高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_2_5 距离（选学）课件 新人教b版选修2-1

第三章3 2空间向量在立体几何中的应用 3 2 5距离 选学 学习目标掌握向量长度计算公式 会用向量方法求两点间的距离 点到平面的距离 线面距和面到面的距离 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一点到平面的距离 思考 任何平面外一点到平面的距离都可利用向量法解决吗 可以 可依据点到平面的距离公式求解 答案 梳理 1 图形与图形的距离一个图形内的与另一图形内的的距离中的 叫做图形与图形的距离 2 点到平面的距离一点到它在一个平面内的距离 叫做点到这个平面的距离 任一点 任一点 最小值 正射影 知识点二直线到平面的距离 思考 直线与平面平行时 直线到平面的距离是指直线上任意一点到平面的距离吗 是的 当直线与平面平行时 直线上任意一点到平面的距离相等 故线面距可以利用点面距来处理 答案 梳理 1 直线与它的平行平面的距离一条直线上的 与它平行的平面的距离 叫做直线与这个平面的距离 2 两个平行平面的距离 和两个平行平面同时的直线 叫做两个平面的公垂线 夹在平行平面间的部分 叫做两个平面的公垂线段 两平行平面的 叫做两平行平面的距离 任一点 垂直 公垂线 公垂线段的长度 知识点三四种距离的关系 题型探究 类型一点线距离 例1在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是C1C D1A1的中点 求点A到直线EF的距离 解答 以D为坐标原点 分别以DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 设DA 2 则A 2 0 0 E 0 2 1 F 1 0 2 点A到直线EF的距离 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 1 建立空间直角坐标系 2 求直线的方向向量 3 计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影 4 利用勾股定理求点到直线的距离 另外 要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化 反思与感悟 跟踪训练1如图 在空间直角坐标系中有长方体ABCD A B C D AB 1 BC 2 AA 3 求点B到直线A C的距离 解答 AB 1 BC 2 AA 3 A 0 0 3 C 1 2 0 B 1 0 0 点B到直线A C的距离 类型二点面距离 例2已知四边形ABCD是边长为4的正方形 E F分别是边AB AD的中点 CG垂直于正方形ABCD所在的平面 且CG 2 求点B到平面EFG的距离 解答 建立如图所示的空间直角坐标系 则G 0 0 2 E 4 2 0 F 2 4 0 B 4 0 0 设平面EFG的一个法向量为n x y z x y z 3y 取y 1 则n 1 1 3 反思与感悟 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 1 建立空间直角坐标系 2 求出该平面的一个法向量 3 找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量 4 法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模 即为点到平面的距离 跟踪训练2在正三棱柱ABC A1B1C1中 D是BC的中点 AA1 AB 2 1 求证 A1C 平面AB1D 证明 如图 以D为坐标原点 分别以DC DA所在直线为x轴 y轴 过点D且与AA1平行的直线为z轴建立空间直角坐标系 设平面AB1D的一个法向量为n x y z 令z 1 则y 0 x 2 n 2 0 1 2 求点C1到平面AB1D的距离 解答 由 1 知平面AB1D的一个法向量n 2 0 1 类型三线面距离与面面距离 解答 如图 以D为坐标原点 分别以DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设平面ABE的一个法向量为n x y z 直线A1B1与平面ABE的距离 反思与感悟 1 求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离 利用求点到平面的距离的方法求解即可 2 求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离 利用求点到平面的距离的方法求解即可 跟踪训练3已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 求平面A1BD与平面B1CD1间的距离 解答 以D为坐标原点 分别以DA DC DD1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则D 0 0 0 A1 1 0 1 B 1 1 0 D1 0 0 1 设平面A1BD的一个法向量为n x y z 令z 1 得y 1 x 1 n 1 1 1 平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离 当堂训练 1 已知平面 的一个法向量n 2 2 1 点A 1 3 0 在 内 则P 2 1 4 到 的距离为 答案 2 3 4 5 1 2 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2 则A1A到平面B1D1DB的距离为 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知正方形ABCD的边长为4 CG 平面ABCD CG 2 E F分别是AB AD的中点 则点C到平面GEF的距离为 答案 解析 2 3 4 5 1 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz 由题意易得平面GEF的一个法向量n 1 1 3 所以点C到平面GEF的距离为 5 设A 2 3 1 B 4 1 2 C 6 3 7 D 5 4 8 则点D到平面ABC的距离为 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 设平面ABC