高中数学第二章圆锥曲线与方程3_1双曲线及其标准方程课件北师大版选修1_1

第二章 3双曲线 3 1双曲线及其标准方程 学习目标1 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程的推导过程 2 掌握双曲线的标准方程及其求法 3 会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一双曲线的定义 思考1 如图 取一条拉链 拉开它的一部分 在拉开的两边上各选择一点 分别固定在点F1 F2上 把笔尖放在点M处 拉开或闭拢拉链 笔尖经过的点可画出一条曲线 那么曲线上的点应满足怎样的几何条件 曲线上的点满足条件 MF1 MF2 常数 如果改变一下笔尖位置 使 MF2 MF1 常数 可得到另一条曲线 答案 思考2 已知点P x y 的坐标满足下列条件 试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形 答案 故点P的轨迹是双曲线 思考2 答案 PF1 PF2 6 F1F2 故点P的轨迹是双曲线的右支 梳理 把平面内到两定点F1 F2的距离之差的绝对值等于常数 大于零且小于 F1F2 的点的集合叫作双曲线 定点F1 F2叫作 两个焦点之间的距离叫作 双曲线的焦点 双曲线的焦距 知识点二双曲线的标准方程 思考1 双曲线的标准形式有两种 如何区别焦点所在的坐标轴 答案 双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴 当x2的系数为正时 焦点在x轴上 当y2的系数为正时 焦点在y轴上 而与分母的大小无关 思考2 如图 类比椭圆中a b c的意义 你能在y轴上找一点B 使 OB b吗 答案 以双曲线与x轴的交点A为圆心 以线段OF2为半径画圆交y轴于点B 题型探究 类型一双曲线的定义及应用 命题角度1双曲线中的焦点三角形问题 答案 解析 4a 2m 由双曲线的定义 知 AF1 AF2 2a BF1 BF2 2a 又 AF2 BF2 AB 所以 ABF1的周长为 AF1 BF1 AB 4a 2 AB 4a 2m 答案 解析 由定义和余弦定理 得 PF1 PF2 6 F1F2 2 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 cos60 所以102 PF1 PF2 2 PF1 PF2 所以 PF1 PF2 64 引申探究本例 2 中若 F1PF2 90 其他条件不变 求 F1PF2的面积 解答 由双曲线方程知a 3 b 4 c 5 由双曲线的定义得 PF1 PF2 2a 6 所以 PF1 2 PF2 2 2 PF1 PF2 36 在Rt F1PF2中 由勾股定理得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2c 2 100 将 代入 得 PF1 PF2 32 求双曲线中焦点三角形面积的方法 1 方法一 根据双曲线的定义求出 PF1 PF2 2a 利用余弦定理表示出 PF1 PF2 F1F2 之间满足的关系式 通过配方 利用整体的思想求出 PF1 PF2 的值 利用公式 PF1 PF2 sin F1PF2求得面积 2 方法二 利用公式 F1F2 yP yP为P点的纵坐标 求得面积 特别提醒 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题 一是要注意定义条件 PF1 PF2 2a的变形使用 特别是与 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 间的关系 反思与感悟 答案 解析 跟踪训练1已知F1 F2为双曲线C x2 y2 2的左 右焦点 点P在C上 PF1 2 PF2 则cos F1PF2等于 命题角度2由双曲线定义求轨迹方程例2已知在 ABC中 三边长分别为a b c B 1 0 C 1 0 求满足sinC sinB sinA的顶点A的轨迹 解答 点A的轨迹符合双曲线的定义 点A的轨迹是以B C为焦点的双曲线的右支 不包括点A在BC上的情况 定义法求双曲线方程的注意点 1 注意条件中是到定点距离之差 还是差的绝对值 2 当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题 3 求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上 反思与感悟 跟踪训练2已知动圆M与圆C1 x 4 2 y2 2外切 与圆C2 x 4 2 y2 2内切 则动圆圆心M的轨迹方程为 答案 解析 设动圆M的半径为r 则由已知得 又C1 4 0 C2 4 0 根据双曲线定义知 点M的轨迹是以C1 4 0 C2 4 0 为焦点的双曲线的右支 所以b2 c2 a2 14 类型二求双曲线的标准方程 解答 2 焦距为26 且经过点M 0 12 解答 双曲线经过点M 0 12 M 0 12 为双曲线的一个顶点 故焦点在y轴上 且a 12 又2c 26 c 13 b2 c2 a2 25 解答 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 待定系数法求方程的步骤 1 定型 即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴 2 设方程 根据焦点位置设出相应的标准方程的形式 若不知道焦点的位置 则进行讨论 或设双曲线的方程为Ax2 By2 1 AB 0 反思与感悟 3 计算 利用题中条件列出方程组 求出相关值 4 结论 写出双曲线的标准方程 跟踪训练3根据条件求双曲线的标准方程 1 c 经过点A 5 2 焦点在x轴上 解答 解得a2 5或a2 30 舍 解答 设双曲线方程为mx2 ny2 1 mn 0 解答 类型三由双曲线标准方程求参数 解答 1 当曲线为椭圆时 求m的取值范围 并写出焦点坐标 解得m 0 即m的取值范围为 0 此时 椭圆的焦点在x轴上 焦点坐标为 4 0 解答 2 当曲线为双曲线时 求m的取值范围 并写出焦点坐标 当曲线为双曲线时 依题意得 16 m m 0 解得0 m 16 即m的取值范围为 0 16 此时 双曲线的焦点在x轴上 焦点坐标为 4 0 反思与感悟 3 已知方程所代表的曲线 求参数的取值范围时 应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式 再根据方程中参数取值的要求 建立不等式 组 求解参数的取值范围 跟踪训练4已知方程 1表示双曲线 并且焦距为10 求实数m的值 解答 2c 10 c 5 当m 0时 a2 16m b2 9m 由c2 a2 b2 得25 16m 9m 故m 1 表示焦点在y轴上的双曲线 a2 9m b2 16m 由c2 a2 b2 得25 16m 9m m 1 故实数m的值为1或 1 当堂训练 2 3 4 5 1 因为 PF1 PF2 4 且4 F1F2 由双曲线定义知 P点的轨迹是双曲线的一支 1 已知F1 3 3 F2 3 3 动点P满足 PF1 PF2 4 则P点的轨迹是A 双曲线B 双曲线的一支C 不存在D 一条射线 答案 解析 答案 解析 2 3 4 5 1 又由 F1F2 10 可得 PF1F2是直角三角形 2 3 4 5 1 由于a 0 0 a2 4 且4 a2 a 2 所以可解得a 1 故选D 答案 解析 2 3 4 5 1 由题意知 m 1 0得m 1 答案 解析 A m 1B m3D 1 m 3 答案 解析 2 3 4 5 1 规律与方法 1 双曲线定义中 PF1 PF2 2a 2ab不一定成立