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概率统计第四章习题课 习题四 4 设随机变量X的数学期望为E X 方差为D X 0 引入新的随机变量 验证E X 0 D X 1 D X E X E X 2 E X 2 标准化随机变量 设随机变量X的期望E X 方差D X 都存在 且D X 0 则称 为X的标准化随机变量 16设r vX服从几何分布 P X k p 1 p k 1 k 1 2 其中0 p 1 求E X D X 解 记q 1 p 求和与求导交换次序 等比级数求和公式 D X E X2 E X 2 E X 7 设X的分布律为 解法一 仿照16题 解法二 利用16题结论 引入几何分布的随机变量 由上题的结果知 9 证明 对任意常数C D X E X C 2 当C E X 时 显然等号成立 当C E X 时 证明二 D X E X C 2 12 设随机变量X的概率密度为 求 1 Y 2X 2 Y e 2X的数学期望 13 设X1 X2 Xn是独立同分布的随机变量 i 1 2 n 记 数学期望的性质 方差的性质 15 设二维随机变量 X Y 的密度函数为 求E X E Y E XY 仿照15题 20 设X Y相互独立 概率密度分别为 求E XY 解法一 解法二 23 设随机变量 X Y 具有概率密度 25 设X Y相互独立 且都服从N 2 U aX bY V aX bY a b为常数 且都不为零 求 UV 解 由 而 故 利用协方差的性质 思考 还有其他方法吗 26 已知正常男性成人血液中 每一毫升白细胞数平均是7300 均方差是700 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率 解 设每毫升白细胞数为X 依题意 E X 7300 D X 7002 所求为P 5200X9400 P 5200X9400 P 5200 7300X 73009400 7300 P 2100X E X 2100 P X E X 2100 由切比雪夫不等式 P X E X 2100 即估计每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率不小于8 9 由中心极限定理 近似 28 一保险公司有10000人投保 每人付18元保险费 已知投保人出意外率为0 006 若出意外公司赔付2
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