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第一节聚点 内点 边界点 第二章n维空间中的点集 度量空间 定义 设X为一非空集合 d X X R为一映射 且满足 d x y 0 d x y 0当且仅当x y 正定性 d x y d y x 对称性 则称 X d 为度量空间 d x y d x z d z y 三角不等式 例 C a b 空间 C a b 表示闭区间 a b 上实值连续函数全体 其中 欧氏空间 Rn d 其中 离散空间 X d 其中 欧氏空间中各类点的定义 点P0的 邻域 P0为E的接触点 P0为E的聚点 P0为E的孤立点 记为E的闭包 接触点全体 记为E的导集 聚点全体 欧氏空间中各类点的定义 P0为Ec的内点 P0为E的内点 P0为E的外点 P0为E的边界点 注 接触点 聚点 边界点不一定属于E 内点 孤立点一定属于E 例 1 令E Q 则 2 令E 1 1 2 1 3 1 k 则对一切1 k k 1 2 3 均为E的孤立点 接触点 聚点表示它与集合紧挨内点表示它周围的点都在集合内 由定义可知 例1设p0是E的聚点 证明p0的任意邻域内至少含有无穷多属于E而异于p0的点 证明 由条件知 这与 矛盾 所以为无限集 例2 E中的孤立点集或为有限集或为可数集 这与 式矛盾 所以是一簇两两不交的开区间 从而A至多可数 证明 设A为孤立点集 由孤立点的定义知 聚点的等价描述 证明 显然 下证 定义 称点列 pn 收敛于p0 记为 设p0是E的聚点 证明存在E中的互异的点所成的点列 pn使 则上述取出的点列Pn是互异点列 且 证明 由聚点的定义知 P0为E的接触点 P0为E的聚点 注 聚点的等价条件的证明中 1 n是为了保证收敛 而d pn 1 p0 是为了保证点列两两互异 但证明接触点时 无法保证d pn 1 p0 不为0 所以不能保证点列两两互异 p0为E的接触点的充要条件为存在E中点列 pn 使得 p0是E的聚点的充要条件为存在E中的互异的点所成的点列 pn 使得 证明 定理4 Bolzano Weierstrass 下证P是E的一个聚点 注
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