高中数学第二章空间向量与立体几何1从平面向量到空间向量课件北师大版选修2_1

第二章空间向量与立体几何 1从平面向量到空间向量 学习目标1 理解空间向量的概念 2 了解空间向量的表示法 了解自由向量的概念 3 理解空间向量的夹角 4 理解直线的方向向量与平面的法向量的概念 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一空间向量的概念 类比平面向量的概念 给出空间向量的概念 在空间中 把具有大小和方向的量叫作空间向量 答案 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同 则终点也一定相同吗 一定相同 因为相等向量的方向相同 长度相等 所以表示相等向量的有向线段的起点相同 终点也相同 答案 思考2 梳理 空间向量的有关概念 1 定义 在空间中 把既有又有的量 叫作空间向量 2 长度 空间向量的大小叫作向量的或 3 表示法 4 自由向量 与向量的起点无关的向量 大小 方向 长度 模 有向线段 知识点二空间向量的夹角 思考 在平面内 若非零向量a与b共线 则它们的夹角是多少 0或 答案 梳理 间向量的夹角 1 文字叙述 a b是空间中两个非零向量 过空间任意一点O 作 a b 则叫作向量a与向量b的夹角 记作 2 图形表示 AOB a b 0 锐角 直角 钝角 3 范围 a b 4 空间向量的垂直 如果 a b 那么称a与b互相垂直 记作 0 a b 知识点三向量与直线 平面 1 向量与直线与平面向量一样 也可用空间向量描述空间直线的方向 如图所示 l是空间一直线 A B是直线l上任意两点 则称为直线l的向量 显然 与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量 直线的方向向量于该直线 方向 平行 2 向量与平面如图 如果直线l垂直于平面 那么把直线l的方向向量a叫作平面 的 法向量 题型探究 类型一有关空间向量的概念的理解 例1给出以下结论 两个空间向量相等 则它们的起点和终点分别相同 若空间向量a b满足 a b 则a b 在正方体ABCD A1B1C1D1中 必有 若空间向量m n p满足m n n p 则m p 其中不正确的个数是A 1B 2C 3D 4 答案 解析 两个空间向量相等 它们的起点 终点不一定相同 故 不正确 若空间向量a b满足 a b 则不一定能判断出a b 故 不正确 显然正确 故选B 在空间中 向量 向量的模 相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致 两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同 模相等 两向量互为相反向量的充要条件是大小相等 方向相反 反思与感悟 答案 解析 A 1B 2C 3D 4 2 如图 在长方体ABCD A B C D 中 AB 3 AD 2 AA 1 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中 单位向量共有多少个 解答 试写出模为的所有向量 解答 试写出与向量相等的所有向量 解答 试写出向量的所有相反向量 解答 类型二求空间向量的夹角 例2如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 求下列各对向量的夹角 解答 解答 解答 引申探究 解答 如图 连接B1C 则B1C A1D 在 ACB1中 因为AC AB1 B1C 求解空间向量的夹角 要充分利用原几何图形的性质 把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角 要注意向量方向 反思与感悟 跟踪训练2 答案 解析 取AB的中点O 连接OC OD 易得OC AB OD AB 故AB 平面OCD 又CD 平面OCD 所以AB CD 类型三直线的方向向量与平面法向量的理解 例3已知正四面体A BCD 1 过点A作出方向向量为的空间直线 解答 如图 过点A作直线AE BC 由直线的方向向量的定义可知 直线AE即为过点A且方向向量为的空间直线 2 过点A作出平面BCD的一个法向量 解答 如图 取 BCD的中心O 由正四面体的性质可知 AO垂直于平面BCD 故向量可作为平面BCD的一个法向量 直线的方向向量有无数个 但一定为非零向量 平面的法向量也有无数个 它们互相平行 给定空间中任意一点A和非零向量a 可以确定 1 唯一一条过点A且平行于向量a的直线 2 唯一一个过点A且垂直于向量a的平面 反思与感悟 跟踪训练3如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 P是DD1的中点 以C1为起点 指出直线AP的一个方向向量 解答 取BB1中点Q C1C中点M 连接C1Q BM PM 则PM綊DC綊AB 所以四边形APMB为平行四边形 所以AP綊BM 又在四边形BQC1M中 BQ綊C1M 所以四边形BQC1M为平行四边形 所以BM綊C1Q 当堂训练 2 3 4 5 1 1 下列命题中 正确的是A 若 a b 则a与b共线B 若 a b 则a bC 若a b 则 a b D 若a b 则a与b不共线 模相等 方向不确定 向量不一定共线 故A错误 向量不能比较大小 故B错误 向量不相等 但方向可以相同或相反 所以不相等的向量可以共线 故D错误 因此C正确 答案 解析 2 3 4 5 1 2 以长方体ABCD A1B1C1D1的任意两个顶点为起点和终点的向量中 能作为直线BB1的方向向量的个数为A 8B 7C 6D 5 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若把空间中所有单位向量的起点放置于同一点 则这些向量的终点构成的图形为 这些向量的终点到起点的距离均为1 且起点相同 故终点构成的图形是球面 答案 解析 球面 2 3 4 5 1 4 在长方体中 从同一顶点出发的三条棱的长分别为1 2 3 在分别以长方体的任意两个顶点为起点和终点的向量中 模为1的向量个数为 研究长方体的模型可知 所有顶点两两相连得到的线段中 长度为1的线段只有4条 故模为1的向量有8个 答案 解析 8 2 3 4 5 1 5 在直三棱柱ABC A1B1C1中 以下向量可以作为平面ABC法