2010年大学物理竞赛试题答案及评分标准-单题.pdf

2010201020102010 年年 拓普杯拓普杯 天津市大学生物理竞赛天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准参考答案及评分标准 一 请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲 答 长度 m 2 分 质量 kg 2 分 时间 s 2 分 电流 A 1 分 热力学温度 K 1 分 发光强度 cd 1 分 物质的量 mol 1 分 二 一列静止长度为 600 米的超快速火车通过一个封闭式的火车站 据站长讲车站全长为 450 米 火车通过时正好装进车站 即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好 在出口处 求 1 火车的速率是多少 2 对火车上的乘务员来说 他观测到的车站 长度是多少 解 1 2 0 2 1 V LL C 4 分 2 2 0 7 1 4 L VC L 2 分 2 2 2 1 V LL C 2 分 337 5m 2 分 三 航天英雄乘坐的神州六号舱容积为 9 0 立方米 在标准状态下 求 1 舱内空气的质 量是多少 2 舱内氮气的分压是多少 3 在正常照度下 人眼瞳孔直径为 3 0mm 在可见光中眼最敏感的波长 550nm 若晴好白天飞船位于长城正上方 350 公里处 设长城 宽度 5 0 米 航天英雄能直接看清长城吗 按质量百分比计 氮气 76 氧气 23 氩 气 1 其它气体可略 它们的分子量分别为 28 32 40 解 标准状态 气化 P0 1atm 气温为 0 0c 空气平均 mol 质量 3 109 28 千克 摩尔 1 内质量 3 3 0 V9 10 M28 9 1011 6 V22 4 千克 3 分 2 由气体状态方程可得 RT M V 0 P2 分 RT M VP 2 2 2 N N N 1 分 0 7844 28 28 9 0 76 M M P P 2 22 N N 0 N atm0 78440 7844PP 0N2 1 分 3 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为 5 1 222 2 10rad D 2 分 可分辨最小间距 77102 2350000 5 y L 米 1 分 看不到长城 四 将质量相同 温度分别为 T1 T2的两杯水在等压下绝热地混合 试问 1 此系统达 到最后状态 计算此过程的熵变 2 分析判断熵是增加 减少 还是未变 要有推算过 程并对结论说明理由 设水的摩尔等压热容量为 Cp 每杯水的量为 摩尔 解 1 两杯水构成一个孤立系统 设想第一杯水依次与温度为TTT 11 TT 2 1 2 21 TT 的热源接触 设想第一杯水依次与温度为TTT 22 TT 2 2 2 21 TT 的热源接触 初态 终态 设摩尔等压热容量为 P C 每杯水为 mol p p dQ C ndT n 则 pp dQC dT 3 分 总的熵变应等于两杯水熵变之和 对第一杯水熵变 1212 11 T 22 12 1 1 Sln 2 TTT P P TT C dTTTdQ C TTT 1 分 对第二杯水熵变 1212 22 T 22 12 2 2 ln 2 TTT P P TT C dTTTdQ SC TTT 1 分 总熵变为 2 12 1212 12P 121 2 SSClnlnln 224 P TTTTTT SC TTTT 1 分 2 由 22 121 2 1 2 T2 Sln 4 P TTT C TT 21 2 2 2 121 2T TTTTT 22 121 21 21 2 P 1 21 2 T222 SlnC ln0 44 P TTTTTTT C TTTT 2 分 即0 S 此过程熵增加 2 分 水在等压绝热的混合过程 系统变化时自发宏观过程 总是向熵增加的方向进行 21 pTpT 2 2 2121 p TT p TT 五 在两正交偏振片 M N 之间 放置一厚度为 0 5mm 的石英晶片 ne主 主 1 5534 no 1 5443 其光轴 Z 与 M N 之间夹角均为 450 垂直入射到 M 的 自然光的波长为 0 5 m 设所有元件对光没有散射和吸 收 问 1 在偏振片 N 后能看见多少条等厚干涉条纹 2 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状 