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文档简介

概率论与数理统计 一 随机变量的定义 二 分布函数的性质 第一节一维随机变量及其分布 1 一 随机变量的定义 1 随机变量的引入 概率论与数理统计是从数量的侧面来研究随机 现象的统计规律性的一门学科 为了全面研究随机 试验的结果 揭示随机现象的统计规律性 需要将随 机试验的结果数量化 以便于数学上的推导和计算 为此建立了随机变量的概念 下面举两个例子加以 说明 例1 这样便把非数量的样本空间数量化了 若以数 1 表示正面 数 0 表示反面 那么我们就 可以将试验结果与数值联系起来 即可以通过如 下示性函数与数值发生联系 抛掷一枚均匀硬币 观察出现正面或是反面 1 2 3 4 5 6 由于样本点本身已经是数量表示 这时我们可以做 即 例2 那么试验的所有可能结果即样本空间为 抛掷骰子 观察出现的点数 一个恒等变换 2 随机变量的定义 定义2 1设E是随机试验 其样本空间为 若对于每一个样本点 都有唯一的实数值 X 与之对应 则称定义在样本空间 上 的单值实函数X 为随机变量 简记为X 1 X 的定义域是样本空间 而 不一 随机变量X 与高等数学中的实函数 定是实数集 2 X 的取值是随机的 它的每一个可 3 随机变量是随机事件的数量化 即 对于任意实数x X x 是随机事件 能取值都有一定的概率 4 对于随机变量 我们常常关心它的取值 注 有本质的区别 二 分布函数及其性质 如果我们对随机事件 X x 求概率 就引出 为随机变量X的分布函数 1 分布函数的定义 定义2 2称 了随机变量分布函数的概念 记作X F x 或X FX x 2 分布函数的性质 1 由于对于任意的 为一概率 根据概率公理化定义 有 证 4 的证明要用到较多的测度论的知识 注1 可以证明 一个函数若具有上述性质 则此函数一定是 这里从略 某个随机变量的分布函数 2 重要公式 例3 解 由分布函数的右连续性 得 一个靶子是半径为2米的圆盘 设击中靶上任 解 例4 一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 试求随机变量X的分布函数 于是 故X的分布函数为 内容小结 1 随机变量是一个函数 是定义在样本空间上 2 随机变量分为离散型和非离散型 其中非离 3 随机变量分布函数的概念 的函数 散型包括连续型和其它类型 4 分布函数的性质 思考题 不同的随机变量 他们的分布函数一定不相同吗 解 不一定 例如抛均匀硬币 令 X1与X2在样本空间上对应法则不同 是两个不同 的随机变量 但它们却有相同的分布函数 再见 备用题 例3 1 设连续型随机变量X的分布函数为 求 1 常系数A及B 2 随机变量X落在 1 1 内的概率 解 1 根据分布函数的性质可知 依题意可得 联立上
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