高中数学第二章数列章末复习提升课件新人教b版必修5

第二章 数列 1 知识网络系统盘点 提炼主干 2 要点归纳整合要点 诠释疑点 3 题型研修突破重点 提升能力 章末复习提升 1 数列的概念及表示方法 1 定义 按照一定顺序排列着的一列数 2 表示方法 列表法 图象法 通项公式法和递推公式法 3 分类 按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列 按项与项之间的大小关系可分为递增数列 递减数列 摆动数列和常数列 2 求数列的通项 1 数列前n项和Sn与通项an的关系 2 当已知数列 an 中 满足an 1 an f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用累加法求数列的通项an 常利用恒等式an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 3 当已知数列 an 中 满足 f n 且f 1 f 2 f n 可求 则可用累积法求数列的通项an 常利用恒等式an 4 构造新数列法 对由递推公式给出的数列 经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项 5 归纳 猜想 证明法 3 等差数列 等比数列的判断方法 1 定义法 an 1 an d 常数 an 是等差数列 q q为常数 q 0 an 是等比数列 2 中项公式法 2an 1 an an 2 an 是等差数列 an an 2 an 0 an 是等比数列 3 通项公式法 an an b a b是常数 an 是等差数列 an c qn c q为非零常数 an 是等比数列 4 前n项和公式法 Sn an2 bn a b为常数 n N an 是等差数列 Sn aqn a a q为常数 且a 0 q 0 q 1 n N an 是等比数列 4 求数列的前n项和的基本方法 1 公式法 利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式 2 分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列 3 裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式 相加过程消去中间项 只剩有限项再求和 4 错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 5 倒序相加 例如 等差数列前n项和公式的推导 题型一方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中 通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量 a1 an n d 或q Sn 其中首项a1和公差d 或公比q 为基本量 知三求二 是指将已知条件转换成关于a1 an n d 或q Sn的方程组 通过方程的思想解出需要的量 例1设 an 为等差数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S7 21 S15 75 Tn为数列 的前n项和 求Tn的最大值 解设等差数列 an 的公差为d 则Sn na1 n n 1 d S7 21 S15 75 解得a1 9 d 2 Sn na1 d 9n n2 n 10n n2 n N 当n 9 或n 10时 Tn有最大值45 跟踪演练1记等差数列 an 的前n项和为Sn 设S3 12 且2a1 a2 a3 1成等比数列 求Sn 题型二转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式 要求掌握的方法有两种 一种求法是先找出数列的前几项 通过观察 归纳猜想出通项 然后证明 另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列 再采用公式求出 例2在数列 an 中 a1 5且an 2an 1 2n 1 n 2且n N 1 求a2 a3的值 解 a1 5 a2 2a1 22 1 13 a3 2a2 23 1 33 则有2b2 b1 b3 2 是否存在实数 使得数列为等差数列 若存在 求出 的值 若不存在 请说明理由 解得 1 an n 1 2n 1 3 求通项公式an 跟踪演练2设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求a2 a3的值 解 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 1时 a1 2 1 2 当n 2时 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 当n 3时 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 2 求证 数列 Sn 2 是等比数列 证明 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 2时 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 Sn 1 2 n 1 得nan n 1 Sn n 2 Sn 1 2 n Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 2 nan Sn 2Sn 1 2 Sn 2Sn 1 2 0 即Sn 2Sn 1 2 Sn 2 2 Sn 1 2 S1 2 4 0 Sn 1 2 0 2 故 Sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 题型三函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数 在求解数列问题时 若涉及参数取值范围 最值问题或单调性时 均可考虑采用函数的思想指导解题 值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集 这一特殊性对问题结果可能造成影响 例3已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第二项 第五项 第十四项分别是一个等比数列的第二项 第三项 第四项 1 求数列 an 的通项公式 解由题意得 a1 d a1 13d a1 4d 2 整理得2a1d d2 d 0 a1 1 d 2 an 2n 1 n N 又 t Z 适合条件的t的最大值为8 1 求数列 an 的通项公式 解Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 a2 a1 a3 a4 a3 a5 a2n a2n 1 a2n 1 2 令Tn a1a2 a2a3 a3a4 a4a5 a2na2n 1 求Tn 题型四数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一 它始终处在知识的交汇点上 如数列与函数 方程 不等式等其他知识有较多交汇处 它包涵知识点多 思想丰富 综合性强 已成为近年高考的一大亮点 例4已知单调递增的等比数列 an 满足a2 a3 a4 28 且a3 2是a2 a4的等差中项 1 求数列 an 的通项公式 解设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 依题意 有2 a3 2 a2 a4 代入a2 a3 a4 28 得a3 8 解bn 2n log2n n 2n Sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2Sn 1 22 2 23 3 24 n 1 2n n 2n 1 得Sn 2 22 23 2n n 2n 1 2 若bn anlogan Sn b1 b2 bn 对任意正整数n Sn n m an 1 0恒成立 试求m的取值范围 由Sn n m an 1 1 m 1 即m的取值范围是 1 跟踪演练4在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n N 1 证明 数列 an n 是等比数列 证明由题设an 1 4an 3n 1得an 1 n 1 4 an n n N 又a1 1 1 an n 是首项为1 公比为4的等比数列 2 求数列 an 的前n项和Sn 解由 1 可知an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为an 4n 1 n 3 证明 不等式Sn 1 4Sn对任意n N 皆成立 证明对任意的n N 不等式Sn 1 4Sn对任意n N 皆成立 课堂小结1 等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列