蚶线——赵文敏.doc

中数网蚶线赵文敏 认识蚶线 蚶线的极坐标方程式 蚶线是一垂足曲线 蚶线是外次摆线 蚶线是圆的包络线 三等分角曲线 蚶线所围的面积 由于利用标尺作图不能将任意角三等分，数学家曾考虑以曲线来协助解决这问题，一种特殊的蚶线正有这项功能。 认识蚶线给定一个圆 O 及其圆周上一个定点 A，另给定一个正数 k。设过A点的任意直线与给定圆O交于于另一点 M, 直线 AM 上恰有两个点 P 与 P 满足 ，所有此种 P 与 P 点所成的图形，称为圆 O 为基圆、A 点为基点、 k 为常数的蚶线 (limacon)。 Limacon一字原为法文，其意为蜗牛。Limacon de mer 之意为海扇，乃是一种可食用的贝类。曲线 limacon 译为蚶线，可能是采用后者。最先使用 limacon 来称呼上述曲线的是 Roberval，它将上述曲线称为 limacon de monsieur Pascal，因为此曲线正是巴斯卡所发现的。此处所指的 Pascal 引并不是巴斯卡三角形一词所指的 Blaise Pascal，而是指他的父亲 Etienne Pasal。 蚶线的形状，随着 k 与基圆之半径的大小关系而有所不同。例如:设基圆的半径为 a 若 k2a，则当 M 点在基圆上时，满足 的点 P 与 P 必都在基圆的外部。换句话说，在 k2a的情形中，蚶线上的点全都在其基圆的外部，而且蚶线没有通过它的基点 A。 图一：k2a 与 k=2a 两种图形的蚶线及其基圆。 在 k2a 的情形中，蚶线就不是此种形状了。首先，因为 k2a，所以，我们可以在基圆上找到两个点 M1 与 M2，使得 。于是，蚶线与直线 AM1（或直线 AM2）的两个交点中，有一个交点就是 A 点，这表示基点 A 在蚶线上。另一方面，因为 k2a，所以，若点 M 在基圆上且 A、M 被 M1、M2 隔开，则 。于是，在 而上必有一点 P 满足 ，此 P 点在蚶线上而也在基圆的内部。由此可知：在 k2a 的情形中，蚶线不仅通过基点 A 也通过基圆的内部。 当 k=2a 时，情形又如何呢？若 k=2 时，则所得的蚶线其实是以圆 O 为基圆、点 A 为歧点的心脏线。所以，此时的蚶线只通过基点 A 却没有通过基圆的内部（参见本刊二十一卷五期 (心脏线)一文。 蚶线的极坐标方程式在图一中，选择 A 点为极点、射线 为极轴建立一个极坐标系。如此，若基圆 O 的半径为 a，则基圆的极坐标方程式为 。设过基点 A 的任意直线与基圆 O 交于另一点 M (,)，其中， 。P 与 P 两点在直线 AM 上， ，而且 P 与 A 在 M 的异侧，P 与 A 在 M 的同侧，则 P 的极坐标为 ( ,)，而 P 点的极坐标为 ( ,)。由此可知：所有 P 点所成图形的方程式为 另一方面，因为 ，而且当 时，可得 ，以 P 点所成图形的方程式为 于是，所有 P 点与 P 点所成的图形的极坐标方程式为 因为 已表示余弦函数的一个周期，所以，我们可将它改为 )。由此可知：以 为基圆、极点为基点、k 为常数的蚶线的极坐标方程式为 蚶线是一垂足曲线给定二正数 a,k 及一点 B，以 B 为圆心、k 为半径作一圆，再选一个点 A 使得 （见图二）。对于圆 B 的任意一对平行切线，其切点分别为 T 与 T。由A点向两平行切线作垂直线，设垂足分别为 P 与 P，又该 M 是 的中点。因为 TPPT 是一矩形，而 B 与 M 分别是 与 的中点，所以， 与 垂直。于是，M 点落在以为 一直径的圆上。另一方面， 。由此可知:若选择以 为一直径的圆做为基圆、 A 点为基点、 k 为常数作一蚶线，则对于圆 B 的任意一对平行切线， A 点到它们的垂足 P与 P 都一定在此蚶线上。 图二 若S 为一曲线而 A 为一定点，则由点 A 至曲线 S 的所有切线的垂足所成的图形，称为曲线 S 对点 A 的垂足曲线。根据前段的说明，可知：蚶线是一圆对异于圆心的某个定点的垂足曲线，此圆的半径是该蚶线的常数、定点是该蚶线的基点、定点至圆心所成线段是该蚶线的基圆的一条直径。 