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页面加载中1数学史上的三次危机及如何化解第一次数学危机 历史背景毕达哥拉斯 （约公元前572年公元前492年）是一位古希腊的数学家及哲学家，在那个年代，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比分数，简单而言，他们所认识的只是有理数。 有趣的有理数 当时的人只有有理数的观念是绝不奇怪的。对于整数，在数在线我们可以知道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，因此令人很容易以为有理数可以完全填满整条数线，有理数就是等于一切数，可惜这个想法是错的，因为 勾股定理（毕氏铁拳） 伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理（其实中国于公元前一千一百年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为1的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。 新的一页 原来第一次数学危机是无理数的发现，不过它还说出了有理数的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有罅隙，无疑这些都是可被证明的事实，是不能否定的。面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把无理数引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备第二次数学危机 因为如何找出每一瞬间的速率呢？ 无坚不摧微积分 要解决每一瞬间的速率（以下称瞬时速度）的问题，伟大的数学家和物理学家牛顿（16431727），发现了一件无坚不摧的武器微积分，其中微分便正好可以计算出物体的瞬时速度。这个发现震惊了整个数学界和物理学界，而且除了瞬时速度，微积分更在不同方面有广泛的应用，并得到了瞬速的发展。不过，好境不常 既不是零又不是非零？ 因为微积分必须要考虑所谓无穷小量的问题，所谓无穷小量是指一个非零而又极接近零的量，而所谓极接近零是指这个量与零之间不容许有任何空间和距离，换句话说，无穷小量是一个既不是零又不是非零的量，那么，无穷小量是零吗？如果解不到这个问题，所谓无坚不摧的微积分，便无立足之地，一切由微积分所得出来的完美的数学和物理学上的结果也付诸流水，所以数学史上称之为第二次数学危机。 化危为机 数学是讲究严谨的学科，数学家必不逃避问题，面对困难，接受挑战，是数学家的不朽格言。另一位伟大的数学家柯西（17891857），新建立微积分学的基础数学分析。数学分析是透过一套严格的数学语言语言来说明甚么是变量、无穷小和极限等的概念和定义，解决了甚么是既不是零又不是非零的问题，而这次的危机亦安然渡过，并为数学的大家庭增添了一位成员数学分析，也提醒了数学家们要继续要求严格，不可松懈。第三次数学危机一个有趣的故事 在村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢？ 数学和哲学界的巨匠罗素 以上的故事就是著名的罗素悖论。罗素（18721970）是英国著名的哲学家和数学家，曾获得诺贝尔文学奖金。 在较高等的数学里，我们会把整个数学的基础纳入集合论之中，换句话说，集合论便是数学大厦的基石，所以当集合论中出现矛盾时，建基于此之上的数学大厦也会站不住脚，而罗素的悖论却是向着这个基石作出致命的一击，这个自己既要属于自己又同时不属于自己的矛盾是在集合论中的矛盾，也就是在数学基础中的矛盾，只要矛盾一日存在，数学大厦也不可稳固，更会在倒塌的危机，这个也是数学的第三次危机。 罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也是危机的解决者，罗素在他的著作之中提出了层次的理论以解决这个矛盾，这样不单只解决了罗素的悖论，令数学从回到严紧和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支数学基础2 15位数学家 伯努力 高斯 黎曼 诺伊曼 卡拉西奥多礼 牛顿 拉普拉 维纳 泰勒斯 麦克斯韦 诺特（最最伟大的女数学家，抽象代数之母） 开普勒 柯尔莫戈洛夫 阿贝尔 拉格朗日 赫尔得 泊松 霍普夫毕达哥拉斯 费马 克罗内克 泰勒 贝塞尔 欧几里德 阿斯克里 刘徽.刘徽 (生于公元250年左右)，三国后期魏国人，是中国古代杰出的数学家，也是中国古典数学理论的奠基者之一其生卒年月、生平事迹，史书上很少记载。据有限史料推测，他是魏晋时代山东临淄或淄川一带人。终生未做官。1在数系理论方面 用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中，他从开方不尽的意义出发，论述了无理方根的存在，并引进了新数，创造了用十进分数无限逼近无理根的方法。 在筹式演算理论方面 先给率以比较明确的定义，又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础，建立了数与式运算的统一的理论基础，他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。 在勾股理论方面 逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术，通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析，形成了中国特色的相似理论。 在面积与体积理论方面 用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉。 欧几里德(Euclid of Alexandria)，希腊数学家。约生于公元前330年，约殁于公元前260年。 欧几里德是古代希腊最负盛名、最有影响的数学家之一，他是亚历山大里亚学派的成员。欧几里德写过一本书，书名为几何原本(Elements)共有13卷。这一著作对于几何学、数学和科学的未来发展，对于西方人的整个思维方法都有很大的影响。几何原本的主要对象是几何学，但它还处理了数论、无理数理论等其他课题。欧几里德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本命题，一切定理都由此演绎而出。在这种演绎推理中，每个证明必须以公理为前提，或者以被证明了的定理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多2000年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例。几何原本是古希腊数学发展的顶峰。高斯（1777,4,30-1855,2,23）是德国18世纪末到十九世纪中叶的伟大数学家天文学家核物理学家，被誉为历史上最有才华的数学家之一 。