高中数学第一章解三角形章末复习提升课件新人教b版必修5

第一章 解三角形 1 知识网络系统盘点 提炼主干 2 要点归纳整合要点 诠释疑点 3 题型研修突破重点 提升能力 章末复习提升 1 三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形 解这类三角形问题可能出现一解 两解 无解的情况 这时应结合 三角形中大边对大角 此时一般用正弦定理 但也可用余弦定理 1 利用正弦定理讨论 若已知a b A 由正弦定理 得sinB 若sinB 1 无解 若sinB 1 一解 若sinB 1 如果a b 一解 如果a b 两解 2 利用余弦定理讨论 已知a b A 由余弦定理a2 c2 b2 2cbcosA 即c2 2bcosA c b2 a2 0 这是关于c的一元二次方程 若方程无解或无正数解 则三角形无解 若方程有唯一正数解 则三角形一解 若方程有两不同正数解 则三角形有两解 2 三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径 一是通过正弦定理和余弦定理 化边为角 如 a 2RsinA a2 b2 c2 2abcosC等 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系 如 sinA sinB A B sin A B 0 A B sin2A sin2B A B或A B 等 二是利用正弦定理 余弦定理化角为边 如 sinA R为 ABC外接圆半径 cosA 等 通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断 3 解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决 其基本解题思路是 首先分析此题属于哪种类型的问题 如 测量距离 高度 角度等 然后依题意画出示意图 把已知量和未知量标在示意图中 目的是发现已知量与未知量之间的关系 最后确定用哪个定理转化 哪个定理求解 并进行作答 解题时还要注意近似计算的要求 题型一利用正 余弦定理解三角形解三角形的一般方法是 1 已知两角和一边 如已知A B和c 由A B C 求C 由正弦定理求a b 2 已知两边和这两边的夹角 如已知a b和C 应先用余弦定理求c 再应用正弦定理先求较短边所对的角 然后利用A B C 求另一角 3 已知两边和其中一边的对角 如已知a b和A 应先用正弦定理求B 由A B C 求C 再由正弦定理或余弦定理求c 要注意解可能有多种情况 4 已知三边a b c 可应用余弦定理求A B C 例1在 ABC中 角A B C所对的边长分别为a b c 设a b c满足条件b2 c2 bc a2和求A和tanB的值 解由余弦定理cosA 因此A 60 在 ABC中 C 180 A B 120 B 由已知条件 应用正弦定理从而tanB 跟踪演练1如图 在 ABC中 AB AC 2 BC 2 点D在BC边上 ADC 45 求AD的长度 解在 ABC中 AB AC 2 BC 2 由余弦定理 题型二与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体 在已知条件中设计了三角形的一些边角关系 由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式 通过定理的运用能够实现边角互化 在边角互化时 经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等 例2在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 且满足 2a b cosC c cosB ABC的面积S 10 c 7 1 求角C 解 2a b cosC ccosB 2sinA sinB cosC sinCcosB 2sinAcosC sinBcosC cosBsinC 即2sinAcosC sin B C 2sinAcosC sinA A 0 sinA 0 cosC C 解由S absinC 10 C 得ab 40 由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcosC 即c2 a b 2 2ab 72 a b 2 2 40 a b 13 由 得a 8 b 5或a 5 b 8 2 求a b的值 跟踪演练2在 ABC中 a b c分别是三个内角A B C的对边 若a 2 C cos求 ABC的面积S 解因为cosB 2cos2 1 所以sinB 题型三正 余弦定理在实际中的应用应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 1 分析题意 准确理解题意 分清已知与所求 尤其要理解题中的有关名词 术语 如坡度 仰角 俯角 视角 方位角等 2 根据题意画出示意图 并将已知条件在图形中标出 3 将所求问题归结到一个或几个三角形中 通过合理运用正 余弦定理等有关知识正确求解 4 检验解出的结果是否具有实际意义 对结果进行取舍 得出正确答案 例3如图 一辆汽车从O点出发 沿海岸一条直线公路以100千米 时的速度向东匀速行驶 汽车开动时 在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇 与汽车同时出发 要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机 问快艇至少必须以多大的速度行驶 才能把物品递送到司机手中 并求快艇以最小速度行驶时的方向与OM所成的角 解设快艇从M处以v千米 时的速度出发 沿MN方向航行 t小时后与汽车相遇 在 MON中 OM 500千米 ON 100t千米 MN vt千米 设 MON 由题意 知sin 则cos 由余弦定理 知MN2 OM2 ON2 2OM ONcos 即v2t2 5002 1002t2 2 500 100t 整理 得v2 500 80 2 3600 vmin 60 即快艇至少必须以60千米 时的速度行驶 此时MN 60 15 25 千米 MQ 300千米 设 MNO 则sin 90 即MN与OM垂直 快艇至少必须以60千米 时的速度行驶 以最小速度行驶时的方向与OM所成的角为直角 跟踪演练3甲船在A处 乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处 乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶 而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60 方向行驶 问经过多少小时后 甲 乙两船相距最近 解设甲 乙两船经t小时后相距最近 且分别到达P Q两处 因乙船到达A处需2小时 当0 t 2时 在 APQ中 AP 8t海里 AQ 20 10t 海里 当t 2时 PQ 8 2 16 当t 2时 在 APQ中 AP 8t海里 AQ 10t 20 海里 答甲 乙两船行驶小时后 相距最近 题型四函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想 所谓方程思想 就是在解决问题时 用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系 列出方程 组 从而求出未知数及各量的值 使问题获得解决 所设的未知数沟通了变量之间的联系 方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件 它架设了由已知探索未知的桥梁 本章在利用正 余弦定理求角或边长时 往往渗透着函数与方程思想 例4在 ABC中 已知A B C 且A 2C b 4 a c 8 求a c的长 由余弦定理及a c 8 得 整理得5c2 36c 64 0 跟踪演练4已知函数f x x R 1 求函数f x 的最小值和最小正周期 2 设 ABC的内角A B C的对边分别为a b c 且c f C 0 若向量m 1 sinA 与向量n 2 sinB 共线 求a b的值 即3 a2 b2 ab 由 解得a 1 b 2 课堂小结1 在三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较大 正弦值较大的角也较大 即在 ABC中 A B等价于a b等