电路分析 第9章 线性电路过渡过程中电流电压的计算.ppt

电路分析 主编吴安岚副主编智贵连编写组 吴安岚智贵连姬昌利李博森中国水利水电出版社2009 9 版 内容简介本教材理论推导从简 计算思路交待详细 概念述明来龙去脉 增加例题数量和难度档次 章节分 重计算 及 重概念 两类区别对待 编排讲究逐步引深的递进关系 联系工程实际 训练动手能力 尽力为后续课程铺垫 借助类比及对偶手法 语言朴实简练 图文印刷结合紧密 便于自学与记忆 便于节省理论教学时数 适用于应用型本科及高职高专电力类 自动化类 机电类 电器类 仪器仪表类 电子类及测控技术类专业 第9章线性电路过渡过程中电流电压的计算 9 1换路定律和初始条件的计算9 2一阶电路的零输入响应 仅由初始储能激励9 3一阶电路的零状态响应 仅由电源激励9 4一阶电路的全响应9 5线性动态电路的复频域分析 自然界凡是与能量有关的物理量发生变化 一般都需要有一个过程来完成这种变化 因为能量一般不可能跃变 即不可能突变 如火车的起动 如果能量跃变 那么能量随时间变化的速率为无穷大 即功率无穷大 就需要有一个无穷大的功率源来支持这种跃变 而自然界没有无穷大的功率源 联系到电路中 电感元件与电容元件都是储能元件 电感元件所储存的磁场能量随其电流变化 电容元件所储存的电场能量随其电压变化 既然能量一般不可能跃变 电感电流的改变 电容电压的改变也需要一个渐变过程 这个过程就称为电路的过渡过程 电感 电容元件既是储能元件 又称为动态元件 含有电感 电容的电路称为动态电路 只有动态电路中才会发生过渡过程 9 1换路定律和初始条件的计算 9 1 1过渡过程与时间的关系 电路从一种稳态 旧的稳态 变化到另一种稳态 新的稳态 的中间过程 过渡过程中电路的状态称为暂态 过渡过程 电感 电容储存的能量发生了变化 暂态产生的原因 暂态产生的必要条件 含有电感 电容的电路发生了换路 电路中电源的接入和切除 支路的接通和断开 元件参数的改变等动作统称为换路 换路 t 0 是换路前最后一瞬间 即旧的稳态结束时刻 t 0时发生换路 t 0 是换路后最初一瞬间 是过渡过程的开始时刻 t 时刻过渡过程结束 电路进入新的稳态 过渡过程与时间的关系 9 1 2动态电路的换路定律 电容元件 不能跃变 电感元件 不能跃变 1 储能 1 储能 2 若电压 则 2 若电流 则 换路定律 上式表明换路后一瞬间的电感电流值 电容电压值仍为旧的稳态值 能够在换路前后承上启下 可由换路前的等效电路计算出来 电路中的其它量 包括电阻上的电流电压 电感电压 电容电流 换路后都可能发生跃变 立即改变为另一个值 因为它们的跃变与电路储存的磁场能 电场能无关 因此电感电路的关键量是电感电流 电容电路的关键量是电容电压 9 1 3换路后瞬间t 0 时刻初始条件的计算 初始值 即t 0 时的电压 电流的值 计算初始值的步骤 1 画出换路前t 0 时刻旧稳态的等效电路 对于直流电路电感代以短路 电容代以开路 只需计算 根据换路定律计算独立初始值 2 画出换路后t 0 时刻的等效电路 应用替代定理将电感元件用值为的理想电流源替代 若 则代以开路 将电容元件用值为的理想电压源替代 若 则代以短路 根据电路定律计算 uR 0 iC 0 uL 0 等 P229 例9 1 解 1 画出t 0 时刻的等效电路 2 画出t 0 时刻的等效电路 P229 例9 2 求各电压电流初始值 解 1 求独立初始值 2 画出t 0 时刻的等效电路 P230 例9 3 求各支路电流和电感电压初始值 解 1 求独立初始值 2 求相关初始值 9 2一阶电路的零输入响应 仅由初始储能激励 纯电阻电路中没有电源就没有电流 电压响应 动态电路中若电感元件储有磁场能 电容元件储有电场能 那么动态电路即使没有电源 仅由电感 电容元件的初始储能也能维持一段时间的电流 电压响应 动态电路中电感 电容元件的伏安关系式都是导数关系 那么对动态电路所列写的KCL KVL方程都是微分方程 仅有一个动态元件 一个电感或一个电容 的电路方程只含一阶导数项 