二项式定理教学设计教案.doc

计数原理 备课人：焦阳课题二项式定理(二)教学目标(一)教学知识点1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和.2.“赋值法”.(二)能力训练要求1.掌握二项式系数的性质，并会简单应用.2.学会用“赋值法”解决与二项式系数有关的问题.(三)德育渗透目标1.提高学生的数学素质.2.树立由一般到特殊的意识.教学重点1.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性：=,当k时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的.(3)最大值：当n为偶数时，中间一项(第+1项)的二项式系数最大，最大值为.当n为奇数时，中间两项(第项和第+1项)的二项式系数相等，且同时取最大值，最大值为或.(4)各二项式系数和+=2n.2.“赋值法”在解题中的运用.教学难点与二项展开式中系数最大项有关问题的求解.教学方法发现法教具准备投影片一张.内容：课本P107图10-9.教学过程.复习回顾师生共同活动(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn.Tr+1=an-rbr.讲授新课师通项公式中的，我们称其为二项式系数，(a+b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3，时，如下表所示：(a+b)1 1 1(a+b)2 1 2 1(a+b)3 1 3 3 1(a+b)4 1 4 6 4 1(a+b)5 1 5 10 10 5 1(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 不难发现，它有这样的规律：每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.师能用我们所学知识解释一下吗？生设这一数为,其肩上的数则为和，由组合数知识可知=+.师上表可称为二项式系数表，早在我国南宋数学家1261年所著的详解九章算术中就有所记载，又称为杨辉三角.此表将二项式系数的性质表现得淋漓尽致.(打出投影片)师下面结合此表，来看一下二项式系数的主要性质.同学们看出哪些性质？生对称性.即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.师为什么呢？生因为=.师还有什么性质？生增减性与最大值.当k时，二项式系数是逐渐增大的；当k时，二项式系数是逐渐减小的.当n是偶数时，最大；当n是奇数时, ,相等，且最大.师上述性质与我们所学二次函数性质有相似之处，因此可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是0,1,2,n.师可以解释上述性质吗？生=，当1，即k时,1,即.当1,即k时，1,即.师还有其他性质吗？生(1+x)n=+x+x2+xr+xn,当x=1时， 2n=+，即(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.师是否还可发现其他性质呢？生在(a+b)n的展开式中， 令a=1,b=-1,则可得0=-+-+=(+)-(+)，即+=+.也就是说，在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的和.师下面看怎样应用这些性质.例1求(1+2x-3x2)5的展开式中的x5项的系数.师这是一个关于三项式的展开式的问题，而三项式的展开式对于我们来讲，并无现成的公式可用，那么请大家思考一下如何解决？能否与我们刚学的二项式定理产生联系呢？生甲我认为可以将(2x-3x2)看作一项，用二项式定理展开，再考查各项中x5项的系数，最后通过求和得到所求.生乙我也尝试了甲同学的方法，但感觉各项中x5项的系数有些烦琐.师虽然此种解法较繁，但对于大家来说，能够熟悉二项式定理，熟悉二项式的展开式，熟悉二项式的通项的特点，所以，我还是提倡大家采用这种思路尝试下去，加深自己的体会.生丙我注意到括号内的(1+2x-3x2)恰好可以分解因式为(1-x)(1+3x),故三项式可转化为两个二项式之积，分别展开后考查得到x5项的多种情形：x0x5,x1x4,x2x3,x3x2,x4x1,x5x0，然后将两个二项展开式的系数对应相乘相加即可.师很好，相对于解法一来讲，丙同学的解法就体现了解题方法的灵活性，即通过因式分解将三项式问题转化为二项式问题，其他同学注意体会.解法一：(1+2x-3x2)5=1+(2x-3x2)5=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,x5项的系数为上式各项中含x5项的系数和，即1021(-3)2+523(-3)1+25=92.解法二：(1+2x-3x2)5=(1-x)5(1+3x)5=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5),展开式中x5项的系数为243-5405+27010-1090+515-1=92.例2求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)16的展开式中x3项的系数.师请大家审读题目后，考虑如何获得含x3项的系数.生甲我认为可以求出每一项中含x3项的系数，并注意发现其变化规律，依次为,，但是,各项之和的求解较为复杂.师甲同学的思路完全正确，大家可以一起考虑一下，看能否将甲同学的困惑解决呢？生丁可以用我们前面所学的组合数性质，将+=+=，再将+=，以此类推，达到求和的目的.师很好，乙同学求和的关键是将首项变为，然后多次应用组合数的性质达到化简求和的目的，此解法能使我们得到一个启示，用式子表达，即+=，大家在以后碰到相关题目时，可以尝试使用.师下面大家继续思考，看能否想出其他的解决办法.生戊我认为，可以将原式化简后再求x3项的系数，具体做法是：把(1+x)3+(1+x)4+(1+x)16看作首项为(1+x)3,公比为(1+x)(当x-1时)，项数为14的等比数列的前n项和，由等比数列前n项和公式求和可得原式=,从上式可以看出只有(1+x)17展开式中含x4的项与x相除可得含x3项，所以只需考查(1+x)17的展开式中含x4的系数即可.生己戊同学在叙述过程中提到x-1时，(1+x)3+(1+x)4+(1+x)16可以看作等比数列前n项和，那么当x=-1时又如何解释呢？生庚我认为，由于此题的目的是求x3项的系数，其中x是任意的变量，而当x-1时，求出的系数不失一般性，故不必考虑x=-1的情形.师大家说得很好.同学们由此题联系到我们所学的数列求和方法，将表面的14个二项式问题转化为一个二项式问题，达到了化繁为简，化不熟悉为熟悉的目的，与第一种解法有异曲同工之妙.师下面请大家写出完整的解答过程.解法一：由题意(1+x)3,(1+x)4,(1+x)16的展开式中x3项的系数依次为,，所求展开式中含x3的项的系数为+=(+)+=(+)+=+=+=.又=2380,所求展开式中含x3的系数为2380.解法二：当x-1时，(1+x)3+(1+x)4+(1+x)16可以看作是首项为(1+x)3,公比为(1+x),项数为14的等比数列的前n项和，由等比数列前n项和的求和公式可得原式=.显然只有(1+x)17展开式中x4项与分母x相除可得x3项，含x3项的系数为=2380.课堂练习(学生练习，老师讲评)课本P109练习13.1.(1)=+=+=a+b;(2)=126;(3)+=210=1024;(4)原式=.2.证明：+=2n,+=+,+=(+)+(+)=2(+)=2n.+=2n-1.评述：注意灵活利用二项式系