5.1.1 相交线-.doc

第五章 相交线与平行线 单元规划 本单元包括4节内容，前3节主要讨论平面内两条直线的位置关系，重点是垂直和平行关系，第4节是有关平移变换的内容 首先研究相关的情形，探究两条直线相交所成的角的位置和大小关系，给出邻补角和对顶角的概念，得出“对顶角相等”的结论；垂直是两条直线相交的特殊情形，与它有关的概念和结论是学习下一单元“平面直角坐标系”的基础本单元对垂直的情形专门进行了研究，探索得出了“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”“垂线段最短”的结论，并给出点到直线的距离的概念，为学习在平面直角坐标系中确定点的坐标打下基础 对于平面内两条直线平行的位置关系，教科书首先引入一个基本事实（平行公理），即过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，以此为出发点探讨了判定两条直线平行的三种方法和两条直线平行的三条性质，并给出了两条平行线间的距离概念 本单元在最后一节安排了有关平移变换的内容，从新课程标准看，图形的变换是“空间与图形”领域中很重要的部分图形的变换主要包括图形的平移、图形的轴对称、图形的旋转和图形的相似等，通过将图形平移、旋转、折叠等活动，使图形动起来，有助于在运动变化的过程中发现图形不变的几何性质，因此图形的变换是研究几何问题，发现几何结论的有效工具 在本单元最后，学习命题与命题的构成，学生能对说理的理由，三段论的表达形式有初步的认识 本单元教学时间约需13课时，具体分配如下： 51 相交线 3课时 52 平行线 3课时 53 平行线的性质 3课时 54 平移 2课时 小结 2课时 51 相交线 从容说课 本节结合具体生活情境，发现并提出数学问题，感受数学与生活的密切联系，经过“讨论”“探究”得出“对顶角相等”和“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，并引出点到直线的距离的概念，进一步感受数学的严谨性和数学结论的确定性 本节的重点是从两条相交直线中发现探索“对顶角相等”的结论；从具体的实验操作过程中得出“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，并用它们解释生活的现象，密切与生活的联系难点是对生活中的数学现象的抽象概括及对一些几何结论的逻辑推理 在教学中，通过分组讨论、操作、论证等活动，努力培养学生的合作交流意识和探索精神，进一步做好由实验几何到论证几何的过渡511 相交线 三维目标 一、知识与技能 1理解相交线、邻补角、对顶角的概念；毛 2理解对顶角相等的性质 二、过程与方法 1通过学习邻补角、对顶角等概念，进一步发展学生抽象概括能力； 2通过对相交线、邻补角、对顶角的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，并能用它们解释生活中的一些现象 三、情感态度与价值观 1通过分组讨论，培养学生合作交流的意识和探索精神； 2通过对顶角、邻补角性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性 教学重点 邻补角、对顶角的性质 教学难点 发现两条直线相交时所形成的各类角的位置及数量关系 教具准备 剪刀及多媒体课件 教学过程 一、创设问题情境，导入新课 师：打开书欣赏第五章的章头图，雄伟壮丽的大桥上，有纵横交错的钢梁，以及像竖琴一样的钢索，你能从中抽象出什么样的几何形象？ （同学们思考后回答） 生：有很多的相交线和平行线 师：你能在身边再找一些相交线和平行线的实例吗？ 生：学校操作场上的双杠 生：课桌面、黑板面相邻的两边和相对的两边 生：国际象棋、中国象棋的棋盘布满了纵横交错的横线和竖线，它们或平行、或相交 师：生活中相交线、平行线的实例比比皆是，因此从这节课开始，我们将要在七年级上册第三章图形认识初步的基础上，继续遨游于几何世界，探究两条直线相交所形成的哪些角？这些角有什么特征？什么样的两条直线互相垂直？垂线有什么性质？什么样的两条直线互相平行？互相平行的直线有什么特征？更为重要的是它们在生活中的作用，学会用数学的眼光去欣赏我们生活着的丰富多彩的世界 这节课，我们先来研究相交线（出示课题：511 相交线）我这里有一把剪刀，握紧剪子（如图）的把手，就能剪开物体，你能说出其中的道理吗？ 