称为一阶电路 零输入响应 指外加电源为零 仅由电容元件换路 t 0 以前储有的电场能 或电感元件换路 t 0 以前储有的磁场能引起的电流 电压响应 9 2 1RC电路的零输入响应 电容放电过程 电路如图所示 换路后电容通过电阻R放电 随着放电的进行 电容电压逐渐下降 放电电流也逐渐减小 最后电路中的电压和电流均趋近于零 过渡过程结束 电路进入新的稳态 放电电流流过电阻时将电容储存的能量变成热能耗散 根据KVL可得 两元件的伏安关系为 代入上式 得 一阶线性常系数齐次微分方程 对应的特征方程为 特征根为 则微分方程的通解为 A为待定常数 将t 0时的电容电压初始值代入 则有 得待定常数 所以微分方程满足初始条件的定解为 放电电流的变化规律为 即RC放电电路的响应为 响应随时间变化的曲线如右图 可知 uC和i的表达式分别仅与两个要素有关 一个是uC和i的初始值 另一个是被称为时间常数的 值 9 2 2时间常数的意义与计算 计算 其大小仅取决于电路的结构和元件参数 反映了电路的固有特性 一个电路只有一个 值 意义 1 值的大小表征了一阶电路过渡过程进展的快慢 值越大 uC和i衰减越慢 过渡过程越长 这是因为电容量C越小 电容储存的初始能量越少 维持的时间就短 而R越小 i越大 电阻耗能越快 适当的选择R和C 改变电路的时间常数 可控制放电速度 2 值还是零输入响应下降为初始值的36 8 所需时间 并且零输入响应每经过一个 值的时间后都衰减为原有值的36 8 式中的R是换路后从电容两端来观察的等效电阻 uC随时间衰减的规律 累计起来t 5 时 认为uC已基本衰减为零 过渡过程结束 电路进入新的稳态 P 例9 5 求 和 解 电容电压的初始值为 时间常数为 电容电压 电流为 RC电路电容电压为关键量 电容电压求出后 可直接推出其它量 P 例9 6 试问断开后经过多长时间 电容器的电压衰减为36V安全电压 解 10kV是高压三相电路的线电压 星形连接时电容器两端电压为相电压 则电容电压的初始值为 时间常数为 电容电压为 电压衰减为36V时 有 为节省检修时间 实际操作中可在每相电容器两端并联一个适当大小的电阻R 进行放电 如R 1000 则等效电阻为 R R R 此时放电电流的初始值为 时间常数 为 电压衰减为36V所需的时间减少为 在检修具有大电容的设备时 停电后均需并联一个适当大小的电阻放电才能工作 以确保操作安全 9 2 3RL电路的零输入响应 电感续流过程 图示电路换路后电感将经电阻释放储存的能量 随着时间的延续 电感电流逐渐下降 电阻两端的电压也逐渐减小 最后电路中的电压和电流均趋近于零 过渡过程结束 电路进入新的稳态 电流流经电阻将电感储存的能量变成热能耗散 开关S断开后 根据KVL和各元件的伏安关系可得 一阶线性常系数齐次微分方程 对应的特征方程为 则微分方程的通解为 A为待定常数 即 将t 0时的电感电流初始值代入 则有 所以微分方程满足初始条件的定解为 电阻电压的变化规律为 响应随时间变化的曲线如右图 可知 iL和uL的表达式分别仅与两个要素有关 一个是iL和uL的初始值 另一个是时间常数 值 计算 的大小仅取决于电路的结构和元件参数 反映了电路的固有特性 一个电路只有一个 值 意义 1 值的大小表征了一阶电路过渡过程进展的快慢 值越大 uC和i衰减越慢 过渡过程越长 这是因为L越小 电感储存的初始能量越少 维持的时间就短 而R越大 越大 电阻耗能越快 2 值还是零输入响应下降为初始值的36 8 所需时间 RL电路的时间常数的计算及意义 式中的R是换路后从电感两端来观察的等效电阻 P 例9 7 试求换路后 和 解 计算电感电流初始值 计算相关初始值 计算时间常数 则 另一解法是 电路电感电流为关键量 电感电流求出之后 直接推出其它量 或 P 例9 8 求换路瞬间励磁绕组的电压以及电压下降至初始值的1 8 所需时间 解S1断开后 闭合的S2为励磁绕组构成续流通路 时间常数为 换路时电感电流的初始值 电感电流的变化规律为 励磁绕组的电压变化规律为 