其 劈背厚度 a 0 5mm 光轴不变 则在偏振片 N 后 A 处 对应于劈尖最顶端处 观测到的光强度为多少 解 这是一个劈尖干涉的情况 M 的投射光为线偏光 设光 强为 m I 它振动的方向与晶轴夹角 45 故晶体出射光 强 mme III 2 1 45cos2 mmo III 2 1 45sin 2 此时 o e 光 在劈背 光程差 2 oe d nn 主 o e 光出射后的光强 meeN III 4 1 45cos2 mooN III 4 1 45cos2 eN I与 oN I又有附加光程 在 N 后看劈背出来 eN I oN I的相位差 2k 1 k 0 1 2 3 暗纹 2 oe d nn 主 5 分 2k k 0 1 2 3 明纹 若是明纹 3 6 10 5 101 1 5534 1 5443 9 6 20 5 102 eo d knn 2 分 可看到 10 条条纹 2 在劈尖的最顶端 A 处 其 d 0mm 则 为暗纹 2 分 则其光强0I 1 分 图 1 a NM A 六 空气折射率 n 约为 1 0003 用下列给定装置 一台迈克尔逊干涉仪 扩展钠光灯面光源 平均波长为 两个完全相同的长度为 L 的玻璃管 侧面带有阀门都是打开的 其内为 一个大气压的空气 一台高精度真空泵及真空管 阀等配件 若干个可升降光学支架 设计 一个可行方案 要求 1 画出实验设计光路图 2 简略写出主要操作步骤 3 推算出 空气折射率 n 的数学表达式 解 3 分 4 分 实验步骤 1 打开钠光灯电源开关 调节光强 并水平照射到干涉仪的分光板 G1 上 2 调整光束与 G1 成 45 度 3 调整定臂光路 发现从定镜 M2 反射到钠光入射孔附件的光斑有四个 其中光强最 强的那个光斑就是要调整的光斑 4 反复调整到两个臂上的反射光斑都应进入钠灯反射孔 且在毛玻璃屏上的两组光斑 重合 5 用扩展钠光灯 按上诉步骤反复调节 直到毛玻璃屏上出现清晰的等倾干涉条纹 再在一臂光路中放入真空管 6 调换另一个玻璃管 观察现象 记录数据 并画出表格 绘出 N 与 P 的关系变化曲线 3 分 数学表达式 空气折射率与其密度成正比 0 0 1 1 n n 0 n0是空气在热力学标准状态下的密度和折射率 n对应于任意温度和压强 下的密度和折射率 根据理想气体状态方程有 0 pT 0 P0T n 1 n0 1 如果温度不变 1 0 0 0 Tpn T pn 其中 pn 为压强变化引起的 折射率变化 因为 1 0 tT T 其中 为相对压强系数 所以有 1 1 0 0 pn pn 由于折射率的变化 引起干涉仪两束光路光程差的变化 NnL 2 其中 N 为相应条纹干涉的变化数 为光源的波长 所以 2 1 1 0 0 pNLt pn n0为空气折射率 七 在光滑水平桌面上 有一长为 L 质量为 m 的匀质金属棒 绕一端在桌面上旋转 棒的 另一端在半径为 L 的光滑金属圆环上滑动 接触良好 旋转中心的一端与圆环之间连接一 电阻 R 不影响棒转动 若在垂直桌面加一均匀磁场 B 当 t 0 起始角 0 处 金属棒获 得初角速度为 0 求 1 任意时刻 t 金属棒的角速度 2 金属棒停下来时转过的角 度 其它电阻 摩擦力不计 解 1 某时刻大 棒的角速度为 此时 棒切割磁力线获得电动势 2 1 B L 2 棒中电流 2 B L I R2R 2 分 棒中 r r dr 所受安培力为 dFIBdr dr 所受的磁力矩 MdIBrdr 合力矩 24 2 00 1 24 LL B L MdMIBrdrIBL R 2 分 2 24 1 3 1 0 43 d MJJmL dt B Ldd mL Rdtdt 由力学转动方程 转动惯量 0 22 22 22 0 3B 4 0 B 4 B 4 2 t L t Rm dL dt Rm dL dt Rm e 分量变量 积分 分 22 3B 4 0 00 0 22 2 2 dt 4 2 3 L t Rm d ddt dt de Rm B L 分 分 八 粒子在无限深方势阱 a 2 a 2 内作一维运动的波函数为 a xn A n cos n 1 2 3 求 1 归一化常数 A 2 粒子的零点能 3 第一激发态 粒子在 a 8 a 2 间出现的几率 4 粒子运动的坐标不确定度 2 2 xxx x为位移平均值 2 x 为位移平方的平均值 由不确定关系 估算在基态时相应的动量不确定度p 不小于多少 解 1 由归一化条件 2 2 2 1 a n a