生：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开物体 师：如果把剪子的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你在练习本上画出 （教师可进行巡视，给学习困难的学生以帮助从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意力，同时为得出相交线所成角的性质提供背景和生活素材） 师：同学们表现都很棒，剪子的构造可看作两条相交的直线，而剪刀两个把手之间的角，剪刀刃之间的角都是相交直线所成角 二组织学生活动 活动1（1）任意画两条相交的直线，在形成的四个角中（如图）各个角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类 （2）分别量一下各个角的度数，各个角度数有什么关系？为什么？（3）在图51-1转动剪子把手的过程中，这个关系还保持吗？ （学生分组活动，动手操作，教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并指导、帮助学生完成任务） 教师应重点关注： （1）学生能否根据各对角的位置关系进行分类； （2）在阐述各对角的位置关系时，语言是否规范； （3）在测量出各个角的大小关系时，能否用“同角的补角相等”为依据，得出正确结论 （为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲通过学生自身探求出结论，获得学习数学的成就感，提高学生的论证几何的能力） 生：1和2、2和3、3和4、4和1它们属于同一种位置关系的角它们共同的特点是每一对角都有一条公共边，而另一边互为反向延长线 生：以上四对角不仅有特殊的位置，而且它们的和都是180，即它们互补 师：你能给它们每对角起个名字吗？ 生：我们前面学过互为补角：如果两个角的和是180，则称它们互为补角而上面的1和2、2和3、3和4、4和1不仅互补，而且“相邻”，我们称它们为“亲密补角”吧！ 师：这个名字是不是很温馨呢！（同学们鼓掌）实际上，在数学上，我们把具有上述位置和大小关系的角叫做互为邻补角 师：你还能找到哪些两两相配的角呢？它们又有何位置和大小特点？ 生：1和3、2和4它们分别有相同的位置关系每对角都有一个公共顶点O，并且每对角的两边都互为反向延长线 师：很好我们将具有这种位置关系的两个角叫做对顶角它们的大小有何关系？ 生：每对对顶角都分别相等如上图的1=3，2=4 师：你能用前面的知识说明1=3的理由吗？ 生：因为1与2互补，3也与2互补，由“同角的补角相等”，可以得出1=3类似地可得出2=4 师：由此可得出结论 生：对顶角相等 师：你能用刚才的结论解释本节开头提出的现象吗？ 生：可以通过上面的讨论我们知道了，剪子两个把手之间的角与剪刀刃之间的角它们是对顶角在转动剪子把手的过程中，这对顶角始终保持相等，直到把物体剪开师生共析：下面我们共同填写下表（多媒体演示）两直线相交所形成角分类位置关系大小关系1、2、3、4 活动2 问题：（1） 图中1和2是对顶角吗？若不是，请说明理由 （学生通过对上面问题的解释，进一步明确对顶角存在的条件，使学生的思维更严密、条理） 生：图中的1和2不是对顶角，是因为它们不是两条直线相交而成，即它们既无公共顶点，每个角的两边只有一边是互为反向延长线；图（2）中的1和2虽有公共点，但2的一边不是1两边中的一条反向延长线；图（4）中的1和2也不是对顶角，只有图（3）中的1和2是对顶角 师：判断一对角是不是对顶角，我们应注意什么？ 生：首先看它们是否是两条直线相交而成的角，再看它们是否有公共顶点，两边是否互为反向延长线（2） 如图，直线a、b相交，1=40，求2、3、4的度数 （意在利用互为邻补角的大小关系，对顶角相等的性质教师应先让学生自主解决，对个别学习有困难的学生加以辅导） 生：解：如图，由邻补角定义，可得 2=18040140； 由“对顶角相等”，可得 3=1=40， 4=2=140 三、运用数学知识，解决问题 活动3 （多媒体演示） 问题：（1）如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型，你能说出其中的邻补角与对顶角吗？如果其中一个角是35，其他三个角各是多少度？这个角是90、115、m呢？ 