海淀区高三二模数学试题及答案理科.doc

海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理科） 2010.5审核：陈亮 校对：张浩一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1已知集合，则 A B C D2函数图象的对称轴方程可以为 A B C D 3如图，是O的直径，切O于点，连接，若，则的大小为 A. B. C. D. 4函数在定义域内零点的个数为 A0 B1 C2 D3开始S=0MS=S+k结束输出S是否k=15已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为 A1 B C1或 D06已知，是不同的直线，是不同的平面，则下列条件能使成立的是 A， B，C， D，7按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为A B C D 8已知动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，若直线与圆C有公共点，则圆C的面积 A有最大值为B有最小值为 C有最大值为 D有最小值为二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9在极坐标系中，若点()是曲线上的一点，则 .10某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则 .（填“”、“”或“”）11已知向量a=，b=，若，则 ； .12. 已知数列满足，（N），则的值为 .13在中，角,所对应的边分别为,，若，则的最大值为 .14给定集合，映射满足：当时，；任取若，则有.则称映射：是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”. 表1 表212323112343（1）已知表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；（2）若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15（本小题满分13分）记等差数列的前n项和为，已知.（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前n项和.16（本小题满分14分）已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.（）求证：；（）求异面直线与所成角的余弦值；（）求二面角的余弦值.17（本小题满分13分）为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.（）求4人恰好选择了同一家公园的概率；（）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望18（本小题满分13分）已知函数，其中a为常数，且.（）若，求函数的极值点；（）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.19（本小题满分13分）已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.（）写出抛物线的标准方程；（）若，求直线的方程；（）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值. 20（本小题满分14分）已知函数的图象在上连续不断，定义：，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”（）若，试写出，的表达式；（）已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；（）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围. 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 （理） 参考答案及评分标准 20105说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.第卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BADCABAD第卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）91 10 112 ； 1248 13 14；84. 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15（本小题满分13分）解：（）设等差数列的公差为d，由， 可得 ， 2分 即， 解得，4分 ， 故所求等差数列的通项公式为.5分（）依题意， ，7分 又， 9分 两式相减得11分 ，12分 .13分16（本小题满分14分）（）证明：连结交于，连结 ， ， 1分， 3分，. 4分（）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，,5分,7分异面直线与所成角的余弦值为.8分（）侧棱, 9分设的法向量为,，并且,，令得，,的一个法向量为.11分,13分由图可知二面角的大小是锐角,二面角大小的余弦值为.14分 17 （本小题满分13分）解：（）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. 1分每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况. 2分事件A所包含的等可能事件的个数为3， 3分所以，. 即：4人恰好选择了同一家公园的概率为. 5分（）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则.6分4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布.可取的值为0，1，2，3，4. .8分， .10分的分布列为:01234.12分的期望为 .13分18.（本小题满分13分）解法一：（）依题意得，所以，.1分 令，得，.2分 ，随x的变化情况入下表：x0+0极小值极大值4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. 5分（） , .6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立，.7分 当时，显然对任意恒成立；.8分 当时，等价于，因为，不等式等价于,.9分 令， 则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增，所以在上的最小值为，.11分由于对任意恒成立等价于对任意恒成立，需且只需，即，解得，因为，所以.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.13分解法二：（）同解法一（）, .6分由函数在区间上单调递减可知：对任意恒成立， 即对任意恒成立，7分 当时，显然对任意恒成立；8分 当时，令，则函数图象的对称轴为，.9分 若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成立，需且只需，解得，所以;.11分 若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意恒成立.综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为.13分19（本小题满分13分）解：（）由题意，抛物线的方程为：， 2分（）设直线的方程为：.联立，消去，得 ， 3分显然，设，则 4分又，所以 5分由 消去，得 ， 故直线的方程为或 . 6分（）设，则中点为， 因为两点关于直线对称，所以，即，解之得， 8分将其代入抛物线方程，得：，所以，. 9分联立 ，消去，得：. 10分由，得，即， 12分将，代入上式并化简，得，所以，即， 因此，椭圆长轴长的最小值为. 13分20（本小题满分14分）解：（）由题意可得: ,1分.2分（）, 3分, 4分,5分当时，,;当时，;当时，.综上所述，6分即存在，使得是上的4阶收缩函数. 7分（）,令得或.函数的变化情况如下：令，解得或3. 8分）时，在上单调递增，因此，.因为是上的2阶收缩函数，所以，对恒成立；存在，使得成立