可见换路瞬间励磁绕组的电压由原来的350V跃变为 1400V Rm越大该瞬时高压值越大 当Rm 时 该瞬时高压 会破坏发电机的绝缘性能 Rm减小 有利于电感储存的磁场能量安全释放 但Rm也不宜过小 否则时间常数增大使过渡过程太长 不能使励磁绕组很快灭磁 Rm通常取励磁绕组电阻的4 5倍 求励磁绕组电压下降至初始值的1 8 所需时间 9 3一阶电路的零状态响应 仅由电源激励 动态电路的 状态 指电感电流与电容电压的值 零状态响应 指换路时电感 电容无初始储能的响应 电路中的电流 电压完全由外加激励电源引起 9 3 1RC电路在直流电源激励下的零状态响应 电容充电过程 图示电路电容原未充电 换路后电容从无电荷开始充电 t 0时由于电容电压不变 电源电压全部加在电阻上 使i由零跃变为最大值 随着充电的进行 uC uR和i 并逐渐衰减为零 过渡过程结束 电路进入新的稳态 换路后由KVL方程及两元件伏安关系得 一阶线性常系数非齐次微分方程 由数学知识可知 该非齐次微分方程的解为 对应的齐次方程的通解 某特定时刻的特解 选 则 充电过程中 电源提供的能量一部分被电阻消耗掉 一部分被电容转化为电场能存储起来 带入t 0时的初始条件 则微分方程的定解为 强制分量 是指该分量与输入的激励电源有相同的变化规律 自由分量 指该分量的变化规律与激励电源无关 均随时间按负指数规律衰减为零 衰减速度仅取决于与电路参数有关的时间常数值 稳态分量 指过渡过程结束后就稳定到这个分量值上 暂态分量 是指在过渡过程中暂时存在的分量 随着时间的延续 会衰减为零 强制分量 稳态分量 自由分量 暂态分量 零状态响应的波形如图所示 可见uC的表达式仅与两个要素有关 一个是uC的稳态值 另一个是时间常数 进一步可得充电电流 值是电容电压上升到新的稳态值的63 2 所需的时间 值越小 过渡过程越短 上升越快 如图所示 P 例9 9 求 和 解 电容电压新的稳态值为 时间常数 得电容电压为 电容电流为 9 3 2RL电路在直流电源激励下的零状态响应 电感电流建立过程 图示RL电路原处于零初始状态 换路后电感电流从零开始建立 t 0时由于电感电流为零 使电阻电压也为零 使uL则由零跃变为最大值US 随着时间的推移 iL和uR uL下降并逐渐衰减为零 过渡过程结束 电路进入新的稳态 电感电流建立过程中 电源提供的能量一部分被电阻消耗掉 一部分被电感转化为磁场能存储起来 换路后的KVL方程及两元件的伏安关系为 一阶线性常系数非齐次微分方程 同理 该非齐次微分方程的通解为 带入t 0时的初始条件 则微分方程的定解为 零状态响应的波形如图所示 可见iL的表达式仅与两个要素有关 一个是iL的稳态值 另一个是时间常数 进一步可得电感电压 P 例9 10 解 电感电流的新稳态值为 时间常数为 电感电流 电感电压 根据KVL得 另一种解法 先求出换路后 从电感元件的a b两端看去的戴维南等效电路 如图所示 其a b端的开路电压 等效电阻就是时间常数中的R 然后由上图可直接得到电感电流 9 3 3RL电路在正弦电压源激励下的零状态响应 图示RL电路原处于零初始状态 换路后由正弦电压源激励 电感电流从零开始建立 电路微分方程是 解的形式为 带入t 0时的初始条件 确定待定常数A 得 所以方程的定解为 与正弦激励电压源有相同的变化规律 可按第3章的相量法用换路后的电路计算 iL 也是电路进入新的稳态后的电流值 随时间变化的规律是稳定的 因此也可称为稳态分量 是阻抗角 是电流滞后激励电压的相位 强制分量iL 是RL电路阻抗的模值 自由分量iL 变化规律由负指数函数决定 随时间延续衰减为零 因此也称为暂态分量 该指数前面的系数是个常数 其大小与之间的差值有关 有以下几种特殊情况 开关S闭合时 若 则 即暂态分量为零 电路不存在过渡过程 S闭合立即进入稳态 电感电流 开关S闭合时 若 则 暂态分量为负值最大 时将出现接近正常振幅两倍的过电流 波形如下页左图所示 开关S闭合时 若 则 暂态分量为正值最大 时也将出现接近正常振幅两倍的过电流 波形如上面右图所示 