余弦定理的推广与证明.doc

余弦定理的推广与证明张建云（数学与计算机信息技术学院 07数转本班）摘要 本文首先从多种角度研究余弦定理的证法，然后 再利用初等几何、高等几何和三角函数的方法，把余弦定理推广到四边形、四面体、多边形和多面体中去，得到了有意义的结果；以空间解析几何中的矢量为工具，通过简单的计算就可以把上述的结果作进一步的推广。关键词 余弦定理；单位向量；三角形的外接圆；三角形的高线；三角形的面积；两角和的余弦公式；矢量的混合积；拉格朗日恒等式一、 余弦定理的证明1、利用向量证明如图（1）即变形后得同理可证2、利用复数证明如图（2）,建立平面直角坐标系.在复平面内,过点A作BC的平行线,过点C作AB的平行线,交于点D.即同理可证3、利用ABC的高线证明(I)如图（3）,在ABC中,过点B作BD AC,垂足为D.解上面方程组得即同理可证4.利用两角和的余弦公式证明(I)如图（3）,在ABC中,过点B作BD AC,垂足为D.把方法3中求出的AD、DC、BD分别代入上式,得即同理可证5、利用两角和的余弦公式证明(II)如图（3）,在ABC中,过点B作BD AC,垂足为D.即同理可证6、利用ABC的高线证明(II)如图（3）,在ABC中,过点B作BD AC,垂足为D.以下过程,用方法4的后半部分或方法5的后半部分都行.7、利用ABC的高线证明(III)如图（3）,在ABC中,过点B作BD AC,垂足为D.即同理可证本题中,当计算得到时,还可以把方法3中得到的结论代入.化简后可得同样可以证明出余弦定理.研究数学问题,在许多情况下,入手角度灵活多样,相应的解决方法也是丰富多彩.正弦定理和余弦定理的证明过程,就最能体现出数学方法的灵活性和多样性.二、 余弦定理在四边形中的推广在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,余弦定理(1)是我们所熟悉的.笔者在文1中给出了余弦定理在四面体的推广,注意到文2-3中给出了余弦定理在四边形的推广,本文试给出余弦定理在四边形的另一新颖推广,使得三角形的余弦定理成为该推广式极限情形的一个特例.定理记凸四边形ABCD的四边长依次为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,两对角线长AC=p,BD=q,则(2) 证明如图,设两对角线交角为,p,q分别由p1,p2与q 1,q2组成.由余弦定理得两式相减得（）设四边形面积为S,则（）(3)(4)两式平方和得（5）同时,由四边形面积公式则（6）由三角形余弦定理两式相减得同理上两式相加得即（）由(6)(7)相加得（8）综合式(5)(8)即得整理即得式(2)成立.定理证毕. 特别地,类似直角三角形,我们在四边形中取B+D为或这一特殊值,得推论1在四边形ABCD中,若，则有（）式(9)形式上类似直角三角形的勾股定理.取，注意到此时四边形为圆内接四边形,得推论2在圆内接四边形ABCD中,两对角线之积等于两组对边积的和,即（10）注意到，于是由式(3)推得推论3在四边形ABCD中有不等式（11）当且仅当，即四边形ABCD为圆内接四边形时式(11)中等号成立.最后,我们证明式(1)是(2)取D点在A C上这一极限情形(如图（5）所示,四边形蜕化为三角形)的特例.当D点在AC上时, 则上两式分别乘c,d后相加得即代入式(2)有化简(12)即为三角形的余弦定理式(1).三、 余弦定理在四面体中的推广余弦定理在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则(1)文1给出了余弦定理在四面体的一个推广如下:定理1在任意四面体中,它的一个面的面积的平方,等于其他三个面的面积的平方和,减去这三个面中每个面的面积与它们所夹二面角的余弦的积的和的两部.文2给出了余弦定理在四边形的一个推广如下:定理2设凸四边形ABCD的四边长依次为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,两对角线长AC=p,BD=q,则(2)本文给出余弦定理在四面体的一个有别于定理1的推广,使得定理2为该推广的一个特例.定理3对任意四面体ABCD,记AB=a, BC=b,CD=c,DA=d,AC=p,BD=q,二面角D-AC-B为, ABC=u, CDA=v则(3)为证明定理3,先给出如下引理引理在三面角中,三个面角,记二面角为,则.