高中数学第四章导数应用2_1实际问题中导数的意义课件北师大版选修1_1

第四章 2导数在实际问题中的应用 2 1实际问题中导数的意义 学习目标1 利用实际问题加强对导数概念的理解 2 能利用导数求解有关实际问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点实际问题中导数的意义 某人拉动一个物体前进 他所做的功W 单位 J 是时间t 单位 s 的函数 设这个函数可以表示为W W t t3 4t2 10t 1 t从1s到4s时W关于t的平均变化率是多少 答案 思考 2 上述问题的实际意义是什么 它表示从t 1s到t 4s这段时间内 这个人平均每秒做功11J 答案 3 W 1 的实际意义是什么 W t 3t2 8t 10 W 1 5表示在t 1s时每秒做功5J 答案 1 在物理学中 通常称力在单位时间内为功率 它的单位是 功率是功关于的导数 2 在气象学中 通常把单位时间 如1时 1天等 内的称作降雨强度 它是反映一次降雨大小的一个重要指标 降雨强度是降雨量关于时间的 3 在经济学中 通常把生产成本y关于x的函数y f x 的导函数称为 边际成本f x0 指的是当产量为x0时 生产成本的增加速度 也就是当产量为x0时 每增加一个单位的产量 需要增加f x0 个单位的成本 梳理 做的功 瓦特 时间 降雨量 导数 产量 边际成本 题型探究 例1某质点的运动方程为s s t 2t2 3t 其中s是位移 单位 m t是时间 单位 s 1 求当t从1s变到3s时 位移s关于时间t的平均变化率 并解释它的实际意义 类型一导数在物理学中的意义 解答 当t从1s变到3s时 s关于t的平均变化率为它表示从t 1s到t 3s这段时间内 该质点平均每秒的位移是11m 2 求s 1 s 2 并解释它们的实际意义 解答 由导数公式表和导数的运算法则可得s t 4t 3 则s 1 4 3 7m s s 2 4 2 3 11m s s 1 表示的是该质点在t 1s时的瞬时速度 也就是该质点在t 1s这个时刻的瞬时速度为7m s s 2 表示的是该质点在t 2s时的瞬时速度 也就是该质点在t 2s这个时刻的瞬时速度为11m s 根据导数的实际意义 在物理学中 除了我们所熟悉的位移 速度与时间的关系 功与时间的关系 还应了解质量关于体积的导数为密度 电量关于时间的导数为电流强度等 因此 在解释某点处的导数的物理意义时 应结合这些导数的实际意义进行理解 反思与感悟 跟踪训练1某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3 y是x的函数 且y f x 1 当x从1变到8时 y关于x的平均变化率是多少 解答 当x从1变到8时 y关于x的平均变化率为 2 求f 27 并解释它的实际意义 解答 例2某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100件 假设日产品的总成本C 元 与日产量x 件 的函数关系为C x x2 60 x 2050 求当日产量由10件提高到20件时 总成本的平均改变量 并说明其实际意义 类型二导数在经济生活中的应用 当x从10件提高到20件时 总成本C从C 10 2675元变到C 20 3350元 此时总成本的平均改变量为其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量 解答 引申探究1 若本例条件不变 求当日产量为75件时的边际成本 并说明其实际意义 它指的是当日产量为75件时 每多生产一件产品 需增加成本97 5元 解答 所以日产量为75件时的边际成本大于97 5 解得a 60 解答 生产成本y关于产量x的函数y f x 中 f x0 指的是当产量为x0时 生产成本的增加速度 也就是当产量为x0时 每增加一个单位的产量 需增加f x0 个单位的成本 反思与感悟 跟踪训练2已知某商品的成本函数为C Q 100 Q为产品的数量 1 求Q 10时的总成本 平均成本及边际成本 边际成本即成本函数C Q 对产量Q的导数 解答 2 当产量Q为多少时 平均成本最小 最小为多少 所以当产量Q为20时 平均成本最小 且平均成本的最小值是10 解答 例3一名工人上班后开始连续工作 生产的产品质量y 单位 g 是工作时间x 单位 h 的函数 设这个函数为y f x 1 求x从1h变到4h时 y关于时间x的平均变化率 并解释它的实际意义 类型三在日常生活中的应用 解答 2 求f 1 f 4 并解释它的意义 解答 在不同的实际问题中导数的意义是不相同的 要结合具体问题进行分析 在某一点处的导数的实际意义是当自变量在该点处的改变量趋近于零时 平均变化率所趋近的值 问题不同有不同的意义 反思与感悟 跟踪训练3某年高考 某考生在参加数学科考试时 其解答完的题目数量y 单位 道 与所用时间x 单位 分钟 近似地满足函数关系y 1 求x从0分钟变化到36分钟时 y关于x的平均变化率 并解释它的实际意义 解答 2 求f 64 f 100 并解释它的实际意义 解答 当堂训练 1 某公司的盈利y 元 和时间x 天 的函数关系是y f x 假设f x 0恒成立 且f 10 10 f 20 1 则这些数据说明第20天与第10天比较A 公司已经亏损B 公司的盈利在增加 且增加的幅度变大C 公司在亏损且亏损幅度变小D 公司的盈利在增加 但增加的幅度变小 2 3 4 5 1 导数为正说明盈利是增加的 导数变小说明增加的幅度变小了 但还是增加的 答案 解析 2 某人拉动一个物体前进 他所做的功W是时间t的函数 即W W t 则W t0 表示A t t0时做的功B t t0时的速度C t t3时的位移D t t0时的功率 2 3 4 5 1 W t 表示t时刻的功率 答案 解析 Q t 3t2 18t 12 则Q 2 36 由题意知10 00时 工人装配晶体管收音机的速度为36台 小时 2 3 4 5 1 3 某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明 一个中等技术水平的工人 从8 00开始工作 t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q t t3 9t2 12t 则Q 2 它的实际意义是 答案 解析 36台 小时 10 00时 工人装配晶体管收音机的速度为36台 小时 2 3 4 5 1 4 某物体的运动速度与时间的关系为v t 2t2 1 则t 2时的加速度为 v t 4t v 2 8 答案 解析 8 当x从4变到8时 y关于x的平均变化率为 19 5 万元 吨 它表示产量从4吨增加到8吨的过程中 每增加1吨产量 利润平均增加19 5万元 2 3 4 5 1 5 某厂生产x吨产品获利y万元 y是x的函数 且函数为y f x x2 21x 100 1 当x从4变到8时 y关于x的平均变化率是多少 它代表什么实际意义 解答 f 84 表示当产量为84吨时 利润增加的速度为0 也就是说当产量为84吨时 每多生产1吨产品 利润增加为0 即利润不变 2 3 4 5 1 2 求f 84 并解释它的实际意义 解答 1 解决实际问题的一般思路 实际问题转化为数学问题 数学问题的结论回到实际问题的结论 2 解决实际问