许多电器设备在开关换路的过渡过程中 会出现类似的过电流或过电压现象 因此在设计 选择设备时 设备能够承受的电流 电压值应该适当选大一些 9 4一阶电路的全响应 动态电路换路时 最一般的情况是既有外加电源激励 电容 电感上又储存有初始能量 uC 0 iL 0 不为零 这时引起的电路响应称为全响应 9 4 1直流电源激励下一阶电路的全响应 三要素法 图示RC电路中既有电源 uC 0 又不为零 根据线性电路适用的叠加定律 该图可分解为 b c 两图 b 图无电源 但不为零 出现零输入响应 c 图有电源 但为零 出现零状态响应 电容电压的全响应为 将全响应分解为零输入响应和零状态响应 反映了响应与激励之间的因果关系 一 全响应等于 零输入响应 与 零状态响应 之和 二 全响应等于 稳态分量 强制分量 与 暂态分量 自由分量 之和 将全响应分解为稳态分量和暂态分量反映了过渡过程中的阶段性特点 时的值 称为稳态值 时的值 称为初始值 三 直流激励下一阶电路全响应的三要素表达式 观察上面两式 确定电容电压只需三个要素 初始值 新的稳态值及时间常数 值 更一般的情况 设所求电流 电压响应为f t 则有 初始值 将 将 稳态值 时间常数 RC电路的时间常数 RL电路的时间常数 上式可用于计算直流激励下一阶动态电路中所有元件及支路的电流电压响应 也可以用于计算零输入响应与零状态响应 三要素表达式 三要素 讨论 f t 在过渡过程中的变化可能有以下三种情况 当时 暂态分量为零 无过渡过程 当时 f t 在换路后从f 0 增长至f 波形是上升的负指数曲线 当时 f t 在换路后从f 0 衰减至f 波形是下降的负指数曲线 P 例9 11 解 1 根据t 0 时的等效电路计算独立初始值电感电流 或电容电压 2 根据t 0 时的等效电路计算各相关初始值 3 根据t 时的等效电路计算各稳态值 4 计算时间常数 必须用换路后的电路 5 将三个要素代入三要素法公式得 换路后的电流及电压的波形如下图 P 例9 12 解 1 电路电容电压为关键量 先用三要素法求电容电压 再根据电路定律来推算电流 根据t 0 时的等效电路计算电容电压初始值 根据t 时的等效电路计算电容电压稳态值 计算时间常数 将三个要素代入三要素法公式得 由KVL得 也可以直接用三要素法计算电流 2 零输入响应 零状态响应 稳态分量 暂态分量 9 4 2正弦电源激励下一阶电路的全响应 正弦电源激励时 电路的全响应仍等于稳态分量与暂态分量之和 其中稳态分量是一个正弦函数 可按第3章的相量法用换路后的电路计算 自由分量则按负指数规律变化 电路的全响应也仍等于零输入响应与零状态响应之和 以RL电路为例 由前面学过的知识可知 电路的零输入响应为 电路在正弦激励下的零状态响应 整理成三要素表达式 得 零输入响应与零状态响应相加后得到全响应为 或写成 P 例9 14 解 用三要素法求解 1 根据t 0 时的等效电路计算电感电流初始值 2 根据t 时的等效电路用相量法计算电感电流稳态值 3 代入三要素表达式 令暂态响应为零 即 即 得 则 从而稳态分量在t 0时的值为 9 4 3电子技术中充放电电路举例 实例1 电容用于对半波整流电路进行滤波 电路如图 经变压器降压 二极管半波整流后 u2和u0的波形分别如下图 可见 二极管输出的电压是脉动性很大的直流 为了使脉动直流波形更平直 需并联电容进行滤波 u2 0时 u2给负载供电的同时 给电容充电 充电时间常数 RdC很小 电容电压u0 立即充至的正峰值 u2从正峰值开始减小时 二极管截止相当于断开 电容通过负载电阻RL放电 放电时间常数 RLC很大 放电很慢 使u0 下降不多 结果改善了负载电压的波动性 实例2 门电路 驱动电容性负载 门电路的输出端与端点1相连时 正电源VDD通过RP向电容CL充电 输出端的电压下降较快 门电路的输出端与端点2相连时 CL通过Ron对地放电 输出端电压上升较慢 影响开关动作速度 因此当要求 门电路 的开关速度较快时 应尽量避免驱动大的电容性负载 9 5线性动态电路的复频域分析 3 