高中数学第二章空间向量与立体几何3_3空间向量运算的坐标表示课件北师大版选修2_11

3 3空间向量运算的坐标表示 第二章空间向量与立体几何 学习目标1 理解空间向量坐标的概念 会确定一些简单几何体的顶点坐标 2 掌握空间向量的坐标运算规律 并会判断两个向量是否共线或垂直 3 掌握空间向量的模 夹角公式和两点间距离公式 并能运用这些知识解决一些相关问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一空间向量的坐标运算 思考 设m x1 y1 n x2 y2 那么m n m n m m n如何运算 m n x1 x2 y1 y2 m n x1 x2 y1 y2 m x1 y1 m n x1x2 y1y2 答案 梳理 空间向量a b 其坐标形式为a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 a2 a3 a1b1 a2b2 a3b3 知识点二空间向量的平行 垂直及模 夹角 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 a1b1 a2b2 a3b3 0 cos a b 题型探究 类型一空间向量的坐标运算 例1已知a 1 2 1 a b 1 2 1 则b等于A 2 4 2 B 2 4 2 C 2 0 2 D 2 1 3 依题意 得b a 1 2 1 a 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 答案 解析 关于空间向量坐标运算的两类问题 1 直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来 然后准确运用空间向量坐标运算公式计算 2 由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来 然后通过建立方程组 解方程求出其坐标 反思与感悟 跟踪训练1若向量a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 且满足条件 c a 2b 2 则x 2 答案 解析 据题意 有c a 0 0 1 x 2b 2 4 2 故 c a 2b 2 1 x 2 解得x 2 类型二空间向量平行 垂直的坐标表示 解得 1 即c 2 1 2 或c 2 1 2 解答 所以ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 又因为 ka b ka 2b 所以 ka b ka 2b 0 即 k 1 k 2 k 2 k 4 2k2 k 10 0 2 若ka b与ka 2b互相垂直 求k 解答 由题意知ka b k 1 k 2 ka 2b k 2 k 4 因为 ka b ka 2b 所以 ka b ka 2b 0 引申探究若将本例 2 中改为 若ka b与ka 2b互相垂直 求k的值 解答 反思与感悟 1 平行与垂直的判断 应用向量的方法判定两直线平行 只需判断两直线的方向向量是否共线 判断两直线是否垂直 关键是判断两直线的方向向量是否垂直 即判断两向量的数量积是否为0 2 平行与垂直的应用 适当引入参数 比如向量a b平行 可设a b 建立关于参数的方程 选择坐标形式 以达到简化运算的目的 跟踪训练2在正方体AC1中 已知E F G H分别是CC1 BC CD和A1C1的中点 证明 1 AB1 GE AB1 EH 证明 如图 以A为原点建立空间直角坐标系 设正方体棱长为1 则A 0 0 0 B 1 0 0 C 1 1 0 D 0 1 0 A1 0 0 1 B1 1 0 1 C1 1 1 1 D1 0 1 1 即AB1 GE AB1 EH 即A1G DF A1G DE 又DF DE D A1G 平面EFD 证明 2 A1G 平面EFD 类型三空间向量的夹角与长度的计算 例3在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F G分别是DD1 BD BB1的中点 1 求证 EF CF 证明 建立如图所示的空间直角坐标系 解答 3 求CE的长 解答 反思与感悟 通过分析几何体的结构特征 建立适当的坐标系 使尽可能多的点落在坐标轴上 以便在写点的坐标时便捷 建立坐标系后 写出相关点的坐标 然后再写出相应向量的坐标表示 把向量坐标化 然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题 跟踪训练3如图 在四棱锥P ABCD中 PD 底面ABCD 底面ABCD为正方形 PD DC E F分别是AB PB的中点 1 求证 EF DC 解答 分别以DA DC DP所在直线为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 2 在平面PAD内求一点G 使GF 平面PCB 解答 设点G x 0 z 则G 平面PAD 要使GF 平面PCB 只需GF CB GF CP 即点G为AD的中点 当堂训练 1 已知向量a 3 2 1 b 2 4 0 则4a 2b等于A 16 0 4 B 8 16 4 C 8 16 4 D 8 0 4 4a 2b 4 3 2 1 2 2 4 0 12 8 4 4 8 0 8 0 4 答案 解析 2 3 4 5 1 2 若a 2 3 1 b 2 0 3 c 0 2 2 则a b c 的值为A 4B 15C 3D 7 b c 2 2 5 a b c 4 6 5 3 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 已知a 2 3 1 则下列向量中与a平行的是A 1 1 1 B 4 6 2 C 2 3 5 D 2 3 5 若b 4 6 2 则b 2 2 3 1 2a 所以a b 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知向量a 1 1 0 b 1 0 2 且ka b与2a b互相垂直 则k的值是 依题意得 ka b 2a b 0 所以2k a 2 ka b 2a b b 2 0 而 a 2 2 b 2 5 a b 1 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 规律与方法 1 在空间直角坐标系中 已知点A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 则 x2 x1 y2 y1 z2 z1 一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标 2 两点间的距离公式 若A x1