的答案聚焦在:43.2=12.8(平方米);12.8-2.8=10(平方米);100.4=4(千克)。师(放慢速度):这个答案肯定是对的吗?生1(充满自信):我认为答案不对!因为题目错了!很多学生都用迷惑的目光看着他。师(眼睛闪闪发亮):题目没错!题目没错!生1:因为题目要求为南墙刷上彩漆,这样就必须知道房间的高,而题目里没有告诉我们,所以我认为这道题没法做。房间长4米,宽3.2米指的是地面。地板上是没有窗户的。先有学生笑了,接着不少同学眼睛一亮,恍然大悟,然后是全班学生主动鼓掌。师(微笑):佩服,真佩服!我有三层佩服。一是刚才大家做试卷时,我巡视发现他只做了第一步,后面没有做,我猜他在认真审题了。二是在大家声音这么高、意见这么集中的时候,他有勇气站起来发表自己的想法,这是很不容易的。三是在老师肯定题目没错时,他敢于坚持自己的观点。好!大家为他鼓掌!师生热烈鼓掌。师:这使我想到了一个数学故事。“在茫茫的大海上有一艘船,这只船上装了75头牛,45头羊,请问船长今年多大了?”生齐笑。师:你们笑什么?生2:这好像与船长的年龄毫不相干。师:“毫不相干”,这个词用得好!可是,当年一位老师到全国各地去搞调查,很多同学这样解答:7545=120(岁)。有人想船长的年龄不可能这么大,于是用1202=60(岁)。也有人用:7545=30(岁)。总之90%以上的人都给出了答案,很少有人发现不能做。我们班同学都看出来了,佩服,为自己鼓掌!学生纷纷为自己鼓掌。师(指着南墙刷彩漆的题目):刚才错得真好!让我们明白了审题就是审题目中的数量关系,不仅要审已知量和已知量、已知量和未知量之间有什么关系,还要审它们之间有没有关系。学生们点点头,心满意足地笑了。在上述课例中,生1说“题目错了”,其实题目真的没错。对待学生的思维成果,不是着眼在对还是不对,而是应着眼于有价值还是没有价值,价值是大还是小,是现时价值还是长远价值。差错除了具有启发功能外,还具有刺激、教育、醒悟、陪衬、免疫等功能。需要教师练就一双“慧眼”,敏于捕捉,善于发现差错背后隐含的教育价值,引领学生从错误中求知,在错误中探究正像恩格斯所说:“最好的学习是从差错中学习。”一节课上,学生做题总是“对”、“对”、“对”、“对”、“对”那多单调,那多没劲!那还用上这节课干嘛?我猜想,学生看完题目,稍一分析,心中暗想:“要求重量,先求面积;要求彩漆面积,用南墙面积减去窗户面积;要求南墙面积,用长乘以宽。思路太熟悉了。哈哈哈,这道题送分数给我了!”但当他最后知道答案,也许就会体悟到:“胜利冲昏了头脑,就会功亏一篑。”这样的教学,是教书,更是在育人。育人的价值,往往是暗含的。教育者的意图越是隐藏,效果就越好。有人可能要说,学生也许并不会这样想。是的,学生可能不是这样的心路历程,但我们的教学应该提供这样的空间。表扬生1,是事先预设的。只要有学生敢于站起来说“不”,我就表扬。时间允许,我还可能讲讲世界著名音乐指挥家小泽征尔的故事。一次,小泽征尔去欧洲参加指挥家大赛。决赛时,他正全神贯注地按照评委会交给他的一张乐谱指挥着,突然发现乐曲中出现了不和谐的地方。开始,他以为是乐队演奏错了,就指挥乐队停下来重奏一次,但仍觉得不自然。这时,在场的作曲家和权威人士都郑重声明乐谱没问题,而是小泽征尔的错觉。面对几百名国际音乐大师,他不免对自己的判断产生了动摇,但考虑再三后,他坚信自己的判断是正确的,于是,大吼一声:“不!一定是乐谱错了!”喊声一落,评判台上立即为他报以热烈的掌声,祝贺他大赛夺魁。原来,这是评委们精心设计的圈套,以试探指挥家们在发现错误而权威人士又不承认的情况下,是否能够坚持自己的判断。独立思考、敢于批判是创新型人才的品质。这样看来,这道容易错答的题,不正是“培养学生创新精神和实践能力”的平台?让学生自然地出错,不是为了让学生尴尬,不是为了让学生自愧不如,从而心甘情愿地跟着教师匍匐前进,而是

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