激励电源不一定是简单的直流或正弦交流 出现了类似及变化规律的电源 当有以下情况出现时 电路过渡过程的计算将更加复杂 这时必须借助新的数学工具对电路进行计算 1 当电路中含多个动态元件时 所列微分方程和解答都比较复杂 2 电感电流或电容电压发生跃变的情况 要借助的数学工具称为 拉普拉斯变换 简称 拉氏变换 包括拉普拉斯正变换与反变换 9 5 1拉普拉斯正变换与反变换的定义及拉氏变换表 可见拉普拉斯正变换将一个以时间t为自变量的时域函数 变换为以复频率S为自变量的频域函数 在时间领域 区间的函数f t 其拉普拉斯正变换的定义为 原函数 象函数 复频率 其中s j 为复数 其实部 为足够大的正数 具有频率的量纲 称为复频率 简记为F s f t 可见拉普拉斯反变换则是将以复频率S为自变量的复频域函数反过来重新变换成以时间t为自变量的时域函数 拉普拉斯反变换的定义为 简记为 f t 1 F s 实用中只需查对拉氏变换表所列公式即可完成反变换 P 例9 15 解 单位阶跃函数的定义为 是奇异函数 其象函数为 一般阶跃函数定义为 k为跃变量 可正可负 如阶跃函数 其波形图和象函数分别为 F s 2 t 2 S 利用阶跃函数可在电路中模拟开关的动作 如一个100V直流电压源t 0时开始作用于电路 可将该电压源表示为100 t P 例9 16 解 单位冲激函数也是一种奇异函数 定义为 单位冲激函数定义中的定积分表示该冲激波形所占面积 此面积是冲激波形的强度 冲激强度也可以为其它数值或为负值 其象函数为 如右图所示的冲激函数的冲激强度就为 3 其象函数为 冲激强度是冲激波形所占面积 其单位是纵轴与横轴变量单位的乘积 因此 冲激函数用于表示容电流时 其冲激强度的单位应是 安培 秒 库仑 C 冲激函数用于表示瞬间无穷大的电感电压时 其冲激强度的单位应是 伏特 秒 韦伯 Wb 单位阶跃函数与单位冲激函数之间的关系是 对时间积分等于 反之对时间求导等于 即 表9 1拉氏变换表 用拉普拉斯变换对线性电路的过渡过程进行计算 称为 运算法 对应的等效电路称为 运算等效电路 或 运算电路 9 5 2线性元件的运算等效电路 一 电阻元件在复频域里的电流 电压关系及运算电路 时域 复频域 伏安关系 电路模型 两者在形式上基本吻合 时域 复频域 伏安关系 电路模型 二 电感元件在复频域里的电流 电压关系及运算电路 注意 附加电压源的参考正极在电感电流的前进方向上 附加电压源 L的复频域阻抗 若电感电流初始值i 0 0 则电感元件的复频域运算电路无附加电压源 三 电容元件在复频域里的电流 电压关系及运算电路 时域 复频域 伏安关系 电路模型 若电容电压初始值uC 0 0 则电容元件的复频域运算电路无附加电压源 或 附加电压源 C的复频域阻抗 注意 附加电压源的参考正极与电容电压本身的参考正极一致 四 基尔霍夫定律的复频域形式 1 KCL 基尔霍夫电流定律 对电路的任一节点 有 对上式两边进行拉氏变换 得 即电路中连接在任一节点的各支路中电流的象函数的代数和为零 2 KVL 基尔霍夫电压定律 对电路的任一回路 有 对上式两边进行拉氏变换 得 即电路中任一回路的各支路电压的象函数的代数和为零 五 欧姆定律的复频域形式 设t 0 时 RLC串联电路处于零状态 由KVL得 i 0 uC 0 0 RLC串联电路的复频域阻抗 时域模型 复频域模型 9 5 3用拉氏变换计算过渡过程中的电流 电压实例 运算法 画换路后运算电路 在复频域内计算 将计算结果反变换得到时间函数 1 画换路后运算电路时应注意 经拉氏正变换后 电流的单位为 A S C 库仑 电压的单位为 V S Wb 韦伯 阻抗的单位为 欧姆 为了方便 习惯上用运算法对过渡过程进行计算时 各量都换算到国际主单位后 运算电路图及象函数的算式中不带单位 拉氏反变换变成时域函数时再注明单位 2 在复频域内计算时 可应用电阻电路分析的各种方法 象函数一般是一个分式 为了进行能够利用表9 1中的公式进行拉氏反变换 先要对象函数进行整理 方法是 象函数应该化简为简单分式 即分子分母