高中数学第一章解三角形1_2余弦定理一课件苏教版必修5

第1章解三角形 1 2余弦定理 一 1 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法 2 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一余弦定理的推导 思考1 答案 根据勾股定理 若 ABC中 C 90 则c2 a2 b2 a2 b2 2abcosC 试验证 式对等边三角形还成立吗 你有什么猜想 当a b c时 C 60 a2 b2 2abcosC c2 c2 2c ccos60 c2 即 式仍成立 据此猜想 对一般 ABC 都有c2 a2 b2 2abcosC 思考2 答案 在c2 a2 b2 2abcosC中 abcosC能解释为哪两个向量的数量积 你能由此证明思考1的猜想吗 梳理余弦定理的发现是基于已知两边及其夹角求第三边的需要 因为两边及其夹角恰好是确定平面向量一组基底的条件 所以能把第三边用基底表示进而求出模长 另外 也可通过建立坐标系利用两点间距离公式证明余弦定理 知识点二余弦定理的呈现形式 b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC A B C 知识点三适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题 每个公式右边都涉及三个量 两边及其夹角 故如果已知三角形的两边及其夹角 可用余弦定理解三角形 思考1 答案 观察知识点二第1条中的公式结构 其中等号右边涉及几个量 你认为可用来解哪类三角形 每个公式右边都涉及三个量 即三角形的三条边 故如果已知三角形的三边 也可用余弦定理解三角形 思考2 答案 观察知识点二第2条中的公式结构 其中等号右边涉及几个量 你认为可用来解哪类三角形 梳理余弦定理适合解决的问题 1 已知两边及其夹角 解三角形 2 已知三边 解三角形 题型探究 例1已知 ABC BC a AC b和角C 求c 解答 类型一余弦定理的证明 则 c 2 c c a b a b a a b b 2a b a2 b2 2 a b cosC 所以c2 a2 b2 2abcosC 所谓证明 就是在新旧知识间架起一座桥梁 桥梁架在哪儿 要勘探地形 证明一个公式 要考察公式两边的结构特征 联系已经学过的知识 看有没有相似的地方 反思与感悟 跟踪训练1例1涉及线段长度 能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题 解答 如图 以A为原点 边AB所在直线为x轴建立直角坐标系 则A 0 0 B c 0 C bcosA bsinA BC2 b2cos2A 2bccosA c2 b2sin2A 即a2 b2 c2 2bccosA 同理可证b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 类型二用余弦定理解三角形 命题角度1已知两边及其夹角例2已知 ABC中 b 3 c 1 A 60 求a和sinB 解答 由余弦定理 得a2 b2 c2 2bccosA 32 12 2 3 1cos60 7 反思与感悟 已知三角形两边及其夹角时 应先从余弦定理入手求出第三边 再利用正弦定理求其余的角 因为b a 所以B A 所以A为锐角 所以A 30 解答 解答 因为0 A 180 所以A 60 C 180 A B 90 反思与感悟 跟踪训练3在 ABC中 sinA sinB sinC 2 4 5 判断三角形的形状 解答 因为a b c sinA sinB sinC 2 4 5 所以可令a 2k b 4k c 5k k 0 所以C为钝角 从而三角形为钝角三角形 当堂训练 设另一边长为x 1 2 3 4 答案 解析 a b c C为最小角 且C为锐角 1 2 3 4 答案 解析 3 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍 那么它的顶角的余弦值为 设顶角为C 周长为l 因为l 5c 所以a b 2c 由余弦定理 1 2 3 4 答案 解析 由余弦定理及其推论知只有 正确 1 2 3 4 答案 规律与方法 1 利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 1 已知两边和夹角 解三角形 2 已知三边求三角形的任意一角 2 余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广 勾股定理可以看作是余弦定理的特例 1 如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方