蚶线是外次摆线心脏线是蚶线的一种特殊情形，而心脏线是一外摆线，外摆线又是外次摆线 (epitrochoid) 的特殊情形，我们很自然会将蚶线与外次摆线联想在一起。 在图三中，设 P 点是以圆 O 为基圆、点 A 为基点、k 为常数的蚶线上一点，直线 AP 与基圆交于另一点 W。选取 I 点使得 PMOI 是一个平行四边形，请注意:对每个 P 点而言，点 I 是唯一的。分别以点 O 与点 I 为圆心、 为半径作两圆，前者称为固定圆、后者称为滚动圆。因为 ，所以，固定圆与滚动圆外切，设切点为 Q。设射线 与固定圆交于 U 且 A 与 U 在 O 的异侧、射线 与滚动圆交于 V 且 P 与 V 在 I 的异侧，则可得 。因为固定圆与滚动圆的半径相等，而固定圆的圆心角 与滚动圆的圆心角 相等，所以，固定圆上弧 QU 的长与滚动圆上弧 QV 的长相等。这样的现象表示什么意义呢？我们说明如下。 取一个半径为 的固定圆，另取一个大小与固定圆相同的滚动圆，让滚动圆沿着固定圆的外部作没有滑动的滚动，此外,还选定一个与滚动圆圆心距离为 a的定点，在滚动前，定点与固定圆圆心O的距离为 a+k。亦即:定点、固定圆圆心、滚动圆圆心等三点共线，且滚动圆圆心介于其它两点之间。图三表示: 当滚动圆滚动到与固定圆相切于Q点时，滚动圆旁的定点就到达P点。由此可知：所谓蚶线，乃是当滚动圆与固定圆的半径相等时，滚动圆旁的定点所描绘的曲线，这乃是一外次摆线。 若在图三中建立一个直角坐标系，使O点为原点、直线 AB 为 X 轴，则可得蚶线的参数方程式如下：设以 为始边、 为终边的有向角 t 弧度，则以 为始边、 为终边的有向角为 2t 弧度。又设 P 点的坐标为 (x,y)，则得 习题: 试讨论前述蚶线的极坐标方程式与参数方程式的关系。 图三 蚶线是圆的包络线在图三中，滚动圆滚动到与固定圆相切于 Q 点，而滚动圆旁的定点则移动到 P 点，所以， Q 点是滚动圆在此时刻的瞬间旋转中心。于是，由定点所描绘的蚶线在 P 点的切线乃是过 P 点而与 垂直的直线。另一方面，因为 AOIP 是等腰梯形而 Q 是平行边之一的 的中点，所以， 。若以 Q 点为圆心、 为半径作一圆，则此圆必过 P 点，而且此圆过 P 点的切线也是过 P 而与 垂直的直线。由此可知：以 Q 点为圆心、 为半径的圆必与上述蚶线相切于P点。 前面所提的性质，可以作如下的解释：给定一定圆 O 以及一定点 A，若对定圆 O 上所有点 Q，以 Q 点为圆心、 为半径作一圆，则所有此种圆可包络出一条蚶线，此蚶线的基圆是以 O 为圆心而 为半径的圆、基点是 A 点、常数是定圆 O 的直径（见图四）。 图四 三等分角曲线当蚶线的常数k与基圆的半径a相等时，此蚶线具有一项特殊的性质,它可用来将任意角三等分，所以特称之为三等分角曲线 (trisectrix)。 图五中的虚线是一条三等分角曲线，圆O是它的基圆、 A点是它的基点。此种曲线的特点之一就是：它的内循环 (inner loop) 通过其基圆的圆心 O 。此曲线在角三等分问题上的应用是这样的：以射线 为一边作一角 等于欲三等分的角，并将 R 点选成满足 。设线段 与三等分角曲线的内循环交于另一点P，则可得 。为什么呢？ 图五 设直线 AP 与基圆交于另一点Q,依蚶线的定义，可知 PQ = k =a。因为OA = OQ ,所以, = 。因为 ,所以, 由此可得 因为 ，所以 这就是所欲证的结果。 习题: 在图五中，若 的垂直平分线与三等分角曲线的外循环交于一点C，试证=。 蚶线所围的面积一般而言，蚶线是比较不容易掌握的曲线。例如：在 的情形，蚶线 的弧长，利用积分的方法都无法明白写出来，只能表示成一个积分式子。至于它所围区域的面积，用综合几何的方法也不易讨论，只能使用积分的方法来计算。 若 ，则蚶线 只有一个循环。它所围的区域面积等于 若 k2a，则蚶线 有内、外两个循环。令 ，则得