高考数学一轮复习专题9.5空间几何体中的垂直练习（含解析）.docx

9.5 空间几何中垂直问题【套路秘籍】-千里之行始于足下一直线与平面垂直1.定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面互相垂直，记作l，直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面2.判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab二平面与平面垂直1.二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角2.平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直3.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 线面垂直【例1】如图,在正方体中, 分别为棱的中点.（）求证: 平面;（）求证: 平面.【答案】见解析【解析】证明：（）分别为棱的中点,在中, 为中位线,所以;又因为;所以,平面, 平面所以平面.（）因为正方体,和为对角线,所以,在正方体中,平面,平面,所以,又因为,所以平面.【套路总结】线面垂直证明一般通过线线垂直。常见的证明线线垂直的思路如下【举一反三】1. 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点当CF2时，证明：B1F平面ADF.【答案】见证明【证明】因为ABAC，D是BC的中点，所以ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，因为BB1底面ABC，AD底面ABC，所以ADB1B.因为BCB1BB，BC，B1B平面B1BCC1，所以AD平面B1BCC1.因为B1F平面B1BCC1，所以ADB1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1FCD1，B1C1CF2，所以RtDCFRtFC1B1，所以CFDC1B1F，所以B1FD90，所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.方法二在RtB1BD中，BDCD1，BB13，所以B1D.在RtB1C1F中，B1C12，C1F1，所以B1F.在RtDCF中，CF2，CD1，所以DF.显然DF2B1F2B1D2，所以B1FD90.所以B1FFD.因为ADFDD，AD，FD平面ADF，所以B1F平面ADF.2.如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，GAD为等边三角形，BF平面ABCD，GDC=90，点E是线段GC上除两端点外的一点，若点P为线段GD的中点.（）求证：AP平面GCD；（）求证：平面ADG/平面FBC.【答案】见证明【解析】（）证明：因为GAD是等边三角形，点P为线段GD的中点，故APGD.因为ADCD，GDCD，且ADGD=D，AD,GD平面GAD，故CD平面GAD，又AP平面GAD，故CDAP，又CDGD=D，CD,GD平面GCD，故AP平面GCD.（）证明：BF平面ABCD，BFCD，BCCD，BFBC=B，BF,BC平面FBC，CD平面FBC，由（）知CD平面GAD，平面ADG/平面FBC.考向二 面面垂直【例2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：ABEF；(2)若AFEF，求证：平面PAD平面ABCD.【答案】见证明【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD.又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因为AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以ABAD.因为AFEF，(1)中已证ABEF，所以ABAF.又ABAD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.【举一反三】1如图，三棱柱中，平面平面.证明：（1） 平面； （2） 平面平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）几何体为三棱柱 四边形为平行四边形 又平面，平面平面（2）且四边形为平行四边形四边形为菱形 又平面平面，平面平面平面又平面平面平面考向三 垂直的性质运用【例3】如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【答案】见证明【证明】（1）在平面内，因为ABAD， ，所以.又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF平面ABC.（2）因为平面ABD平面BCD，平面平面BCD=BD，平面BCD， ，所以平面.因为平面，所以.又ABAD， ， 平面ABC， 平面ABC，所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC.【举一反三】1.如图，在三棱锥中， 平面为AB的中点，E为BC的中点， 求证： 平面SDE；求证： 【答案】见证明【证明】为AB的中点，E为BC的中点，又平面平面SDE，平面SDE连结CD，平面平面ABC，是AB的中点，又平面，平面平面SCD，2、如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.【答案】见证明【证明】(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.又ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.考向四垂直关系中的探索性问题【例4】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知ABAC，AA13，BCCF2.(1)求证：C1E平面ADF；(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM平面ADF.【答案】见证明【解析】(1)证明连结CE交AD于O，连结OF.因为CE，AD为ABC的中线，则O为ABC的重心，故，故OFC1E，因为OF平面ADF，C1E平面ADF，所以C1E平面ADF.(2)解当BM1时，平面CAM平面ADF.证明如下：因为ABAC，AD平面ABC，故ADBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC，BB1平面B1BCC1，故平面B1BCC1平面ABC.又平面B1BCC1平面ABCBC，AD平面ABC，所以AD平面B1BCC1，又CM平面B1BCC1，故ADCM.又BM1，BC2，CD1，FC2，故RtCBMRtFCD.易证CMDF，又DFADD，DF，AD平面ADF，故CM平面ADF.又CM平面CAM，故平面CAM平面ADF.【套路总结】对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性途径三：将几何问题转化为代数问题【举一反三】1. 如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE平面ABCD，EFAB，EGAD，EFEG1.(1)求证：平面CFG平面ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】(1)证明连结BD交AC于点O，则BDAC设AB，AD的中点分别为M，N，连结MN，则MNBD，连结FM，GN，则FMGN，且FMGN，所以四边形FMNG为平行四边形，所以MNFG，所以BDFG，所以FGAC.由于AE平面ABCD，所以AEBD.所以FGAE，又因为ACAEA，AC，AE平面ACE，所以FG平面ACE.又FG平面CFG，所以平面CFG平面ACE.(2)解存在设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，连结EQ，CQ，取CO的中点H，连结EH，由已知易知，平面EFG平面ABCD，又平面ACE平面EFGEQ，平面ACE平面ABCDAC，所以CHEQ，又CHEQ，所以四边形EQCH为平行四边形，所以EHCQ，又CQ平面CFG，EH平面CFG，所以EH平面CFG，所以在AC上存在一点H，使得EH平面CFG，且CH.