不等式的基本性质和证明的基本方法1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法导学案.docx

1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.会解一元一次不等式和一元二次不等式.2.会用一元一次不等式和一元二次不等式解决实际问题.自学导引1.一元一次不等式的解法.(1)axb0(a0)解集为.(2)axb0(a000)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x10 (a0)的解集x|xx2x|xx1x|xRax2bxc0)的解集x|x1 xx2基础自测1.已知集合A2，1，0，1，2，Bx|(x1)(x2)0，则AB() A.1，0 B.0，1C.1，0，1 D.0，1，2解析化简集合B，利用交集的定义求解.由题意知Bx|2x0，即(x3)(x1)0，解得x1.故函数的定义域为(，3)(1，).答案D3.不等式x23x40的解集为_.(用区间表示)解析利用一元二次不等式的解法求解.由x23x40得x23x40，解得4x1.答案(4，1)知识点1一元一次、一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式：(1)3x22(x1)4；(2)3x22x80；(3)8x116x2.解(1)原不等式等价于3x2x242即x4.原不等式的解集为x|x0(aR).(1)解这个关于x的不等式；(2)若xa时不等式成立，求a的取值范围.解(1)原不等式等价于(ax1)(x1)0.当a0时，由(x1)0，得x0时，不等式化为(x1)0，解得x；当a0时，不等式化为(x1)0；若1，即1a0，则x1，即a1，则1x.综上所述，a1时，解集为；a1时，原不等式无解；1a0时，解集为；a0时，解集为x|x0时，解集为.(2)xa时不等式成立，0，即a11，即a的取值范围为(1，).反思感悟：(1)含参数的一元二次不等式可分为两种情形：一是二次项系数为常数.参数在一次项或常数项的位置，此时可考虑分解因式，再对参数进行讨论，若不易分解因式，则要对判别式分类讨论，分类应不重不漏；二是二次项系数为参数，则应考虑二次项系数是否为0，然后再讨论二次项系数不为0的情形，以便确定解集的形式.注意必须判断出相应方程的两根的大小，以便写出解集.(2)含参数不等式的解法问题，是高考的重点内容，主要考查等价转化能力和分类讨论的数学思想.2.解关于x的不等式：ax222xax(aR).解原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当2，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为x|x1；当a2时，不等式的解集为.知识点3一元二次不等式的应用【例3】 某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z；(2)设ykx(0k1)，利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；(3)若yx，求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.解(1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为p元，每月卖出数量为n件，每月售货总金额是npz元，因而npzpn，所以z.(2)在ykx的条件下，z，整理可得z，由于0k0，所以使z值最大的x的值是.(3)当yx时，z，要使每月售货总金额有所增加，即z1，应有(10x)100，即x(x5)0，解得0x0，方程R210R160的两个实数根为x12，x28.然后画出二次函数yR210R16的图象，由图象得不等式的解为2R8.课堂小结1.解一元二次不等式时，首先要将一元二次不等式化成标准型，即ax2bxc0或ax2bxc0.如解不等式6x25x时首先化为x25x60或ax2bxc0)与一元二次方程ax2bxc0的关系.(1)知道一元二次方程ax2bxc0的根可以写出对应不等式的解集；(2)知道一元二次不等式ax2bxc0或ax2bxc0或ax2bxc0的解集.随堂演练1.已知集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则AB()A.(1，3) B.(1，4)C.(2，3) D.(2，4)解析先化简集合A，再利用集合的交集的定义或利用数轴求解.由已知可得集合Ax|1x3，又因为Bx|2x4，所以AB(2，3)，故选C.答案C2.若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是()A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4答案D3.不等式2x2x4的解集为_.解析利用指数函数的性质化为整式不等式求解.2x2x4，2x2x22，x2x2，即x2x20，1x2.答案x|1x0恒成立，则b的取值范围是_.解析依题意，f(x)的对称轴为x1，又开口向下，当x1，1时，f(x)是单调递增函数.若f(x)0恒成立.则f(x)minf(1)12b2b10，即b2b20.(b2)(b1)0，b2或b2或b1基础达标1.已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A.2，1 B. 1，2)C.1，1 D.1，2)解析先求解集合A，再进行集合之间的运算.Ax|x3或x1，Bx|2x0的解集是R，q：1a0的解集是R等价于4a24a0，即1a0.答案C4.不等式x(x1)(x2)2(x21)(x31)0的解集是_.解析原不等式即x(x1)3(x2)2(x1)(x2x1)0，x2x10，(x1)2k0，(x2)20，原不等式等价与不等式组原不等式的解集是x|1x0，或x1，且x2.答案x|1x0，或x1，且x25.若不等式x2(a1)xa0的解集是4，3的子集，则a的取值范围是_.解析原不等式即(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a，1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3.综上可得4a3.答案4，36.解不等式3(x1)(x2)14.解不等式两边同时乘以2得，(x4)6(x1)2(x2)28，即5x102x24，得：7x2.故原不等式的解集为x|x2.综合提高7.已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1，3)，则不等式f(2x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1，3)，a0.且解得a1或，a1，b3.f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，解得x或x，故选A.答案A8.在R上定义运算：x*yx(1y).若不等式(xa)*(xa)1对任意实数x恒成立，则()A.1a1 B.0a2C.a D.a解析依题设得xax2a20恒成立a2a0恒成立a0，y0满足f(xy)f(x)f(y)，则不等式f(x6)f(x)2f(4)的解集为_.解析由已知得f(x6)f(x)f(x6)x，2f(4)f(16).根据单调性得(x6)x16，解得8x0，x0，所以0x2.答案(0，2)10.若关于x的方程x2axa210有一正根和一负根，则a的取值范围是_.解析令f(x)x2axa21，二次函数开口向上，若方程有一正一负根，则只需 f(0)0，即a210.1a1.答案1a1或x.故原不等式的解集为.12.已知f(x)x22ax2(aR)，当x1，)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围.解方法一：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa.当a(，1)时，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)