高中数学 第二章 数列 2_2 等差数列（二）课件 新人教a版必修5

第二章数列 2 2等差数列 二 1 能根据等差数列的定义推导出等差数列的重要性质 2 能运用等差数列的性质解决有关问题 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点二推广的等差数列的通项公式已知等差数列 an 中任意的两项am an 则an am n m d m n 思考已知等差数列 an 中的am和an 如何求d 答案 知识点三等差数列的性质1 若 an bn 分别是公差为d d 的等差数列 则有 2 等差数列的项的对称性在有穷等差数列中 与首末两项 等距离 的两项之和等于首项与末项的和 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 3 下标性质 在等差数列 an 中 若m n p q m n p q N 则 特别的 若m n 2p m n p N 则有 思考等差数列 an 中 若a5 7 a9 19 则a2 a12 a7 返回 am an ap aq 答案 am an 2ap 26 13 题型探究重点突破 题型一等差数列的性质及应用例1 1 已知等差数列 an 中 a2 a6 a10 1 求a4 a8 解析答案 2 设 an 是公差为正数的等差数列 若a1 a2 a3 15 a1a2a3 80 求a11 a12 a13的值 解析答案 反思与感悟 解 an 是公差为正数的等差数列 设公差为d d 0 a1 a3 2a2 a1 a2 a3 15 3a2 a2 5 又a1a2a3 80 a1a3 5 d 5 d 16 d 3或d 3 舍去 a12 a2 10d 35 a11 a12 a13 3a12 105 解决本类问题一般有两种方法 一是运用等差数列 an 的性质 若m n p q 2w 则am an ap aq 2aw m n p q w都是正整数 二是利用通项公式转化为数列的首项与公差基本量的关系完成运算 属于通性通法 两种方法都运用了整体代换与方程的思想 反思与感悟 跟踪训练1在等差数列 an 中 1 若a3 5 则a1 2a4 解析答案 2 若a1 a2 a3 24 a18 a19 a20 78 则a1 a20等于 解析a1 2a4 a1 a3 a5 a1 a5 a3 2a3 a3 3a3 15 15 解析由已知可得 a1 a2 a3 a18 a19 a20 24 78 a1 a20 a2 a19 a3 a18 54 a1 a20 18 18 题型二等差数列项的设法及求解例2已知四个数构成等差数列且是递增数列 四个数的平方和为94 首尾两数之积比中间两数之积少18 求此等差数列 解析答案 反思与感悟 解设四个数为a 3d a d a d a 3d 则 又因为是递增数列 所以d 0 此等差数列为 1 2 5 8或 8 5 2 1 三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时 可设出首项a1和公差d列方程组求解 此时计算量稍大 也可采用对称的设法 三个数时 设a d a a d 四个数时 设a 3d a d a d a 3d 利用和为定值 先求出其中某个未知量 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2已知三个数成等差数列并且数列是递增的 它们的和为18 平方和为116 求这三个数 解方法一设这三个数为a b c 则由题意得 这三个数为4 6 8 方法二设这三个数为a d a a d 由已知可得 由 得a 6 代入 得d 2 该数列是递增的 d 2舍去 这三个数为4 6 8 题型三等差数列的综合问题 解析答案 1 求证 数列 bn 是等差数列 并写出 bn 的通项公式 解析答案 2 求数列 an 的通项公式及数列 an 中的最大项与最小项 解析答案 反思与感悟 解决数列综合问题的方法策略 1 结合等差数列的性质或利用等差中项 2 利用通项公式 得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程 组 或不等式 组 3 利用函数或不等式的有关方法解决 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3设等差数列 an 的公差为d 若数列 为递减数列 则 A d0C a1d0 解析设bn 则bn 1 由于 是递减数列 则bn bn 1 即 y 2x是单调增函数 a1an a1an 1 a1an a1 an d 0 a1 an an d 0 即a1 d 0 a1d 0 C 题型四等差数列的实际应用例4某公司2009年经销一种数码产品 获利200万元 从2010年起 预计其利润每年比上一年减少20万元 按照这一规律 如果公司不开发新产品 也不调整经营策略 从哪一年起 该公司经销这一产品将亏损 解析答案 反思与感悟 解记2009年为第一年 由题设可知第1年获利200万元 第2年获利180万元 第3年获利160万元 则每年获利构成等差数列 an 且当an11 即从第12年起 也就是从2020年开始 该公司经销此产品将亏损 解决等差数列实际应用问题的方法策略 1 解答数列实际应用问题的基本步骤 审题 即仔细阅读材料 认真理解题意 建模 即将已知条件翻译成数学 数列 语言 将实际问题转化成数学问题 判型 即判断该数列是否为等差数列 求解 即求出该问题的数学解 还原 即将所求结果还原到实际问题中 2 在利用数列方法解决实际问题时 一定要弄清首项 项数等关键问题 反思与感悟 解析答案 跟踪训练4 九章算术 竹九节 问题 现有一根9节的竹子 自上而下各节的容积成等差数列 上面4节的容积共3升 下面3节的容积共4升 则第5节的容积为 解析设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列 an 其首项为a1 公差为d B 解析答案 审题不仔细致误 易错点 例5首项为 24的等差数列 从第10项开始为正数 则公差d的取值范围为 返回 错因分析解答本题 应注意理解 从第10项开始为正数 的含义 它表明 a10 0 的同时还表明 a9 0 这一条件 解析答案 误区警示 解答此类问题 应注意仔细审题 认真挖掘题目中的隐含条件 并注意应用 误区警示 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 在等差数列 an 中 a1 2 a3 a5 10 则a7等于 A 5B 8C 10D 14 解析方法一设等差数列的公差为d 则a3 a5 2a1 6d 4 6d 10 所以d 1 a7 a1 6d 2 6 8 方法二由等差数列的性质可得a1 a7 a3 a5 10 又a1 2 所以a7 8 B 解析答案 1 2 3 4 5 解析由a2 a4 a6 a8 a10 5a6 80 a6 16 C 解析答案 1 2 3 4 5 3 已知等差数列 an 满足a1 a2 a3 a101 0 则有 A a1 a101 0B a2 a101 0C a3 a99 0D a51 51 C 解析 a1 a2 a101 0 又 a1 a101 a2 a100 a3 a99 2a51 a51 0 a3 a99 解析答案 1 2 3 4 5 解析答案 4 下列是关于公差d 0的等差数列 an 的四个命题 p1 数列 an 是递增数列 p2 数列 nan 是递增数列 p4 数列 an 3nd 是递增数列 其中的真命题为 A p1 p2B p3 p4C p2 p3D p1 p4 解析an a1 n 1 d dn a1 d 因为d 0 所以p1正确 an 3nd 4dn a1 d 因4d 0 所以是递增数列 p4正确 故选D D 1 2 3 4 5 解析答案 5 在等差数列 an 中 已知a1 2a8 a15 96 则2a9 a10 解析 a1 2a8 a15 4a8 96 a8 24 2a9 a10 a10 a8 a10 a8 24 24 课堂小结 2 等差数列 an 中 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列 构成的新数列仍然是等差数列 3 等差数列