考向五 定义定理的运用【例5-1】设l，m表示直线，m是平面内的一条直线，则“lm”是“l”成立的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)【答案】必要不充分【解析】由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内至少两条相交直线，则直线与平面垂直，只平行于平面内一条直线说明充分性不成立，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“lm”是“l”成立的必要不充分条件【例5-2】已知平面，直线m，n.给出下列命题：若，n，mn，则m；若n，n，m，则m；若m，n，mn，则；若，m，n，则mn.其中，真命题是_(填序号)【答案】【解析】对于，当m时，才能保证m，不对；对于，由m，n，得mn，又n，所以m，对；都对【举一反三】1设m，n是两条不同的直线，是三个不重合的平面，给出下列四个命题：若，m，则m；若，m，则m；若m，m，则；若mn，n，则m.其中正确的命题是_(填序号)【答案】【解析】易知正确；可能有m，m，m与相交等情况，故不正确；正确；可以有m或m，故不正确2设，是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线从“mn；n；m”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)【答案】(或)【解析】逐一判断若成立，则m与的位置关系不确定，故错误；同理也错误；与均正确【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，且平面ABCD平面BCE，平面ABCD， (I)求证：平面ABCD；(II)求证：平面ACF平面BDF【答案】（）见解析;（）见解析.【解析】（）证明：如图，过点作于，连接，平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，.四边形为平行四边形. 平面，平面，平面 （）证明：面，又四边形是菱形，又，面，又面，从而面面 2如图，在三棱锥中，平面已知，点分别为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）E，F分别为AB，BC的中点，又平面SAC，平面SAC，平面SAC；（2）平面SAC，平面SAC，点H分别为SC的中点，又，平面SBC3如图，在三棱柱中，底面，是线段的中点，是线段上任意一点，.（1）证明：平面；（2）证明：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，是线段的中点，所以，又底面，所以，又，所以平面.（2）易知四边形为平行四边形，则为的中点，又是线段的中点，所以，而平面，平面，所以平面.4如图，在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，底面，为上一点，为中点.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若，求证：平面.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）连接，由四边形是正方形知，为中点平面，面，面面为中点 为的中点（2）在四棱锥中，四边形是正方形 为中点 又底面，底面而四边形是正方形 平面，平面又平面平面，平面5如图，在直三棱柱中，是棱的中点（1）求证：；（2）求证：【答案】(1)见详解；（2）见详解.【解析】（1）连接AC1，设AC1A1CO，连接OD，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ACC1A1是平行四边形，所以：O为AC1的中点，又因为：D是棱AB的中点，所以：ODBC1，又因为：BC1平面A1CD，OD平面A1CD，所以：BC1平面A1CD（2）由（1）可知：侧面ACC1A1是平行四边形，因为：ACAA1，所以：平行四边形ACC1A1是菱形，所以：AC1A1C，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，因为：AB平面ABC，所以：ABAA1，又因为：ABAC，ACAA1A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，所以：AB平面ACC1A1，因为：A1C平面ACC1A1，所以：ABA1C，又因为：AC1A1C，ABAC1A，AB平面ABC1，AC1平面ABC1，所以：A1C平面ABC1，因为：BC1平面ABC1，所以：BC1A1C6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点(1)求证：平面PAD平面ABCD；(2)求证：EF平面PAD.【答案】见解析【解析】证明(1)因为AP平面PCD，CD平面PCD，所以APCD.又四边形ABCD为矩形，所以ADCD，又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD，所以CD平面PAD.又因为CD平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.(2)连结AC，BD交于点O，连结OE，OF.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点因为E为PC的中点，所以OEPA.因为OE平面PAD，PA平面PAD，所以OE平面PAD.同理可证OF平面PAD.因为OEOFO，OB，OF平面OEF，所以平面OEF平面PAD.因为EF平面OEF，所以EF平面PAD.7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点(1)求证：B1C1平面A1DE；(2)求证：平面A1DE平面ACC1A1.【答案】见解析【解析】证明(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC.又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE.又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE.又BCAC，DEBC，所以DEAC.又CC1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1，又因为DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.8.如图，已知四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，CD=PD=2EA，PD/EA，F，G，H分别为PB，BE，PC的中点.（）求证：GH/平面PDAE；（）求证：平面FGH平面PCD.【答案】见解析【解析】（）分别取PD的中点M，EA的中点N.连结MH，NG，MN.因为G，H分别为BE，PC的中点，所以MH/12CD，NG/12AB，因为AB与CD平行且相等，所以MH平行且等于NG，故四边形GHMN是平行四边形.所以GH/MN.又因为GH平面PDAE，MN平面PDAE，所以GH/平面PDAE.（）证明：因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.因为BCCD，PDCD=D，所以BC平面PCD.因为F，H分别为PB、PC的中点，所以FH/BC.所以FH平面PCD.因为FH平面FGH，所以平面FGH平面PCD.9如图：C、D是以AB为直径的圆上两点，在线段上，且 ，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上.（I）求证平面ACD平面BCD；（II）求证：AD/平面CEF.【答案】见解析【解析】（I）证明：依题意：3分又4分（）证明：，联结，在和中6分设，则，在，即，解得10分/在平面外/平面10、如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.【答案】见解析【解析】(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形，KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN，四边形AA1KN为平行四边形，ANA1K.又A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K，四边形BC1KM为平行四边形，MKBC1在正方体