在数学上，高斯的贡献遍及纯粹数学和应用数学的各个领域。特别是在数论和几何学上的创新，对后世的数学影响有深刻的影响。由于他非凡的数学才华和伟大成就，人们把他和阿基米德，牛顿并列，同享盛誉，并成他为“数学王子”。费马（16011665费马是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙德洛马涅。费马独立于笛卡儿发现了解析几何的基本原理。 1629年以前，费马便着手重写公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的平面轨迹一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文平面与立体轨迹引论。 费马于1636年与当时的大数学家梅森、罗贝瓦尔开始通信，对自己的数学工作略有言及。但是平面与立体轨迹引论的出版是在费马去世14年以后的事，因而1679年以前，很少有人了解到费马的工作，而现在看来，费马的工作却是开创性的。 3中国剩余定理在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百零五便得知。”。“物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是： N=702+213+1522105。 这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，孙子算经给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，孙子算经术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么孙子算经相当于给出公式 N=70R1+21R2+15R3P105（p是整数）。 孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的孙子歌中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。孙子算经没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性： 也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=357=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、an相除得余数R1、R2、Rn，即 NRi（mod ai）（i=1、2、n）， 只需求出一组数K，使满足 1（mod ai）（i=1、2、n）， 那么适合已给一次同余组的最小正数解是 （P是整数，M=a1a2an），4斐波那契数列通项公式 如果设F(n）为该数列的第n项（nN+）。那么这句话可以写成如下形式： F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n2）， 显然这是一个线性递推数列。 兔子数列1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144性质1 任意连续十个数之和等于第七个数的11倍性质2 任意连续四个数首末两数之积与中间两数之积的差是1性质3 任意连续三个数首末两数之积与中间的平方的差是-1或1数学的特点 高度抽象性数学的抽象撇开了对象的具体内容，而仅仅保留数量关系和空间形式。 严密逻辑性数学的研究对象是具有高度抽象性的数量关系和空间形式，是一种形式化的思想材料。 应用广泛性数学作为一种工具或手段，几乎在任何一门科学技术及一切社会领域中都被运用。各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。数学的发展阶段 1.数学的起源时期 建立自然数的概念；认识简单的几何图形；算数与几何尚未分开。数学源于四个 河谷文明 地域2.初等数学时期 这个时期也成常量数学时期，这期间逐渐形成了初等的主要分支：算数、何、代数、三角。这时期的基本成果，构成现在中学数学的主要内容。3.近代数学时期 经济背景：家庭手工业作坊，工厂手工业，机器大工业：贸易及殖民地，海业空前发展。那么这样，由于经济扩张的需要，对运动和变化的研究成了自然科学的中心， 变量、函数 4.现代数学时期 这一时期虽然不到200年的时间，内容却非常丰富，远远超过了过去所有数学的总和淡谈生活中对称美美的线条和其他一切美的形体都必须有对称的形式。 -（古希腊）毕达哥拉斯以对称美为中心，以数学为载体，以生活为研究对象。通过本小组成员的不断努力，我们在生活的各个方面均发现了对称美的存在。所以说生活中处处有美的踪迹，只要你善于发现就可以在平淡的世界中发掘出令人憧憬的美。或者说，正是由于这些对称美，才勾勒出我们五彩缤纷、充满激情与想象的完美世界。对称是指图形或物体相对某个点、直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应的关系。相对我们而言对称美在生活中早已不是新鲜事物了。它是无处不在，无处不有的。对称的物体我们在数学课上也有一定程度上的接触。但是，我们仍然存在迷茫。对称，它是如何成为我门日常生活中的一种美？生活中到底有多少美被我们所忽略？有多少美具有爆发力，震撼着我们的生活？以数学为载体，开始研究“生活中的对称美”。 对称美的内涵 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切美的形体都必须有对称的形式。”可能在我们睁开第一眼的时候，我们就已经发现对称美了。我们在婴儿时代所钟爱的五颜六色的玩具，无不显示对称美的张力。我们的孩童时代，开始学会感知的同时，我们相信，我们第一次欣赏的真正意义上的美，就是潜意识里认识的简单的对称美。对称美赋予了世界更加美丽的事物，我们生活在对称美的世界里，尽情享受着美的熏陶。而人类对对称美也有很深刻的认识和研究。 对称美的昨天 通过研究我们发现古代中国对对称美这一区域的研究是令人叹为观止的。例如，中国建筑的瑰宝-紫禁城。紫禁城是我国古代的一项伟大的创举，它充分展示了中国古代人民的智慧，更体现了中国古人审美观的博大精深。故宫这一建筑群由于建造者们按照礼仪的规定，以中轴对称的方式将所有建筑整齐排开，这种总体布局和建筑造型的统一处理，使人们体验到一种和谐的整体美、对称美。在等级制度深严的封建社会里对称不仅作为一种美的存在，更是君尊民卑思想的体现。对中国古代建筑的研究，让小组成员意识到对称美的一种历史内涵。 对称美体现了中国古代对美的追求，而现代生活犹是如此。 对称美的今天 现代人们的生活，因为有了对称美才变得富有激情。当我们走在大街小巷，看着这些摩天大楼，一砖一瓦依据对称这一性质构成我们离不开的生命据点。看着路上的川流不息，我们在车上读懂了对称美。那一花一草更是彰显了大自然对对称美的喜欢。还有桥梁、立交桥等许许多多的现代工具，家里用的家用电器，路上的广告牌等凝固建筑，你敢说它们与对称美毫无联系吗？当然，这仅仅是我们的泛泛而谈。但，无可否认，对称美的事物时时刻刻影响着我们的现代生