(4)引理的证明如图（6）,在上任取一点P, 过点P作的垂面分别交,与R,Q点, 连结RQ, 为二面角为二面角角,在RQP, SRQ中应用余弦定理,并注意到SRP, SQP,为直角三角形,有(4)式得证.定理3的证明如图（7）,应用引理,有即.对上式左边应用余弦定理,右边应用正弦定理,得,整理得(5)分别在ABC和ADC中应用余弦定理,有于是,即(6)将(6)式代入(5)式,整理得.(3)式得证.若ABCD是平面凸四边形,此时,B,D在AC所在的直线的异侧,视二面角D-AC-B的平面角为,代入(3)式,有.(7)(7)式即为(2)式,故定理2是定理3的极限情形的一个特例,又余弦定理是定理2的一个特例,所以定理3是余弦定理的推广.仔细观察(3)式,我们得到下列有趣的推论. 应用定理3,显然有推论1对空间中四点A,B,C,D,记号同定理3,则.推论2对空间中四点A,B,C,D,记号同定理3,则A,B,C,D在一个平面上,当且仅当或推论3(托勒密不等式)对空间中四点A, B,C,D,记号同定理3,有四、 余弦定理在n（n5）边形中的推广1提出凸n边形(n 5)余弦定理我们知道,三角形余弦定理描述的结论是:已知的两条边=、=，它们的夹角为(图（8）)，则第三条边的平方=+-2cos.将此结论类比到凸四边形,我们便有凸四边形余弦定理如下(参见1):已知四边形的三条边依次为=,=,=,它们所夹的两个内角依次为,(如图（9）), 则第四条边=+-2cos-2cos+2cos(+).将上述结论类比到凸n边形(n5),可猜想有凸n边形(n5) 余弦定理如下:已知凸n边形(n5) 的n-1条边依次为=,=,=,=, 且知道它们所夹的n-2个内角依次为, (图（10）),则第n条边的平方.2证明凸n边形(n5)余弦定理在图(10)的基础上将凸n边形(n5) 的各边都看成平面向量,显然, 而与的夹角其中1ijn-1.于是,由向量求和的多边形法则,得五、 余弦定理子n面体中的推广（凸多面体的余弦定理6）本文首先给出了凸多面体上任意两面夹角的定义,进而证明了三个引理,最后得出了本文所论述的结果:中学数学(苏州大学编)1894年第1期所刊” 余弦定理从二维到兰维的推广” 一文给出了四面体的余弦定理. 笔者认为四面体的余弦定理可以推广到任意凸多面体. 为此, 先给出一个定义:定义,是凸多面体的两个面,称为与的夹角, 若,分别在二面角的两个面上. 由此定义,有(1) 若,则=0;(2)=;(3).再注意如下事实: 若面积为S的多边形与平面的交角为(),则多边形S在平面上射影的面积为:为了证明凸多面体的余弦定理,先证三个引理.引理1设一直线l垂直于凸多面体V的一面S, 且交于V的另两个面,则与中必有一个为锐角(包括0),一个为钝角.证设,所在平面分别为,.与,与的交线分别为,.l与,分别交于,.由凸多面体的定义, 与在同一侧, 与在的同一侧. 与在同一侧.在内作,垂足为D; 在内作,垂足为C;连接,OC, 则由三垂线定理,. 又易知, 内的与必分布在两铡,于是,.而与均为锐角,因此,.证毕.引理2设一直线垂直于凸多面体V的一面,垂足为,且交于V的另两个,若以包括的充分小面积的多边形(或曲边形)为底面作一垂直于的柱体, 使这个柱体与,内, 柱体在,内所围的面积分别为,则证由引理1,与中一个为锐角, 一个为钝角,不妨设,.又由射影的定义,与在所在平面上射影的面积相等, 故有所以证毕.引理3凸n面体各面面积分别为,为与之夹角,则证设所在的平面为a,以为底作一垂直于a的柱体, 则柱体将凸n面体的表面最多分为四部分:(1) ;(2)除以外柱体内若干个面或面的部分,设为,;(3) 柱体以外的若干个面或面的部分,设为,;(4) 与柱体侧面重合的若干个面,.这里需要说明的是,在,中若是凸n面体某一面的一部分, 则在,中一定可以找到一个,使,并成立等式:(1)因,与之夹角均为锐角, 而它们在a上射影之和等于,故有(2)由引理2知(3)又(4)(2),(3),(4)三式相加,并注意到(1),即得证毕引理3又称凸多面体的射影定理. 现在给出并证明本文的主要结果.定理凸多面体任一面面积的平方, 等于其他各面面积的平方和减去它们任两面面积及其夹角余弦积的两倍.若凸,面体各面面积分别为,为与之夹角,则证由引理3.于是.将以上n一1个等式相加,得而于是即证毕参考文献：1张永红. 正弦定理、余弦定理的证明J. 吕梁高等专科学校学报, 2005, (01) 第26-28页2杨克昌.余