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周期现象与函数的周期性 陕西汉中市405学校 侯有岐 723312周期性是三角函数的重要性质,同时也是高考的热点.下面就函数周期的概念及其应用例析如下,供同学们参考.一、周期函数的概念1. 概念一般地,对于函数,如果存在非零实数,任取定义域内的任意一个值,都有,我们就把称为周期函数, 称为这个函数的周期.对于一个周期函数,如果在所有的周期中,存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫作函数的最小正周期.2. 注意点(1)正确理解周期函数的定义.定义式对定义域中的每一个值都成立,即定义域内任意都使定义式成立,而不是“一个”或“某些个”;另一方面,判断一个函数不是周期函数,只需举一个反例即可.(2)周期函数的定义域必须是无限集.由定义知,周期函数必须对其定义域内的每一个都有成立,从而也必须在其定义域内,因此,周期函数的定义域必须是无限集.若一个函数的定义域是有限集,则它一定不是周期函数.(3)周期函数不一定都有最小正周期.一个函数是周期函数,但它不一定有最小正周期.例如常函数,对任一非零实数,对一切恒成立,故它为周期函数,但无最小正周期,由于正数中不存在最小的数.(4)设是的周期,那么也一定是的周期,定义规定了为一个实常数,而不是一个变数;同时也规定了的取值范围,只要求不为零,不要误认为一定是的倍数.(5)与三角函数复合的函数不都是周期函数.例如不是周期函数(如右图示即知).二、三角函数最小正周期的常用求法1. 定义法直接利用周期函数的定义求出最小正周期.例1 求函数 的一个周期.解: 因为=, 所以的一个周期是.点评: 本题应用周期函数的定义求函数的周期,这是求周期的基本方法之一,同学们要掌握.2、公式法对于函数或的最小正周期可直接用公式求得.例2 求函数 的最小正周期.解: 由公式 ,得函数的最小正周期为 .点评: 探求三角函数的周期,一般来说用公式法,即首先将函数式化为或的形式,再利用求得.3、数形结合法利用函数的图象可直接求出函数的最小正周期.例3 求函数 的最小正周期. 解: 函数 的图象如右图所示: 由图易知 的最小正周期 为 .点评: 对于一些含有绝对值的三角函数的周期问题,可借助函数图象解决.4、最小公倍数法对于函数的最小正周期可用最小公倍数法求得.例4 求函数 的最小正周期.解: 设 的最小正周期分别为,则由公式法得. 所以存在一个最小的正数,使得. 故函数 的最小正周期为.点评: 设与是定义在公共定义域上的两个函数, 分别是他们的最小正周期.如果能找到一个最小的正数,使,，则函数的最小正周期为,就是的最小公倍数.周期函数是考试中考查的热点,要判断是周期函数,应正确理解周期函数的定
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