解：将两根木条抽象成相交直线，如图，设直线a、b相交于点O 当1=35时，由邻补角的定义可得 2=18035145； 由“对顶角相等”，可得 3=1=35，4=2=145 当1=90时，同（1）可得 2=1809090，3=1=90，4=2=90 当1=115时，2=18011565， 3=1=115，4=2=65 当1=m时，2=180m， 3=1=m，4=2=180m （2）下列说法正确的是（ ） A有公共顶点的两个角是对顶角；B相等的两个角是对顶角 C有公共顶点并且相等的角是对顶角 D两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角 解：应选D 注：只有两条直线相交时，才能产生对顶角，对顶角是成对出现的； 对顶角本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线 （3）已知直线AB、CD相交于点O，AOC+BOD=240，求BOC的度数分析：如图所示，AOC与BOD是对顶角，所以AOC=BOD；又AOC+BOD=240，从而AOC=BOD=120；又AOC和BOC是邻补角，所以BOC=180AOC=60 解：因为直线AB、CD相交于点O， 所以AOC和BOD是对顶角（对顶角的定义） AOC和BOC是邻补角（邻补角的定义）， 所以AOCBOC（对顶角相等） 又因为AOC+BOD=240（已知）， 所以AOC=BOD=120 所以BOC=180AOC=60（邻补角的定义）（4）如图，AB与CD是直线，图中共有对顶角_对 A1 B2 C3 D4 分析：在图中只有AB和CD两条直线相交，根据对顶角的特征：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线可知对顶角只有两对即AOC和BOD、AOD和BOC 解：应选B（5）图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 解：设量角器的底边所在的直线为AB，指针所在直线为CD根据对顶角相等，可知BOD=AOC，因此只要读出AOC的度数，也就知道了BOD的度数 四、课时小结 本节课讨论了两条直线相交所成的角的问题；重点研究了邻补角、对顶角的位置关系、大小关系，并用它们解决了生活和数学中的一些简单问题，相信同学们在今后的学习过程中，会进一步体会到邻补角和对顶角性质在解题中的作用 板书设计 511 相交线 一、讨论两条直线相交所成的角两直线相交 所形成的角 1、2 3、4 分类 位置关系 大小关系 1和2 2和_ _和_ _和_ 1和3 _和_ 二、定义 （1）邻补角：像1和2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，显然它们互补具有这种关系的角叫做互为邻补角 注：互为补角只指两个角的和为180，而互为邻补角除具有大小关系外，还有位置关系 （2）对顶角：只有两条直线相交时，才能产生对顶角；对顶角的本质特征是：两个角有公共顶点，其两边互为反向延长线 活动与探究 两条直线相交于一点，有_对对顶角，三条直线相交于一点，有_对对顶角n条直线相交于一点，共可组成_对对顶角 过程让学生在讨论的过程中，学会归纳两条直线相交于一点和三条直线相交于一点较简单，可得出那n条直线呢？ 设n条直线为a1，a2，an 以a1为边所得到的对顶角数为2（n-1） 以a2为边所得到的新对顶角数为2（n-2） 以an-2为边得到的新对顶角数为22 以an-1为边得到的新对顶角数为21 加起来得n（n-1）对对顶角 结果两条直线相交于一点，有2对对顶角，三条直线相交于一点，有6对对顶角，n条直线相交于一点，共有n（n-1）对对顶角 备课资料 一、参考例题【例1】如图，AB、CD、AD都是直线，且1=2，那么3=1吗？为什么？ 解：因为1=2（已知）， 3=2（对顶角相等）， 所以3=1 注：在图形中，要正确地辨认对顶角 【例2】如图，已知直线AB、CD、EF相交于点O，AOC=60，AOE=70， 求：（1）AOD的度数；（2）DOF的度数 分析：（1）方法一：据AOC=60，由邻补角的定义，可求出AOD的度数 方法二：据平角的定义，可先求出EOD的度数，再由EOD与AOE的和求AOD的度数 （2）方法一：由AOE与AOC相加求出EOC的度数，再根据对顶角相等求出DOF的度数 方法二：利用对顶角相等求出BOF，BOD，再相加即可 方法三：先求出EOD的度数，再根据邻补角的定义求DOF 方法四：先求出COF的度数，再根据邻补角的定义去求DOF 解：略【例3】如图，直线a、b被直线c所截，构成八个角，已知1=5=50，求2，3，4，6，7，8的度数，并说明理由 理由：1=58（已知）， 3=1=58（对顶角相等） 2=1801=18058122（邻补角的定义） 4=2=122（对顶角相等） 同理可求7=58，6=8=122 答：2=4=6=8=122，3=7=58 注：正确应用对顶角，邻补角，补角的性质可以计算角的度数本题还有多种解法，你能再找出几种不同的解法吗？ 【例4】如图，直线AB与CD相交于点O，且BOD的度数