dx 1 分 得 2 2 2222 2 2 2 1cos cos1 22 aa aa n x na a AxdxAdxA a 2 Aa 1 分 所以 归一化的波函数为 2 cos1 2 3 n n ax n a 2 零点能即基态能 这是1n 可由 111 HE 1 分 即 2222 111 22 2 cos 22 axE m xam a 222 1 22 28 h E m ama 1 分 3 第二激发态2n 波函数为 2 2 2 cosax a 1 分 2 2 2 8 a a dx 1 分 2 2 8 231 2 cos 0 296 84 a a ax dx a 1 分 4 基态下 2 2 2 2 1 2 2 2 cos 0 aa aa xxdxxaxdx a 1 分 22 2 2 2 2222 1 2 2 2 2 cos 122 aa aa aa xxdxxxdx aa 1 分 222 2 11 122 xxxxa 由不确定关系 2 xp 2 22 6 6 p a p 不小于 2 22 6 6 a 1 分 九 有一不带自由电荷铁电体 去掉外电场仍然保持极化状态的电介质 长圆筒 其长度 为 L 内外半径为 a b 极化强度矢量 p p p p kr r r r r2 k 为常数 介质内部无极化电荷 相对介 电常数为 r 相对磁导率为 r 求 1 圆筒内外的电场强度 E E E E 电位移矢量 D D D D 分布 2 若圆筒绕其中心轴以匀角速 转动 圆筒内外的磁场强度 H H H H 磁感应强度 B B B B 分布 解 极化体电荷密度 1 11 0 k Dprpr rrrrr 1 分 极化面电荷 0 a r a r a r a kk p np r ra 0 5 分 b k b 0 5 分 圆筒表面单位长度的极化电荷 212 aa ak 1 分 212 bb bk 0 5 分 由高斯定理求极化电荷产生附加场 E分布 00 0 2 0 a ra k Earb rr rb 1 分 由于 0 0E 故 0 EEEE 故介质内外电场分布 0 0 0 ra k EEarb r rb 0 5 分 由 0 DEP 求 D 分布 介质外0E 0P 故 0 0 0 0 0 ra kk Darb rr rb 1 分 筒旋转 内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管 单位长度圆筒面荷 ab 旋转形成电流密度 2 22 aa jkk 1 分 2 22 bb jkk 1 分 螺线管内部 HnIj 外部为 0 磁场叠加 0 0 ra Hkarb rb 1 分 由 0 BH 求得 B 的分布 0 0 0 r ra Bkarb rb 1 分 a A B O 图 2 十 质量为 m 的质点 A 在一个光滑且足够大的水平桌面上运动 质点 A 系一轻绳子 绳 子穿过桌面上一光滑小孔 O 另一端挂一质量也为 m 的质点 B 若 A 在桌面上离 O 点为a 的地方 沿垂直于 OA 的方向以初速度29ga射出 证明质点 A 在以后运动中离 O 点 距离必在a与 3a之间 g 为重力加速度 解 当 A 获得初速度后 离心力大于绳子拉力 有向外运动的趋势 速度的径向分量Vr 0 当 离心力和拉力平衡时 由于惯性仍有向外运动的趋势 但 Vr 在减小 当达到径向最高处时 Vr 0 A 的速度垂直径向 这时的上升速度 VB 0 此后开始向内运动趋势 达到最近处 A B 组成质点系 在运动中 A 在水平方向之手绳子拉力作用而 B 最在竖直方向只受拉 力和重力作用 拉里为内力 故系统整过过程角动量守恒 机械能守恒 故初态和 A 最高 点处作为末态来列方程 设 A 在最高点处速度为 V 此时 B 的速度为 0 上升高度设 h 故 角动量守恒 0 vmhaam AA 1 2 分 机械能守恒 22 0 2 1 2 1 AABA vmghmvm 2 3 分 由于 mA mB m 化简 4 2 1 2 3 22 0 0 AAv mghv vhaav 由 3 0 a vv ah 1 分 0 9 2 vga 和代入 4 化简 32 4140 2 47 0 hahah h haha 7 0 2 4 hha ha 得舍去 3 分 a d 3d1 分 十一 现有一质量半径为 a 的均匀带电圆薄盘 其面电荷密度为 求圆盘边缘处的电势大 小 设无穷远处电势为零 解 以圆盘边缘为圆心 以 r 为半径 dr 为宽度 作圆弧 2 0 0 2 U 4 a p r dr r